Мистика чисел

[Lia]

mathpath
Формулы нужно заключать в знаки долларов с обеих сторон.

[mathpath]

Полином Эйлера
$n^2 - n+41$
генерирует 40 подряд простых чисел.
В диапазоне от нуля до миллиона он в сумме производит 261082 простых чисел, т.е. практически каждое четвертое число.
Не располагая вычислительными мощностями, я потратил на обычном десктопе неделю, и все, что я смог найти - это полином 3-й степени, который генерит 20 простых чисел подряд, а в том же диапазоне всего 170000 простых чисел.
После чего я стал смотреть, а как же другие, и оказалось, что рекорд Эйлера побит, например вот так
$45n^4 - 3416n^3 + 96738n^2 - 1212769n + 5692031$
Этот полином генерит подряд 42 простых числа, самое маленькое из которых - 257, а самое большое - 10310189
Всего же в диапазоне от нуля до миллиона он производит 151480 простых чисел

Полином
$3n^3 -183n^2 + 3318n - 18757$
генерит всего 18 простых подряд, но зато в том же диапазоне генерит 266450 простых
С увеличением старшей степени полинома плотность генерации вроде как должна падать

Полином
$8n^2 - 488n - 7243$
генерит всего 26 простых подряд, в том же диапазоне генерит 266270 простых



Подробнее тут:
http://www.mathpuzzle.com/MAA/48-Prime% ... 17_06.html
Там есть и другие варианты, но-по-моему, половина из них левые

[mathpath]

Я обнаружил класс полиномов, которые назвал генераторами
Они обладают свойством генерировать все более длинные цепочки из простых чисел
В качестве примера рассмотрим полином
$6n^4 +1$
Он генерирует цепочку из 11 простых чисел
Рассмотрим следующую цепочку полиномов
$6n^4 -2n^2 +1$
6n^4 -4n^2 +1
6n^4 -6n^2 +1
...
Если в таких полиномах увеличивать свободный коэффициент, то обнаружится,
что такие полиномы будут производить похожие цепочки простых чисел:
$6n^4 -6n^2 +8501$ : 12 чисел
$6n^4 -6n^2 +17419$ : 11
$6n^4 -6n^2 +33457$ : 12
$6n^4 -6n^2 +39119$ : 11
$6n^4 -6n^2 +94441$ : 11
$6n^4 -6n^2 +139537$ : 13
...
Далее, если уменьшить на 2 коэффициент при второй степени, а затем наращивать свободный коэффициент, начиная с 1, то довольно быстро находится цепочка из 23 простых чисел:
$6n^4 -36n^2 +182519$ : 15
$6n^4 -62n^2 +619$ : 16
$6n^4 -260n^2 +14407$ : 18
$6n^4 -284n^2 +70507$ : 19
$6n^4 -820n^2 +139537$ : 23
$6n^4 -2422n^2 +529973$ : 23
...
Я не знаю, как долго это продолжается
Очевидно, что существуют другие генераторы с похожими свойствами и с коэффициентвми при старших степенях полинома, отличными от 4.

[NeVZleTeam]

mathpath в сообщении #1508778 писал(а):

Я не знаю, как долго это продолжается

До бесконечности. Разве это не очевидно?

[Dmitriy40]

mathpath в сообщении #1508778 писал(а):

Далее, если уменьшить на 2 коэффициент при второй степени, а затем наращивать свободный коэффициент, начиная с 1,

Пара простых предложений по улучшению поиска:
1) Начинать с 1 излишне, можно начинать с $|\min(6n^4-Kn^2)|$ (можно и явно выписать значение в вершине), ведь это парабола и ниже вершины она не уйдёт никогда.
2) Перебирать можно лишь простые свободные члены, ведь возможно $n=0$.
3) Для исключения повторов в числах достаточно исключить $K$ кратные $12$ (удвоенному коэффициенту перед четвёртой степенью), так как в этом случае вершина параболы придётся на целое число и генерируемые числа станут симметричными.

[SergeCpp]

$(7\cdot7)\cdot2\cdot1.0204081632...=100$

1) Две семёрки (два мистических числа).
2) Двойка (так как семёрок – две).
3) Последовательные степени оной двойки: до точки – нулевая, после – остальные.
4) $100$ – и красивое (круглое) число и квадрат нашей обычной системы счисления.

После $64$ будут наложения: $6400+128=6528$
Для $1024$ множитель (учитывая наложения) уже будет $1.02040816326530612224$

Big Number Calculator: множитель и результат для $16384$, проверка множителя.

P.S. Подобную структуру дробной части $100/(100-x)$ видно и при других $x$ (примеры: для тройки, для полутора).

[juna]

$$\sqrt{2\phi+2\sqrt{\phi}}\cdot e^{i\cdot atan(\phi+\sqrt{\phi})}=2i+\cfrac{2i}{2i+\cfrac{2i}{2i+\cfrac{2i}{2i+\ldots}}}}}$$

$$\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2} \text{ - золотое сечение}$$

[arseniiv]

juna в сообщении #1510425 писал(а):

$$\sqrt{2\phi+2\sqrt{\phi}}\cdot e^{i\cdot atan(\phi+\sqrt{\phi})}=2i+\cfrac{1}{2i+\cfrac{1}{2i+\cfrac{1}{2i+\ldots}}}}}$$

$$\phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2} \text{ - золотое сечение}$$

$x = 2 i + \frac 1 x \Longleftrightarrow x = i$, так что вы с тотальным грохотом провалили все усложняющие преобразования. В текущем виде получается нонсенс. Из условия на единичность модуля $i$ мы получаем $\phi = \frac 5 4$, из условия на аргумент получаем $\phi + \sqrt \phi = \infty$ (если позволить себе писать $=$).

[juna]

Исправил опечатку.

[arseniiv]

Я убедился, что дробь равна $i$, это несомненно, тут очень даже хорошо, что это кратный корень соответствующего квадратного уравнения — даже выбирать не из чего. Но вот с $\phi$ вы где-то ошиблись в выкладках как минимум. Арктангенс ничего не может получиться равным $\frac \pi 2$, а тот корень слева не получается равным единице.

-- Пн мар 22, 2021 02:56:34 --

Ну и надо добавить, что смех смехом, а ситуация грустная.

[juna]

Да, Вы правы, была опечатка. В каждом числителе цепной дроби тоже $2i$, на которую можно сократить, но через раз

$$2i+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2i+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2i+\ldots}}}}$$

[juna]

Еще:

$$\cfrac{1}{2i+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2i+\ldots}}}-\cfrac{1}{2i-\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{2i-\ldots}}}=\sqrt{\phi}-1$$

$$\left (\cfrac{1}{2i+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2i+\ldots}}}\right)\cdot\left (\cfrac{1}{2i-\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{2i-\ldots}}}\right )=\frac{\phi-\sqrt{\phi}}{2}$$

(Оффтоп)

В принципе примитивно, но красиво.

[juna]

Если рассматривать общий вид:

$$h(x)=\cfrac{1}{xi+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{xi+\ldots}}}-\cfrac{1}{xi-\cfrac{1}{1-\cfrac{1}{xi-\ldots}}}$$

то оказывается справедливо:

$$g(x)=\sqrt[4]{\frac{16}{x^2}+1}\cdot \cos\left (\frac{\arctan\left( \frac{4}{x}\right )}{2}\right )-1$$

$$\forall x\in\mathbb{C}: h(x)=g(x)$$

$$\forall x\in \mathbb{R}_{+}:g(x)=\frac{\sqrt{2}\sqrt{\frac{\sqrt{x^2+16}}{x}+1}-2}{2}$$

[VAL]

$$(-80538738812075974)^3 + 80435758145817515^3 + 12602123297335631^3 = 42$$

[makxsiq]

Поздравления А. Цельсия и К. Линнея с Новым годом

$$ 366 \approx 36,6 $$