Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1508777 писал(а):

Максимальный интервал для прайморилов до $997\#$ наблюдается для $701\#: \max=114$.
Интервалы от $100$ и более для них же:
$607\#:\max=112$
$619\#:\max=100$
$701\#:\max=114$
$911\#:\max=100$

Хорошие расчеты! Они подтверждают гипотезу автора. Жаль, что пока доказать эту гипотезу мы не можем.

[vorvalm]

Dmitriy40
Используя ваш огромный ресурс массивов простых и взаимно простых чисел,
прошу попробовать найти разность между соседними вычетами ПСВ (приведенная система вычетов)
по модулю $M=p_r\#$, равную $2p_{r+1}$. Спасибо.
P.S. Если попадутся разности $2p_r$ и больше, то это тоже хорошо.

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1508742 писал(а):

А вообще, для целей гипотезы Лежандра, вполне бы устроило, если бы между 49 и 121 находилось хотя бы одно число, взаимно простое с 210.

Так цель - доказательство гипотезы Лежандра? Как это связано?

[Dmitriy40]

vorvalm в сообщении #1508791 писал(а):

прошу попробовать найти разность между соседними вычетами ПСВ (приведенная система вычетов)
по модулю $M=p_r\#$, равную $2p_{r+1}$. Спасибо.
P.S. Если попадутся разности $2p_r$ и больше, то это тоже хорошо.

Раз Вы не накладываете ограничений на диапазон вычетов (кроме что он меньше $M=p_r\#$), то все эти вычеты будут простыми числами. А максимальные интервалы между соседними простыми уже посчитаны за нас и приведены например в вики. Осталось пройти по табличке и посмотреть на разность для ближайшего меньшего каждого праймориала.
Более того, я это уже проделал парой страниц раньше в этой же теме для праймориалов $5\#\ldots31\#$:

Dmitriy40 в сообщении #1506567 писал(а):

А из известных численных результатов видно что максимальные интервалы для тех же праймориалов составляют соответственно 6, 14, 34, 52, 114, 154, 248, 354, 474.

Сравнить эти 9 чисел с $\{5,7,11,13,17,19,23,29,31\}$ и $37$ оставляю Вам.

Искать точки точного равенства интервалов малоинтересно, понятно что они скорее всего (кажется бывают исключения когда некоторый конкретный интервал отсутствует, хотя есть намного большие, но это редкость) будут во множестве.

-- 12.03.2021, 12:54 --

Для примера $1361-1327=34$ в праймориале $13\#$ отвечает первому условию, а $1151-1129=22$ в $11\#$ второму.
Для следующих праймориалов подходящих вариантов сильно больше, очень сильно.
И никаких огромных баз простых чисел не требуется, достаточно первых нескольких тысяч простых, которые быстрее вычислить чем искать где скачать, хотя и скачать тоже можно:

Dmitriy40 в сообщении #1435511 писал(а):

Плюс в сети видел выложены все простые до $10^{12}$, можно просто взять и скачать, это конечно на порядки дольше вычислений, но зато не надо писать программ. Например в A000040 приведена ссылка "Matthew Parker, The first billion primes (7-Zip compressed file) [a large file]" на файл a000040_1B.

[vorvalm]

Dmitriy40 в сообщении #1508822 писал(а):

Раз Вы не накладываете ограничений на диапазон вычетов (кроме что он меньше $M=p_r\#$), то все эти вычеты будут простыми числами. А максимальные интервалы между соседними простыми уже посчитаны за нас и приведены например в вики. Осталось пройти по табличке и посмотреть на разность для ближайшего меньшего каждого праймориала.

Я извиняюсь, но я просил по возможности найти конкретные разности не между простыми числами праймориала,
но между взаимно простыми вычетами ПСВ по модулю $M=p_r\#$.
У меня есть программа создания массива вычетов ПСВ по модулям $M=p_r\#$, но она ограничена ресурсами ПК.

[Dmitriy40]

vorvalm в сообщении #1508835 писал(а):

Я извиняюсь, но я просил по возможности найти конкретные разности не между простыми числами праймориала,
но между взаимно простыми вычетами ПСВ по модулю $M=p_r\#$.

Да, я опять не так понял (точнее забыл что начиная с $p_r^2$ вычеты уже не все простые), прошу прощения.

Но тогда можно воспользоваться уже посчитанной за нас функцией Якобсталя для праймориалов в A048670 и узнать что первое условие может выполняться начиная с $p_{19}\#=67\#$, а второе начиная с $p_{14}=43\#$.
Как я ранее уже писал

Dmitriy40 в сообщении #1472498 писал(а):

Впрочем оказывается эти числа (точнее на 1 больше) есть в самой последовательности OEIS в разделе Links под именем "Robert Gerbicz, Table of n, a(n), u(n) for n=1..57, where every integer from [u(n),u(n)+a(n)-2] is divisible by at least one of the first n primes. Note that u(n) is not unique."

можно легко добыть список чисел для второго условия (начиная с n=14 в списке). Не полный, однако Вы же просили хоть какой-нибудь пример, так вот он вам готовые. Точное равенство для второго условия достигается например для $53\#$ и $59\#$ (для них максимальный интервал в $p_r\#$ совпадает с $2p_r$). Для первого условия точного равенства в списке не достигается, потому конкретные числа так узнать нельзя, может таких интервалов и вообще нет, но и проверять числа в диапазоне $6\cdot10^{17}$ радости не доставляет. Предлагаю успокоиться на факте что максимальный интервал в $p_r\#$ может быть и больше $2p_{r+1}$, а уж на каких конкретно числах достигается точное равенство останется неизвестным (пока?).

[Yury_rsn]

vicvolf в сообщении #1508655 писал(а):

Yury_rsn Да, в Вашем доказательстве, ответ получается более простым способом, но наверно доказательство этой формулы в Прахаре не такое простое. Интересно, что, в этом случае, ответ не зависит от праймориалов!

Если здесь разрешены ссылки на внешние источники
Фотки из Прахара:

https://drive.google.com/file/d/1r5S3Z- ... sp=sharing

https://drive.google.com/file/d/1mhxO9v ... sp=sharing

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1508870 писал(а):

vicvolf в сообщении #1508655 писал(а):

Yury_rsn Да, в Вашем доказательстве, ответ получается более простым способом, но наверно доказательство этой формулы в Прахаре не такое простое. Интересно, что, в этом случае, ответ не зависит от праймориалов!

Если здесь разрешены ссылки на внешние источники
Фотки из Прахара:

https://drive.google.com/file/d/1r5S3Z- ... sp=sharing

https://drive.google.com/file/d/1mhxO9v ... sp=sharing

Да, первое доказательство по объему небольшое. А зачем Вы привели вторую ссылку?

[Yury_rsn]

vicvolf в сообщении #1508881 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1508870 писал(а):

vicvolf в сообщении #1508655 писал(а):

Yury_rsn Да, в Вашем доказательстве, ответ получается более простым способом, но наверно доказательство этой формулы в Прахаре не такое простое. Интересно, что, в этом случае, ответ не зависит от праймориалов!

Если здесь разрешены ссылки на внешние источники
Фотки из Прахара:

https://drive.google.com/file/d/1r5S3Z- ... sp=sharing

https://drive.google.com/file/d/1mhxO9v ... sp=sharing

Да, первое доказательство по объему небольшое. А зачем Вы привели вторую ссылку?

В тексте теоремы 5.1 есть упоминание формулы (3.2)
И она описана на той второй странице

-- 13.03.2021, 00:02 --

Dmitriy40 в сообщении #1508777 писал(а):

Ну и вот вам список максимальных интервалов между простыми (они же взаимно простые с $p_r\#$) в интервале $(p_r^2,p_{r+1}^2)$ для праймориала $p_r\#$:
$2\#: \max=2$
$3\#: \max=4$
...

Спасибо!

-- 13.03.2021, 00:17 --

vicvolf в сообщении #1508792 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1508742 писал(а):

А вообще, для целей гипотезы Лежандра, вполне бы устроило, если бы между 49 и 121 находилось хотя бы одно число, взаимно простое с 210.

Так цель - доказательство гипотезы Лежандра? Как это связано?

кто-то выше уже вроде написал, что на отрезке от $p_{r}^2$ до $p_{r+1}^2$ все числа, взаимно простые с праймориалом $p_{r}#$ являются простыми.

Если бы можно было доказать, что на этом отрезке максимальный интервал между соседними взаимно простыми в праймориале $p_{r}#$ не превышает $p_{r+1}-1$ или хотя бы $p_{r+1}^2 - p_{r}^2$, то это был бы уже шаг к доказательству гипотезы Лежандра.

Функция Якобсталя растет гораздо быстрее, чем разность квадратов, но ведь она берет эти свои максимумы где-то ближе к середине праймориала.
Нельзя ли как-то использовать тот факт каждый последующий праймориал использует предыдущие внутри себя, как матрешки, - чтобы показать невозможность слишком больших интервалов на начальных отрезках?

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1508939 писал(а):

В тексте теоремы 5.1 есть упоминание формулы (3.2)
И она описана на той второй странице

Как раз ее доказательство занимает у Прахара несколько страниц, хотя можно в одну строчку.

[Yury_rsn]

vicvolf в сообщении #1508941 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1508939 писал(а):

В тексте теоремы 5.1 есть упоминание формулы (3.2)
И она описана на той второй странице

Как раз ее доказательство занимает у Прахара несколько страниц, хотя можно в одну строчку.

Кстати, в доказательстве еще упоминается (4.1).
Нужно ли тогда вставить сюда и эту страницу? И всё доказательство формулы (3.2) ?

А вообще, такие вставки не нарушают как-то правила форума?

-- 13.03.2021, 02:22 --

Ага, прочитал в правилах
"То же относится и к любым внешним ссылкам: по возможности желательно их избегать, используйте только в случаях реальной необходимости."

Ок. Без крайней необходимости больше не буду.

-- 13.03.2021, 03:06 --

всё-таки формулы (4.1) очень важны для ясности доказательства

Рискну добавить
https://drive.google.com/file/d/1GWebsx ... sp=sharing

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1508949 писал(а):

vicvolf в сообщении #1508941 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1508939 писал(а):

В тексте теоремы 5.1 есть упоминание формулы (3.2)
И она описана на той второй странице

Как раз ее доказательство занимает у Прахара несколько страниц, хотя можно в одну строчку.

Кстати, в доказательстве еще упоминается (4.1).
Нужно ли тогда вставить сюда и эту страницу? И всё доказательство формулы (3.2) ?

Да, все доказательство формулы 3.2 все более разбухает, а между тем делается в одну строчку:

$$\sum_{p \leq x} \ln(p) \sim \sum_{k \leq x} \frac {\ln(k)}{\ln(k)}=\sum_{k \leq x} {1}=x$$

Аналогично доказывается формула из (4.1):

$$\sum_{p \leq x} \frac {1}{p} \sim \sum_{k \leq x} \frac {1}{k\ln(k)}\sim \ln\ln(x)$$

Yury_rsn в сообщении #1508949 писал(а):

Ага, прочитал в правилах
"То же относится и к любым внешним ссылкам: по возможности желательно их избегать, используйте только в случаях реальной необходимости."

Фотографии делать не надо. Достаточно указать источник - автор, название, год издания, страница.

[Yury_rsn]

vicvolf в сообщении #1508971 писал(а):

Фотографии делать не надо. Достаточно указать источник - автор, название, год издания, страница.

А эти книги легко доступны в сети?
Иногда ведь надо всего одну, две странички текста привести - здесь-сейчас для конкретного обсуждения.

-- 13.03.2021, 13:51 --

vicvolf в сообщении #1508971 писал(а):

$$\sum_{p \leq x} \ln(p) \sim \sum_{k \leq x} \frac {\ln(k)}{\ln(k)}$$

Не совсем понял этот переход.
Подскажите, плиз.

[vicvolf]

Yury_rsn в сообщении #1508999 писал(а):

vicvolf в сообщении #1508971 писал(а):

$$\sum_{p \leq x} \ln(p) \sim \sum_{k \leq x} \frac {\ln(k)}{\ln(k)}$$

Не совсем понял этот переход. Подскажите, плиз.

На основании асимптотического закона простых чисел доказано topic140635.html , что справедлива формула:

$$\sum_{p \leq x} f(p) \sim \sum_{k \leq x} \frac {f(k)}{\ln(k)},$$

если ряд $\sum_{p=2}^{\infty} f(p)$ - расходится и $f(p)$ растет медленнее показательной функции.

[Dmitriy40]

(Оффтоп)

Доказано?! Там каша из утверждений с ошибками, их исправлений с новыми ошибками и т.д. Особенно порадовала 4-я и далее страницы темы, где ошибки буквально через каждое сообщение. Ну и похожая на эту формула там "доказана" лишь с добавлением $O()$, которое вообще говоря может влиять на результат пока не под пределом. Так что я бы поостерёгся ссылаться на доказанные таким способом формулы если их нет в других источниках. Впрочем я не математик, потому в офтопе.