Мне идею подсказало вспомнившееся решение задачи о переселении жильцов из бесконечного счетного множества гостиниц, в каждой из которой бесконечное счетное множество номеров в одну гостиницу с бесконечным счетным множеством номеров:
Итак, пусть уже построено взаимно-однозначное соответствие между
и интервалом
. Я специально не стал включать 1 в этот интервал. Немного ниже объясню, почему. Тогда задача сводится к взаимно-однозначному отображению
хотел здесь написать бесконечного, но не буду: счетное множество бесконечно по определению счетного множества
действительных чисел, каждое из которых принадлежит этому интервалу на этот же интервал. Для этого воспользуемся представлениями этих чисел в двоичной системе счисления и запишем эти представления в виде, таблицы, одно под другим:
где все
равны 0 или 1. Тогда, ставя в соответствие этому бесконечному множеству действительное число
, определяемому следующим образом:
, мы и определим некоторое отображение множества этих счетных множеств действительных чисел на этот интервал. Сюръективность этого отображения очевидна: если мы возьмем какое-либо число
, где каждая
равна 0 или 1, и расставим цифры его дробной части в таблицу с бесконечным числом строк и столбцов в то место, из которого была взята цифра из такой же таблицы, при построении числа
для его цифры из того же разряда, что и рассматриваемая сейчас цифра, то мы однозначно восстановим двоичные записи чисел
. Далее осталась инъективность, но она очевидна: если даже у двух последовательностей будет различие только в одном разряде только у одного элемента в каждом из множеств, это тут же вызовет различие в числах, получаемых по описанному способу для каждого из множеств.