Кажется, сделал. Я надумал вот это:
Дорогие коллеги ! Большое спасибо за столь активное обсуждение. Я, естественно, согласен со всеми доводами. Сейчас я предложу другой вариант - давайте обсудим его.
Начало повторяется. Пусть у нас число
представляется бесконечной десятичной дробью вида
Бесконечные последовательности девяток, как и прежде, будем считать недопустимыми, за исключением случая
В этом случае, сразу положим
Далее, как и прежде, положим
в том и только том случае, если последовательность а)
не является последовательностью вида
либо б)
(ведь именно эти последовательности дадут в образе "плохие" точки). Заметим, что множество тех
для которых ни одно из условий а) и б) не выполнено, взаимнооднозначно отображается на
"Новая" часть. Если последовательность
где
то полагаем
. Здесь стоит заметить, что
по определению ! Далее, есть ещё точки вида
. Возможны два случая: 1)
тогда положим
2)
тогда положим
, где
соответствует наименьшему элементу
который отличен от числа 9. Указанное соотвествие переводит некоторое подмножество отрезка
на сторону квадрата
и, вроде бы, оно взаимнооднозначно (Ваше мнение ?). С другой стороной квадрата - вполне аналогичная ситуация, когда девятки расположены на нечётных местах последовательности, соответствующей выбранному элементу
переписать в строгом виде. Получилось вот что:
Начало повторяется. Пусть у нас число
представляется бесконечной десятичной дробью вида
. Бесконечные последовательности девяток, как и прежде, будем считать недопустимыми, за исключением случая
; В этом случае, сразу положим
. Далее, как и прежде, положим
в том и только том случае, если последовательность а)
не имеет вид
‚ при этом цифра
‚ если она существует‚ уже отлична от 9 ‚ либо б)
не имеет вид
‚ при этом цифра
‚ если она существует‚ уже отлична от 9. Ведь именно эти последовательности дадут в образе "плохие" точки. Отметим‚ что‚ как в а)‚ так и в б)
может принимать значения‚ принадлежащему множеству натуральных чисел‚ начинающемуся‚ как и принято в обсуждаемой книге‚ с нуля‚ но тогда цифр перед девятками‚ если
имеет вид пункта б)‚ не будет вовсе. Именно это соображение заставило нас в исходном представлении икса
цифры
нумеровать не с 0‚ а с 1. И у нас получается, что множество тех
, для которых ни одно из условий а) и б) не выполнено, взаимно-однозначно отображается на
. Пусть
имеет вид‚ как в пункте а)‚ т. е.‚
, где пока
, тогда полагаем
. В силу принятого пока соглашения о
‚
и поэтому цифра
существует и по определению отлична от 9. Далее, если же такой цифры нет‚ т. е. в случае
‚ то
имеет вид:
. При этом возможны два случая: 1)
, тогда положим
. 2)
, тогда положим
, где
находится из уравнения
‚ при условии, что
- первая отличная от 9 цифра числа
(в этом случае из-за самого вида числа
она стоит в нечётном отрицвтельном разряде). Нужно еще учитывать‚ что‚ т. к. в этом случае
‚ то будет
‚ а‚ значит‚ решая уравнение
относительно
‚ мы никогда не получим его отрицательным. Опять же‚ в этом случае будет и
‚ т. е. в ординате
сразу после запятой стоит как минимум одна девятка‚ что исключает совпадение
‚ вычисленного в данном случае‚ с каким-нибудь
‚ вычисленным в случае а). Указанное соответствие переводит некоторое подмножество отрезка
на сторону квадрата
и, вроде бы, оно взаимно-однозначно (Ваше мнение ?). С другой стороной квадрата - вполне аналогичная ситуация, когда девятки расположены на нечётных местах последовательности, соответствующей выбранному элементу
.