Обсуждение книги Верещагина, Шена "Начала теории множеств"

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1508763 писал(а):

Не любая последовательность нулей и единиц является дробной частью какого-то числа.

В смысле, разрешены или нет нули или единицы в периоде?

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1508764 писал(а):

В смысле, разрешены или нет нули или единицы в периоде?

Да. В зависимости от соглашений, либо $0.0(1)$, либо $0.1(0)$ не является корректной записью одного и того же числа, либо они являются записью одного и того же числа. В любом случае, наивное построение $a_1 a_2 \ldots \to 0.a_1 a_2\ldots$ биекцию (а то и вообще отображение) не задает.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1508766 писал(а):

Sinoid в сообщении #1508764 писал(а):

В смысле, разрешены или нет нули или единицы в периоде?

Да.

Понял! А я-то думал, что использование двоичной системы устраняет этот недостаток, потому и погнался за этой системой счисления. Да-да-да, теперь все начинает выглядеть с единой точки зрения: никакая система счисления в этом отношении не лучше! Спасибо!

[kotenok gav]

(Оффтоп)

Sinoid в сообщении #1508749 писал(а):

А что за книга?

[vego]

Виленкин "В поисках бесконечности"

[Sinoid]

(Оффтоп)

vego в сообщении #1508799 писал(а):

Виленкин "В поисках бесконечности"

Не знаю. Лично я ее знаю под названием "Рассказы о множествах":

Кстати, написана очень доступно.

-- 12.03.2021, 17:05 --

Someone в сообщении #1508746 писал(а):

Sinoid в сообщении #1508691 писал(а):

Скажите, пожалуйста, это же эти бесконечные последовательности считаются счетными?

По определению последовательность элементов множества $A$ — это отображение (функция) $\mathbb N\to A$, где $\mathbb N$ — натуральный ряд.

Да, с определением последовательности я уже сталкивался при изучении (с наставником) книги Успенский В. А., Верещагин Н. К., Плиско В. Е. "Вводный курс математической логики":

, но видите ли, в чем дело? Там определялась вычислимая последовательность, а в изучаемой книге последовательность вообще никак не определяется, так что были сомнения. Спасибо за то, что их развеяли.

-- 12.03.2021, 17:21 --

mihaild в сообщении #1508763 писал(а):

Sinoid в сообщении #1508762 писал(а):

Так в доказательстве-то последовательности и есть дробная часть двоично-рациональных чисел

Не любая последовательность нулей и единиц является дробной частью какого-то числа.

Да, но в теореме 4 говорится о множестве всех бесконечных последовательностей нулей и единиц, а доказывается она явно через дробные части двоично-рациональных чисел.

[mihaild]

Sinoid в сообщении #1508848 писал(а):

говорится о множестве всех бесконечных последовательностей нулей и единиц, а доказывается она явно через дробные части двоично-рациональных чисел

Она доказывается не прямым сопоставлением двоичных последовательностей числам. Мы разбиваем все последовательности на два множество, первое из которых равномощно числам, а второе счетно. Ну а множество всех последовательностей равномощно первому множеству по теореме 3.

[Sinoid]

mihaild в сообщении #1508766 писал(а):

Sinoid в сообщении #1508764 писал(а):

В смысле, разрешены или нет нули или единицы в периоде?

Да. В зависимости от соглашений, либо $0.0(1)$, либо $0.1(0)$ не является корректной записью одного и того же числа, либо они являются записью одного и того же числа.

Это-то понятно, но доказательство теоремы 4 ведется явно через дробные части двоично-рациональных чисел, а в ее условии сказано про множество всех бесконечных последовательностей нулей и единиц, хотя в окончании доказательства теоремы сказано то же самое, что говорите вы:


А-а-а. Это получается, из множества всех бесконечных последовательностей нулей и единиц, назовем его $A$ удаляются все такие, которые оканчиваются на 1 в периоде (если 1 в периоде запрещено), при этом множество этих подлежащих удалению бесконечных последовательностей счетно, поэтому мощность части множества $A$, оставшейся после удаления этого множества бесконечных последовательностей, будет равна мощности исходного множества $A$, а, ввиду возможности двоякого представления двоичных дробей (я не говорю о том, как обстоят дела после принятия соглашения, что разрешено - нули или единицы в периоде, я говорю, как обстоят эти дела до принятия этого соглашения) в части множества $A$, оставшейся после удаления этого множества бесконечных последовательностей, останется ровно 1 бесконечная последовательностей, соответствующая каждой удаленной последовательности. Не тождественная этой удаленной последовательности, а определенным образом ей соответствующая. И, таким образом, получится, что мощность множества оставшихся бесконечных последовательностей нулей и единиц будет все равно совпадать со множеством точек интервала $\left[0,\,1\right]$. Правильно же?

-- 12.03.2021, 18:27 --

mihaild в сообщении #1508855 писал(а):

Она доказывается не прямым сопоставлением двоичных последовательностей числам. Мы разбиваем все последовательности на два множество, первое из которых равномощно числам, а второе счетно. Ну а множество всех последовательностей равномощно первому множеству по теореме 3.

Да-да, я написал, как думаю. Проверьте, пожалуйста.

[Sinoid]

Sinoid в сообщении #1508868 писал(а):

А-а-а. Это получается, из множества всех бесконечных последовательностей нулей и единиц, назовем его $A$ удаляются все такие, которые оканчиваются на 1 в периоде (если 1 в периоде запрещено), при этом множество этих подлежащих удалению бесконечных последовательностей счетно, поэтому мощность части множества $A$, оставшейся после удаления этого множества бесконечных последовательностей, будет равна мощности исходного множества $A$, а, ввиду возможности двоякого представления двоичных дробей (я не говорю о том, как обстоят дела после принятия соглашения, что разрешено - нули или единицы в периоде, я говорю, как обстоят эти дела до принятия этого соглашения) в части множества $A$, оставшейся после удаления этого множества бесконечных последовательностей, останется ровно 1 бесконечная последовательностей, соответствующая каждой удаленной последовательности. Не тождественная этой удаленной последовательности, а определенным образом ей соответствующая. И, таким образом, получится, что мощность множества оставшихся бесконечных последовательностей нулей и единиц будет все равно совпадать со множеством точек интервала $\left[0,\,1\right]$. Правильно же?

Как-то получилось все с ног на голову. Но мне кажется, я понял. Сейчас напишу. Нужно только четко сформулировать.

[Sinoid]

Итак, берем бесконечные двоично-рациональные записи всех чисел, принадлежащих интервалу $\left[0,\,1\right]$. Для определенности запретим этим записям заканчиваться единицей в периоде, заменяя такие записи записями, оканчивающимися нулем в периоде соответствующим образом ($9,(9)\cdot10^{-n-1}=10^{-n}$, где $n=1,\,2,\ldots$, и т. д.). Оставим только одну такую запись - 0,(1). И будем считать, что эта запись является записью 1. Из этих записей отбрасыванием целой части и запятой образуем множество бесконечных последовательностей, состоящих только из нулей и единиц. Обозначим его через $A$. Очевидно, это множество бесконечно. Среди этих последовательностей, ввиду принятого вначале запрета в двоичных записях чисел единиц в периоде (кроме одной, но это сейчас неважно, тра-та-та), не будет таких, у которых вначале стоит какая-то конечная последовательность ненулевой длины нулей и единиц и оканчивающаяся (конечная последовательность) нулем, а потом идет бесконечная последовательность единиц. Обозначим множество таких последовательностей через $B$. Множество $B$, с одной стороны, счетное (это несложно доказать). С другой стороны, его объединение с множеством $A$ дает вообще множество всех бесконечных последовательностей нулей и единиц. Обозначим его через $C$. А, поскольку, по теореме 3, объединение бесконечного множества со счетным множеством не меняет мощности этого бесконечного множества, то и получаем, что множество $A$ равномощно множеству $C$. С другой стороны, по самому построению множества $A$ оно равномощно интервалу $\left[0,\,1\right]$. И вот только из этого получаем, что этот интервал равномощен $C$

Правильно сформулировал?

[vpb]

Sinoid в сообщении #1509070 писал(а):

Правильно сформулировал?

Да (исключая то, что двоичные дроби с десятичными в формуле перепутали).

[Sinoid]

vpb в сообщении #1509096 писал(а):

(исключая то, что двоичные дроби с десятичными в формуле перепутали).

Блин, точно! Нужно было $1,(1)\cdot10^{-n-1}=10^{-n}$ Большое спасибо за замечание.

-- 14.03.2021, 00:39 --

где уже $n=10,\,11,\,100\ldots$

-- 14.03.2021, 01:14 --

Ну, и тогда вот это вот:

Sinoid в сообщении #1508749 писал(а):

Итак, пусть уже построено взаимно-однозначное соответствие между $\mathbb{R}$ и интервалом $[0,\,1)$. Я специально не стал включать 1 в этот интервал. Немного ниже объясню, почему. Тогда задача сводится к взаимно-однозначному отображению хотел здесь написать бесконечного, но не буду: счетное множество бесконечно по определению
счетного множества $\left\{ a_{0},\, a_{1},\, a_{2},\ldots\right\}$действительных чисел, каждое из которых принадлежит этому интервалу на этот же интервал. Для этого воспользуемся представлениями этих чисел в двоичной системе счисления и запишем эти представления в виде, таблицы, одно под другим:

$$\begin{matrix}a_{0} & = & \overline{0,\epsilon_{00}\epsilon_{01}\epsilon_{02}\ldots}\\ a_{1} & = & \overline{0,\epsilon_{10}\epsilon_{11}\epsilon_{12}\ldots}\\ a_{2} & = & \overline{0,\epsilon_{20}\epsilon_{21}\epsilon_{22}\ldots}\\ \hdotsfor{3} \end{matrix}$$

где все $\epsilon_{ij}$ равны 0 или 1. Тогда, ставя в соответствие этому бесконечному множеству действительное число $a$, определяемому следующим образом: $a=\overline{0,\epsilon_{00}\epsilon_{01}\epsilon_{11}\epsilon_{10}\epsilon_{02}\epsilon_{12}\epsilon_{22}\epsilon_{21}\epsilon_{20}\ldots}$, мы и определим некоторое отображение множества этих счетных множеств действительных чисел на этот интервал. Сюръективность этого отображения очевидна: если мы возьмем какое-либо число $b=\overline{0,\beta_{0}\beta_{1}\beta_{2}\ldots}$, где каждая $\beta$ равна 0 или 1, и расставим цифры его дробной части в таблицу с бесконечным числом строк и столбцов в то место, из которого была взята цифра из такой же таблицы, при построении числа $a$ для его цифры из того же разряда, что и рассматриваемая сейчас цифра, то мы однозначно восстановим двоичные записи чисел $a_{0},\, a_{1},\, a_{2},\ldots$. Далее осталась инъективность, но она очевидна: если даже у двух последовательностей будет различие только в одном разряде только у одного элемента в каждом из множеств, это тут же вызовет различие в числах, получаемых по описанному способу для каждого из множеств.

остается почти без изменений, только сначала строим взаимно-однозначное отображение
между $\mathbb{R}$ и интервалом $\left[0,\,1\right]$, затем строим взаимно-однозначное отображение между этим интервалом и множеством всех бесконечных последовательностей нулей и единиц. Композиция этих двух отображений позволяет говорить о взаимно-однозначном отображении между $\mathbb{R}$ и множеством всех бесконечных последовательностей нулей и единиц. Далее делаем в точности то же самое, что мы делали для построения числа $a$, соответствующего данной числовой последовательности $a_{0},\, a_{1},\, a_{2},\ldots$, строим число $a$ по тому же правилу, только вместо двоично-рациональных представлений каждого элемента этой последовательности соответственно для каждого элемента этой бесконечной последовательности используем соответствующую бесконечную последовательность нулей и единиц. Верно же?

[mihaild]

Sinoid, да, всё так. После доказательства теоремы 4 можно во всех рассуждениях о мощностях заменять $\mathbb R$ на последовательности (только надо не забывать об этом упомянуть).

[Sinoid]

Все понятно. Спасибо большое.

[Sinoid]

Думаю над задачей 48:
Докажите, что, если отрезок разбит на 2 части, то хотя бы одна из них равномощно отрезку.
Это же разбиение предполагается не строго таким, что, к примеру, слева направо (или, там, снизу вверх, ну, вы поняли) сначала идут строго точки одной части, а потом, вправо от определенной точки, начинаются точки другой? Разбиение же может быть, к примеру, таким:

, где точки (и точки, не являющимися концами отрезков, внутренние точки этих отрезков) разного цвета - это точки разных двух частей?