Максимальные интервалы между взаимно простыми числами

[Dmitriy40]

"Только простые числа" не входят ни в какой отрезок (за единственным исключением $[2;3]$), всегда между ними есть составные.
Даже взаимно простые не могут образовывать интервалы длиннее трёх, из четырёх чисел два будут чётными и не взаимно простыми.
Вот взаимно простые с данным числом могут идти длинным непрерывным отрезком (причём только для нечётных заданных чисел, а все праймориалы чётные).

PS. Сколько ни читаю тему, постоянно не понимаю кто где говорит о простых, кто о взаимно простых, кто о ПСВ, а кто о ваимно простых с праймориалом (если их отличают от ПСВ).

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1508346 писал(а):

Сколько ни читаю тему, постоянно не понимаю кто где говорит о простых, кто о взаимно простых, кто о ПСВ, а кто о ваимно простых с праймориалом (если их отличают от ПСВ).

Взаимно простые числа по какому-либо модулю - это есть последовательность чисел ПСВ по данному модулю. В данном случае в качестве модуля берется праймориал $p_r\#$. Так вот, если взять последовательность чисел ПСВ по данному модулю на интервале $(p_r^2,p_{r+1}^2)$, то она состоит только из простых чисел. Можете проверить. Почитайте теорию чисел!

[Dmitriy40]

О, теперь и ещё одно понятие, взаимно простых по модулю.
Может конечно оно всё и одно и то же, не знаю, да.
Хотя даже ПСВ может в принципе означать или полную или приведённую систему вычетов ...
ОК, не лезу в ваш междуусобчик, если вы друг друга понимаете, то прекрасно.

PS. О, похоже простые там не просто от $p_r^2$, а вообще все $(1,p_{r+1}^2)$. Забавно.

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1508346 писал(а):

Сколько ни читаю тему, постоянно не понимаю кто где говорит о простых, кто о взаимно простых, кто о ПСВ, а кто о ваимно простых с праймориалом (если их отличают от ПСВ).

Я в самом первом сообщении написал:

Цитата:

Возьмем последовательные праймориалы и для каждого из них выпишем взаимно простые с ним числа. (систему вычетов)
$2 \cdot3 \cdot5$ - вычеты $1,7,11,13,17,19,23,29$
$2 \cdot3 \cdot5 \cdot7$ - вычеты $1, 11, 13,17, ...$

Может где-то в дальнейшем неправильно сформулировал, - сорри.

[vicvolf]

Dmitriy40 в сообщении #1508388 писал(а):

О, теперь и ещё одно понятие, взаимно простых по модулю. Может конечно оно всё и одно и то же, не знаю, да. Хотя даже ПСВ может в принципе означать или полную или приведённую систему вычетов ...

Здесь ПСВ - приведенная система вычетов, в которую входят только взаимно простые с модулем натуральные числа.

Цитата:

О, похоже простые там не просто от $p_r^2$, а вообще все $(1,p_{r+1}^2)$.

Рад, что расширил Ваш кругозор.

[Yury_rsn]

Dmitriy40 в сообщении #1508049 писал(а):

Даже перепишу с теоремой Мертенса в знаменателе (в больших скобках):

$$\frac{\pi(x\#)}{\varphi(x\#)}=\frac{1}{\ln(x\#)}\frac{1}{\prod\limits_{p \le x} (1-\frac{1}{p})}=\frac{1}{\ln(x\#)}\frac{\ln(x)}{\left (\ln(x)\prod\limits_{p \le x} (1-\frac{1}{p})\right )}=\frac{\ln(x)}{\ln(x\#)}\frac{1}{e^{-\gamma}}=\frac{C}{\ln(x_{-1}\#)}$$

Ну а предел этого при $x\to\infty$ понятно нулевой.
Похоже это доказательство ...

Кстати, по поводу предела этого отношения.
У Прахара на стр. 32, есть такая теорема 5.1 (Ландау)

$${\varphi(x)}>\frac{cx}{\ln\ln(x)}$

[Dmitriy40]

Последнее равенство, с $\ln(x_{-1}\#)$, кстати тут у меня неправильное, забыл свойства логарифмов, а потом уже исправлять не стал. Но на результат это не влияет. Думаю тему об этом пределе пора закончить, вряд ли есть смысл доводить доказательство до полной строгости.

[Yury_rsn]

Yury_rsn в сообщении #1508405 писал(а):

У Прахара на стр. 32, есть такая теорема 5.1 (Ландау)

$${\varphi(x)}>\frac{cx}{\ln\ln(x)}$

Закончу эту мысль, а то как-то повисло в воздухе.
Формула Ландау, как мне видится, мгновенно доказывает предположение, что предел отношения функции "пи" к функции "фи" равен нулю.
Пи - это икс делить на логарифм икс.
Фи - это икс делить на логарифм логарифма икс.
При делении этих дробей друг на друга - в числителе остается логарифм от логарифма, а в знаменателе - просто логарифм.
Это так тривиально, что даже неохота формулы выписывать.

[Yury_rsn]

Yury_rsn в сообщении #1508500 писал(а):

даже неохота формулы выписывать.

Прошу прощения. Сейчас увидел, что эта фраза как-то заносчиво звучит
Я этого не хотел.
Имел в виду, что ответ получается таким простым, что лень мучаться с языком формул.
Сорри.

[vicvolf]

Yury_rsn Да, в Вашем доказательстве, ответ получается более простым способом, но наверно доказательство этой формулы в Прахаре не такое простое. Интересно, что, в этом случае, ответ не зависит от праймориалов!

vicvolf в сообщении #1508333 писал(а):

vicvolf в сообщении #1508222 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1508217 писал(а):

Не. Меня интересует именно в начале - особенно отрезок от $p_{r}^2 до $p_{r+1}^2
Можно ли доказать, что на этом отрезке максимальный интервал между соседними взаимно простыми в праймориале $p_{r}#$ не превышает $p_{r+1}-1$ ?

До $7\#$ максимум равен $p_{r+1}-1$.
Для $11\#=2310$ значения $p_{r}^2=121,p_{r+1}^2=169$ далеки от середины.
Для $13\#=30030$ значения $p_{r}^2=169,p_{r+1}^2=289$ еще дальше от середины.
Для больших значений праймориалов тем более значения $p_{r}^2,p_{r+1}^2$ далеки от середины.
Но дело в том, что для больших праймориалов даже не максимальное расстояние может быть больше $p_{r+1}-1$.

Отрезок $p_{r}^2 до $p_{r+1}^2 это отрезок ПСВ, в который входят только простые числа.
Для расстояния между соседними простыми числами имеется гипотеза Крамера $sup_k(p_{k+1}-p_k) \leq C\ln^2p_{k+1}$. Подставим в эту формулу верхнюю границу $p_{k+1}=p^2_{r+1}$ и получим $sup_k(p_{k+1}-p_k) \leq 4C\ln^2p_{r+1}$. Если справедлива гипотеза Крамера, то неравенство $p_{r+1}-1 > 4C\ln^2p_{r+1}$ выполняется для больших $r$ и Ваше предположение справедливо.

В ответ на Вашу просьбу об этом доказательстве могу сказать, что при уровне настоящих знаний известно, что $sup_k (p_{k+1}-p_k) \leq p^{0.525}_{k+1}$ https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0 ... 0%BC%D0%B8, что не достаточно для доказательства. Поэтому пришлось прибегнуть к гипотезе.

[Батороев]

Yury_rsn в сообщении #1508217 писал(а):

Меня интересует именно в начале - особенно отрезок от $p_{r}^2$ до $p_{r+1}^2$

Можно ли доказать, что на этом отрезке максимальный интервал между соседними взаимно простыми в праймориале $p_{r}#$ не превышает $p_{r+1}-1$ ?

Зачем Вам это?!
Ведь интервал между простыми-близнецами уже равен: $p_{r+1}^2-p_{r}^2=4p_{r+1}-4$, а для других простых - еще больше. Это во-первых.

А во-вторых, Вам нужны (до меня только-что дошло) интервалы в наименьших примориалах $p_{v}\#$, в пределах которых находятся числа $p_{r}^2$ и $p_{r+1}^2$.
А $v<<r$... естественно, не сразу. ))

-- 11 мар 2021 22:34 --

Например, интервалы в примориале $19\#$:

Dmitriy40 в сообщении #1472687 писал(а):

19#: 22/1, 24/1333, 34/60043 — заметьте какое интересное исключение здесь: и короче, и нет интервала 26, и интервал 24 обнаружен сильно раньше

а расстояние между кваратами двух наименьших простых-близнецов, квадрат которых превышает предыдущий примориал: $811^2-809^2= 3240$.
$v=8<<r=140$.

[Батороев]

Да, и расстояние между квадратами двух соседних натуральных чисел, которые (квадраты) превышают $17\#$ существенно больше приведенных выше интервалов: $716^2-715^2 = 1431$.

[Yury_rsn]

Батороев в сообщении #1508704 писал(а):

Yury_rsn в сообщении #1508217 писал(а):

Меня интересует именно в начале - особенно отрезок от $p_{r}^2$ до $p_{r+1}^2$

Можно ли доказать, что на этом отрезке максимальный интервал между соседними взаимно простыми в праймориале $p_{r}#$ не превышает $p_{r+1}-1$ ?

Давайте на примере, чтобы убрать возможные неясности.

$7\#=210$
Вопрос - есть ли взаимно простые с 210 числа между $7^2$ и $11^2$ ?
Ответ - конечно, есть. Это, например, 53 и 59
И интервал между соседними взаимно простыми с 210 числами на отрезке между 49 и 121 не превышает 59-53=6, что меньше, чем 11.

Правда, есть такие соседние 113 и 127. Но 127 уже вылетает за 121.
В этом месте имеем максимальный интервал между числом и границей интервала 121-113=8. Но это тоже меньше 11
---
А вообще, для целей гипотезы Лежандра, вполне бы устроило, если бы между 49 и 121 находилось хотя бы одно число, взаимно простое с 210.

[Dmitriy40]

Yury_rsn в сообщении #1508742 писал(а):

И интервал между соседними взаимно простыми с 210 числами на отрезке между 49 и 121 не превышает 59-53=6, что меньше, чем 11.

Неправда: $97-89=8$.

Ну и вот вам список максимальных интервалов между простыми (они же взаимно простые с $p_r\#$) в интервале $(p_r^2,p_{r+1}^2)$ для праймориала $p_r\#$:
$2\#: \max=2$
$3\#: \max=4$
$5\#: \max=6$
$7\#: \max=8$
$11\#: \max=10$
$13\#: \max=12$
$17\#: \max=14$
$19\#: \max=12$
$23\#: \max=14$
$29\#: \max=20$
$31\#: \max=34$
$37\#: \max=20$
$41\#: \max=18$
$43\#: \max=24$
$47\#: \max=26$
$53\#: \max=28$
$59\#: \max=16$
$61\#: \max=30$
$67\#: \max=30$
$71\#: \max=28$
$73\#: \max=32$
$79\#: \max=30$
$83\#: \max=30$
$89\#: \max=34$
$97\#: \max=36$
$101\#: \max=28$
$103\#: \max=32$
$107\#: \max=34$
$109\#: \max=34$
$113\#: \max=44$
$127\#: \max=42$
$131\#: \max=34$
$137\#: \max=36$
$139\#: \max=52$
$149\#: \max=40$
$151\#: \max=36$
$157\#: \max=52$
$163\#: \max=36$
$167\#: \max=48$
$173\#: \max=72$
$179\#: \max=36$
$181\#: \max=62$
$191\#: \max=26$
$193\#: \max=44$
$197\#: \max=42$
$199\#: \max=60$
А то Вы что-то строите выводы лишь на самых маленьких праймориалах, а это грубо неправильно. Хотя найти/получить список простых даже до $10000$ и найти в нём максимальные разницы большого труда не представляет даже без написания программ.
Праймориалы $3\#,5\#,7\#,31\#$ уникальны, в них разница больше его самого (например $34>31$), но правда не больше следующего ($34<37$).

-- 12.03.2021, 04:27 --

Максимальный интервал для прайморилов до $997\#$ наблюдается для $701\#: \max=114$.
Интервалы от $100$ и более для них же:
$607\#:\max=112$
$619\#:\max=100$
$701\#:\max=114$
$911\#:\max=100$

[Батороев]

Yury_rsn в сообщении #1508742 писал(а):

Давайте на примере, чтобы убрать возможные неясности.

Неясность внес я.
Сидя вчера около полуночи, написал ответ не на то, что Вы спрашивали (про взаимно простые), а рассписал то, как соотносятся расстояния между квадратами двух соседних натуральных чисел и интервалы между простыми в примориалах.