2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 42  След.
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение24.02.2021, 20:17 


23/01/07
3415
Новосибирск
Yury_rsn
Допустим, есть некий примориал $p_r\#$.
Переходя к следующему простому, мы сначала "тиражируем" примориал $p_{r+1}$ раз. При этом имеющиеся интервалы без изменений переходят в любой из растирожированных, в том числе и максимальные интервалы для предыдущего примориала, а также начальный интервал от $p_1$ до $p_{r}$. Т.к. число $1$ является взаимнопростым во всех примориалах, то на стыках тиражированных примориалов всегда будут два взаимнопростых числа $s\cdot p\#\pm 1$, где $s=1, 2, 3... p_{r}$.

Теперь начинаем манипуляции с простым $p_{r+1}$. Умножаем все взаимнопростые из первого примориала на $p_{r+1}$ (т.е. число составных с "участием" $p_{r+1}$ равно $\varphi_{{p_r}\#}$ ).
Мы как-бы расстягиваем взаимнопростые из первого примориала в $p_{r+1}$ раз (увеличивая на одну ступень начальный интервал).
И так будет происходить при каждом переходе от одного простого к следующему. И какие интервалы будут от этих простых расширяться, будут ли "покрываться" упомянутые взаимнопростые числа на стыках и в каких местах (начале, середине, конце), будут ли они максимальными - мне не ведомо.
В общем-то предыдущим своим сообщением я хотел сказать лишь о том, что выделено жирным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение25.02.2021, 02:28 


01/07/19
244
Батороев в сообщении #1506478 писал(а):
Yury_rsn
В общем-то предыдущим своим сообщением я хотел сказать лишь о том, что выделено жирным.

Да, спасибо, это понятно.

Цитата:
какие интервалы будут от этих простых расширяться, будут ли "покрываться" упомянутые взаимнопростые числа на стыках и в каких местах (начале, середине, конце), будут ли они максимальными - мне не ведомо.

Но ведь это и есть самое интересное.
То, о чем хочется узнать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение25.02.2021, 07:19 


23/01/07
3415
Новосибирск
Yury_rsn в сообщении #1506513 писал(а):
Но ведь это и есть самое интересное.
То, о чем хочется узнать.

Зная то, что выделено жирным, можно немного упорядочить "слежку" за большими интервалами вычислительными методами (которыми не владею).
Например максимальный интервал в примориале $7\#$ - это стык примориалов $5\#$ (число $120$). Далее он растиражируется и в примориале $11\#$ таких интервалов будет уже $11$. И т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение25.02.2021, 16:04 
Заслуженный участник


20/08/14
11070
Россия, Москва
Батороев в сообщении #1506523 писал(а):
Далее он растиражируется и в примориале $11\#$ таких интервалов будет уже $11$. И т.д.
Это не так, вот вам интервалы на стыках предыдущих праймориалов для нескольких первых праймориалов:
5#=30: 2 2 2 6 2, max=6
7#=210: 2 2 8 14 2 2 12, max=14
11#=2310: 12 2 12 14 2 18 12 24 12 12 2, max=24
13#=30030: 2 18 30 2 2 14 42 20 18 18 2 32 18, max=42
17#=510510: 18 36 18 18 20 2 20 48 2 2 2 54 2 2 20 36 48, max=54
19#=9699690: 48 24 50 20 50 24 70 2 20 38 20 48 50 30 66 44 2 24 46, max=70
23#=223092870: 46 32 32 30 78 72 52 108 64 60 2 32 60 54 54 30 30 24 52 30 32 48 80, max=108
29#=6469693230: 80 66 42 2 58 78 82 32 88 30 2 32 42 32 100 2 84 42 2 2 44 2 58 42 60 60 2 62 102, max=102
31#=200560490130: 102 80 84 142 68 38 78 32 68 38 32 44 48 32 74 2 74 48 114 84 128 38 74 104 74 60 32 60 82 72 74, max=142
А из известных численных результатов видно что максимальные интервалы для тех же праймориалов составляют соответственно 6, 14, 34, 52, 114, 154, 248, 354, 474. И они совпадают лишь для 5# и 7#, а для всех остальных реальные интервалы больше чем максимум на границах праймориалов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение25.02.2021, 19:07 


23/01/07
3415
Новосибирск
Dmitriy40
Разночтение у нас с Вами от того, что я рассматриваю интервалы между взаимнопростыми примориалу, а Вы - между простыми.

Про стыки я писал в первом своем посте.

Приводя пример, я хотел сказать немного о другом, о чем написал. Но меня отвлекли. ((

В примориале $3\#$ взаимнопростые $1,5$, т.е. интервал между ними равен $3$ (числа$2,3,4$). Переходя к примориалу $5\#$, мы тиражируем примориал $5$ раз и получаем числовой ряд до $30$. На каждом участке, равном примориалу $3\#=6$, места $2,3,4$ будут не взаимнопростыми примориалу $3\#=2\cdot 3$: это числа $2,3,4$:-$8,9,10$;- $14,15,16$;- $20,21,22$;- $26,27,28$. Т.е. интервалы между взаимнопростыми тиражировались. Теперь, "включая" простое $5$, мы исключаем из списка взаимнопростых числа $5,25$ (путем умножения $5$ на взаимнопростые предыдущего примориала), отчего получим два увеличенных интервала, равных $5$ (числа $2,3,4,5,6$ и $24,25,26,27,28$). Переходя к следующему примориалу, процедура повторится.

Что касается моего примера на стыке примоиалов $5\#$ (число $120$), то я хотел сказать, что числа $120\pm1$ - взаимнопростые примориалу $5\#$, но затем по мере продвижения по примориалам быстро "покроются" и два больших интервала (для примориала $5\#$) объединятся. Но это объединение произойдет уже в примориале $11\#$ и тиражироваться они будут, начиная со следующего. При этом надо еще отметить, что все интервалы между ваимнопростыми числами в примориалах симметричны относительно середины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение25.02.2021, 20:16 


31/12/10
1555
Dmitriy40
У вас при $29\#\;\;\;d_{\max}=102
$, но при $23\#\;\;\;d_{\max}=108$.
Как это может быть ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение25.02.2021, 21:25 
Заслуженный участник


20/08/14
11070
Россия, Москва
vorvalm в сообщении #1506595 писал(а):
У вас при $29\#\;\;\;d_{\max}=102
$, но при $23\#\;\;\;d_{\max}=108$.
Как это может быть ?
В праймориле $23\#$ точка $d=108$ приходится на значение $8\cdot 19\#=77597520$, которое не делится на $23\#$ и потому не входит в список 29-ти точек стыковки праймориалов $23\#$ в праймориале $29\#$. Вот поэтому.

Батороев
Да, похоже я упустил что числа всего лишь взаимно простые и взял обычные простые. :-( Беру свои слова обратно, sorry.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение26.02.2021, 17:13 


31/12/10
1555
Dmitriy40
Можно определить порядковый номер наибольшего простого числа
в праймориале $29\#$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение26.02.2021, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
vorvalm в сообщении #1506715 писал(а):
Можно определить порядковый номер наибольшего простого числа
в праймориале $29\#$ ?
Wolfram Mathematica говорит, что $300\,369\,796$, и что простое число с этом номером равно $6\,469\,693\,189$, а следующее за ним (с номером, на единицу большим) равно $6\,469\,693\,291$. (Cам праймориал равен $6\,469\,693\,230$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение26.02.2021, 21:25 


31/12/10
1555
Someone
Спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение26.02.2021, 22:06 
Заслуженный участник


20/08/14
11070
Россия, Москва
vorvalm
Вы можете сами проверить числа до 30 триллионов (первый триллион простых) вот здесь: https://primes.utm.edu/nthprime/index.php
Вводите число $29\#=6469693230$ в поле под заголовком Pi function и нажимаете кнопку рядом, сайт сообщает количество простых до этого числа.
Введя полученный номер в поле выше (под заголовком Nth prime) можно получить и само простое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение27.02.2021, 15:05 


31/12/10
1555
Dmitriy40
Да, хорошая программа, спасибо.
А с более большим диапазоном что-нибудь есть ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение27.02.2021, 15:16 


01/07/19
244
Можно лучше представить функцию Якобсталя, если применить вот такую визуализацию.
Вспомним школьную логарифмическую линейку, и предположим, что у нее посредине есть не одна подвижная планка, а несколько. Мы их можем сдвигать друг относительно друга, и смотреть соотношения получившихся рисок друг напротив друга.
Отметим на одной планке риски через два деления (_ 2 _ 2 _)
На другой - через 3 (_ 3 _ _ 3 _ _ 3 _)
И т.д.
Представим, что эти планки могут быть любой длины, сколько бы мы ни захотели.

И теперь надо подвинуть все планки таким образом, чтобы "значимые" риски заняли бы все пустые места друг под другом.
Максимальная длина заполненного таким образом ряда - это и будет функция Якобсталя.

Пример взаимного расположения виртуальных планок:

_ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 _
_ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2 _ 2
_ _ 3 _ _ 3 _ _ 3 _ _ 3 _ _ 3 _ _ 3 _ _ 3 _ _ 3 _ _ 3 _ _ 3 _ _
_ _ _ _ 5 _ _ _ _ 5 _ _ _ _ 5 _ _ _ _ 5 _ _ _ _ 5 _ _ _ _ 5 _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ 7 _ _ _ _ _ _ 7 _ _ _ _ _ _ 7 _ _ _ _ _ _ 7 _ _ _ _ _ _ 7

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение27.02.2021, 16:21 
Заслуженный участник


20/08/14
11070
Россия, Москва
vorvalm в сообщении #1506829 писал(а):
А с более большим диапазоном что-нибудь есть ?
Если сильно больше, то нет, готового не знаю.
Есть primesieve, она до триллиона считает количество простых (а также и близнецов) за примерно 4 минуты на поток (в 8 потоков за полминуты).
Ну и достаточно далеко есть точные значения в A006880, A007053, A055729, A055730, A055731, A055732, A000849, A003604 (можно и ещё промежуточных поискать), и отдельно у весьма известного товарища выложены подробные таблицы с хорошим шагом (а здесь даже подробнее), но промежуточные надо будет чем-то досчитывать, а уже от $10^{15}$ и далее это весьма медленно.

А, нет, есть же известная программа Kim Walisch, она не ограничена $2^{64}$ как primesieve выше, ну и считает на порядки быстрее, правда уже не чистым решетом, а какими-то формулами ...

Но вопрос а собственно зачем вам точные значения $\pi(x)$ ... Если лишь для проверки гипотез, то вполне можно ограничиться "круглыми" значениями из указанных выше таблиц, в OEIS есть данные аж до примерно $10^{28}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Максимальные интервалы между взаимно простыми числами
Сообщение27.02.2021, 17:58 


31/12/10
1555
Dmitriy40
Меня, собственно, интересует не сама функция $\pi(x)$, но только
её значения при $x=p\#$. т.е. число простых чисел в праймориалах.
Я хочу найти предел отношения
$$\lim\frac{\pi(M)}{\varphi(M)}\;\;\;M=p\#\rightarrow \infty$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 624 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 42  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group