Максимальная дальность полета

[lel0lel]

На мой взгляд, в этой задаче условие трактуется однозначно. Но на олимпиаде всё-таки была одна некорректная задача по термодинамике. Напишу её условие позже.

[wrest]

lel0lel в сообщении #1504058 писал(а):

На мой взгляд, в этой задаче условие трактуется однозначно.

Прочитал ещё раз и понял что нет, неоднозначно. Из условия не следует, ни того, что стрельба ведется по склону, ни того, что точка старта находится на склоне. Ваша формулировка

lel0lel в сообщении #1503948 писал(а):

орудие расположено на склоне с углом наклона $\beta$.

вносит необходимую ясность.

[lel0lel]

wrest в сообщении #1504079 писал(а):

Из условия не следует, ни того, что стрельба ведется по склону, ни того, что точка старта находится на склоне.

Конечно, никакого склона в исходной формулировке нет (он появился только в упрощённой формулировке задачи, которая даёт тот же ответ). В оригинале о поверхности нам неизвестно ничего.

Известны направление вектора перемещения и начальная скорость. Нужно максимизировать модуль перемещения. Что здесь может показаться неоднозначным?

[wrest]

lel0lel в сообщении #1504089 писал(а):

Известны направление вектора перемещения и начальная скорость. Нужно максимизировать модуль перемещения. Что здесь может показаться неоднозначным?

Задана точка старта и какая-то точка падения (вернее не она сама, а напрвление на неё со старта). То есть можем построить параболоид безопасности и направление на какую-то одну точку падения внутри него. Но никак, совершенно никак не задана поверхность куда падает груз. Горизонтальная? Наклонная?

Ну например, нарисуем такую картинку, которая подходит под задачу

lel0lel в сообщении #1503916 писал(а):

вектор полного перемещения камня, брошенного с некоторой высоты, составляет с горизонтом угол $\beta$; начальная скорость камня $v_0$. Найти максимально возможный модуль вектора перемещения.

Картинка подходит? Точка старта на (неизвестной!) высоте $h$, камень бросают. Он падает на склон, направление точки падения от точки старта составляет угол $\beta$ с горизонтом. Всё выполнено.

[lel0lel]

wrest в сообщении #1504091 писал(а):

Задана точка старта и какая-то точка падения (вернее не она сама, а напрвление на неё со старта).

да, можно так. Или наоборот -- точку падения знаем и направление на точку старта. Откуда-то из темноты несутся снаряды, какой под ними рельеф неизвестно, вообще ничего неизвестно про рельеф. Быть может вообще поверхность горизонтальная, а стрельба ведется с дирижабля

Картинка верная, только зафиксировав точку старта, будьте готовы двигать склон.

[wrest]

lel0lel в сообщении #1504093 писал(а):

будьте готовы двигать склон.

Куда двигать? И почему? Вернее, как это следует из условий задачи?
Не понимаю...

[lel0lel]

Зафиксировав точку старта и склон, вы получаете единственно возможное перемещение, удовлетворяющее заданному направлению. Вам же нужно его максимизировать. Расфиксируйте точку старта, либо же склон.

[fred1996]

Попутный вопрос. В одной олимпиадной задачке нижнего уровня задается вопрос:
Если бросать тело с подставки с фиксированной скоростью, в каких пределах будет лежать угол для достижения максимальной дистанции.
Предлагались ответы:
1. Больше 45 градусов
2. 45 градусов
3. Меньше 45 градусов
4. Может быть любым от 0 до 90
Поскольку там даётся 45 минут на 25 коротких задач, то по-видимому требуется сообразить без особых вычислений. Мне что-то ничего путного в голову не пришло.

[wrest]

fred1996 в сообщении #1505005 писал(а):

Мне что-то ничего путного в голову не пришло.

Странно. Вроде очевидный ответ:

fred1996 в сообщении #1505005 писал(а):

3. Меньше 45 градусов

Ибо если подставка очень высоко, то время полета фиксированное, а значит кидать надо горизонтально, т.е. 0 градусов. Если подставка на нуле высоты (или начальная скорость очень высокая), то кидать надо под 45 (это типа общеизвестный факт). Значит, все что по высоте подставки между 0 и бесконечностью, оно по углу между 0 и 45.

[fred1996]

wrest
А теперь объясните из общих соображений, почему функция монотонная?

[Sender]

fred1996 в сообщении #1505005 писал(а):

Поскольку там даётся 45 минут на 25 коротких задач, то по-видимому требуется сообразить без особых вычислений.

Как справедливо заметил wrest, если подставка очень высоко, надо бросать почти горизонтально. Тем самым мы отсекаем варианты ответов 1 и 2. Если подставка на нулевой высоте, надо бросать ровно под 45 градусов, это исключает ответ 3. Остаётся вариант 4. Заметим, из приведённых рассуждений никак не следует его правильность.

-- Вс фев 14, 2021 17:23:55 --

Кстати, если начальная скорость нулевая, нам вообще всё равно, по каким углом бросать. Наверное, неявно предполагается, что скорость и высота подставки ненулевые, только тогда среди вариантов ответа есть правильный.

[DimaM]

Sender в сообщении #1505043 писал(а):

Если подставка на нулевой высоте, надо бросать ровно под 45 градусов, это исключает ответ 3. Остаётся вариант 4.

3 и 4 перепутаны.

[lel0lel]

fred1996 в сообщении #1505036 писал(а):

А теперь объясните из общих соображений, почему функция монотонная?

Если бы она была не монотонная, то имелись бы выделенные высоты в однородном поле тяжести, это контръинтуитивно.

[fred1996]

lel0lel
Кажется нашёл неинтуитивное объяснение.
Пусть у нас высота подставки положительная, а оптимальный угол больше 45 градусов.
Теперь сравним эту траекторию с траекторией под 45 градусов.
На той же высоте, но при скорости вниз будем иметь ту же скорость, но вертикальная составляющая меньше у 45 градусной траектории, а горизонтальная больше. Кроме того на этой высоте дальность полёта будет максимальной.
То есть все параметры для бОльшей дальности лучше у 45 градусной кривой на отсечке $h$
1. Дальность максимальна
2. Время полёта больше
3. Горизонтальная скорость выше.
ЧТД.

[=SSN=]

nnosipov в сообщении #1503843 писал(а):

Лучше, конечно, действовать так:

DimaM в сообщении #1503809 писал(а):

тупо записать зависимость дальности от угла и найти максимум

Вроде бы не трудно..

В системе координат с началом оси X в точке бросания и началом оси Y на поверхности земли траектория тела описывается уравнениями:

$x(t)=v_x t$
$y(t)=-\frac{gt^2}{2}+v_y t+h$

Из второго уравнения находим время "t" при котором тело падает на землю:

$t=\frac{v_y+\sqrt{{v_y}^2+2gh}}{g}$

Подставляя это время в первое уравнение, находим дальность полета:

$x=\frac{v_x(v_y+\sqrt{{v_y}^2+2gh})}{g}=\frac{v_x(v_y+v_y\sqrt{1+\frac{2gh}{{v_y}^2}})}{g}$

Для случая $\frac{2gh}{{v_y}^2} \ll 1$ находим:

$x\approx \frac{v_x[v_y+v_y(1+\frac{gh}{{v_y}^2})]}{g}=\frac{v_x[2v_y+\frac{gh}{v_y}]}{g}$

Выражая компоненты вектора скорости через угол места $\alpha$, находим дальность полета:

$x(\alpha)\approx \frac{v\cos(\alpha)}{g}[2v\sin(\alpha)+\frac{gh}{v\sin(\alpha)}]=\frac{v^2}{g}[\sin(2\alpha)+\frac{gh}{v^2}\ctg(\alpha)]$

Теперь находим производную по углу места:

$\frac{dx}{d\alpha}\approx \frac{v^2}{g}[2\cos(2\alpha)-\frac{gh}{v^2}\frac{1}{\sin^2(\alpha)}]$

Теперь находим угол места при котором дальность максимальна:

$2\cos(2\alpha)-\frac{gh}{v^2}\frac{1}{\sin^2(\alpha)}=2\cos(2\alpha)-\frac{gh}{v^2}\frac{2}{1-\cos(2\alpha)}=0$

Или:

$\cos(2\alpha)\cdot[1-\cos(2\alpha)]=\frac{gh}{v^2}$

Введем обозначение:

$\alpha = \frac{\pi}{4}-\delta$, где $\delta \ll 1$

Тогда находим:

$\cos(\frac{\pi}{2}-2\delta)\cdot[1-\cos(\frac{\pi}{2}-2\delta)]=\frac{gh}{v^2}$

Или:

$\sin(2\delta)\cdot[1-\sin(2\delta)]=\frac{gh}{v^2}$

Откуда окончательно находим угол места:

$\alpha\approx \frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\arcsin(\frac{gh}{v^2})$