Максимальная дальность полета

[Sender]

Можно пока отложить в сторону, мысль потом придёт как-нибудь. Или даже попрактиковаться в задачах на построение.

[wrest]

Sender в сообщении #1503840 писал(а):

Можно пока отложить в сторону, мысль потом придёт как-нибудь.

Я не очень верю что это возможно. Но если вы говорите что возможно, я покопаюсь.

P.S. Научился, кажись

[nnosipov]

wrest в сообщении #1503833 писал(а):

А от чего там отталкиваться?

Стоим на уровне 0 и бросаем со скоростью $v_1$ под $45$ градусов (это обеспечивает максимальную дальность). Зная уравнения движения в этом модельном случае, рассчитываем скорость на высоте $h$ (выражаем ее через $v_1$ и $h$). Это данная нам $v$. Выражаем теперь $v_1$ через $v$ и $h$. Находим далее угол и дальность в терминах $v$ и $h$.

Как математику, такое решение мне не совсем нравится (надо обосновывать, почему экстремальное решение одной задачи дает экстремальное решение другой). Надеюсь, что хотя бы ответ при таком подходе правильный. Лучше, конечно, действовать так:

DimaM в сообщении #1503809 писал(а):

тупо записать зависимость дальности от угла и найти максимум

От модельного случая несильно должно отличаться.

[wrest]

Итак, строим-строим.

Дано:
Точка $C$ -- откуда бросают груз, фокус параболы безопасности.
Прямая $CF$ - вертикаль (направлена по силе тяжести) и длина $CF=h$ - высота площадки с которой бросают.
$CD=\dfrac{v^2}{g}$ расстояние между фокусом и директрисой параболы безопасности, соответственно красная прямая -- директриса парабола безопасности (считаем что она дана, но см. пункт 4 построения).

Построение.
1. Строим перпендикуляр к оси параболы $CF$ в точке $F$ -- это земля, зеленая прямая.
2. Проводим окружность радиусом равным $DF$ из центра $C$ (синяя окружность).
3. Отмечаем точку пересечения $G$ синей окружности с зеленой прямой. Это та точка, куда упадёт груз.
4. Строим точку $E$ - это середина отрезка $CD$ и по совместительству вершина параболы безопасности (ну и $CD=\dfrac{v^2}{2g}$, т.е. можно считать что в задаче задана именно точка $E$, а не $D$, не принципиально).
5. Через точку $E$ проводим перпендикуляр к оси параболы безопасности -- это директриса нашей траектории, фиолетовая прямая.
6. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $FG$ и отмечаем точку его пересечения с директрисой траектории (фиолетовой прямой) как точку $H$
7. $\vec{CH}$ -- искомое направление, в котором бросать.

Альтернативное построение.
Повторяем шаги 1-3.

4. Из точки $G$ восстанавливаем перпендикуляр к земле (зеленой прямой) и отмечаем точку его пересечения $K$ с директрисой параболы безопасности (красная прямая)
5. Направление $\vec{CK}$ искомое, под которым бросать груз.

Тонким пунктиром и штрих-пунктиром справочно показаны парабола безопасности (огибающая всех траекторий из точки старта) и конкретная траектория соответственно.

-- 02.02.2021, 14:14 --

Теперь запишем какое-нибудь решение исходя из построения.

Например.
Треугольник $\triangle CFG$ прямоугольный, $CF=h$, $CG=h+\dfrac{v^2}{g}$
Обозначим, для простоты, $t=CD=\dfrac{v^2}{g}$
Тогда $FG=\sqrt{CG^2-CF^2}=\sqrt{2ht+t^2}$
По построению $FG=DK$
Тангенс искомого угла, по определению тангенса, $\tg \alpha = \dfrac{CD}{DK}=\dfrac{CD}{FG}$
так что $\tg \alpha = \dfrac{t}{\sqrt{2ht+t^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2h}{t}+1}}$
Подставляем $t=\dfrac{v^2}{g}$ и получаем
$\tg \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{\dfrac{2gh}{v^2}+1}}$ ну или запишем через котангенс
$\ctg \alpha = {\sqrt{\dfrac{2gh}{v^2}+1}}$
Может синус или косинус покрасивей будут, не знаю.

[wrest]

$\alpha$ -- угол места, т.е. горизонтальное направление -- ноль, верикальное -- прямой угол.
Соответственно, при нулевой высоте кидаем под 45 градусов, при очень большой высоте ($h \gg \dfrac{v^2}{g}$) -- кидаем горизонтально.

Ну и ещё, до кучи. Обозначив кинетическую энергию $E_k=mv^2/2$ и потенциальную $E_p=mgh$, получаем ответ в виде $\ctg \alpha ={\sqrt {\dfrac{E_p}{E_k}+1}$

[lel0lel]

Задача из другого варианта:
вектор полного перемещения камня, брошенного с некоторой высоты, составляет с горизонтом угол \beta; начальная скорость камня $v_0$. Найти максимально возможный модуль вектора перемещения.

[lel0lel]

nnosipov в сообщении #1503843 писал(а):

Стоим на уровне 0 и бросаем со скоростью $v_1$ под $45$ градусов (это обеспечивает максимальную дальность). Зная уравнения движения в этом модельном случае, рассчитываем скорость на высоте $h$ (выражаем ее через $v_1$ и $h$). Это данная нам $v$. Выражаем теперь $v_1$ через $v$ и $h$. Находим далее угол и дальность в терминах $v$ и $h$.

По-моему так получить верный ответ нельзя, если я правильно понял предлагаемое. Если бросать тело под углом $45$, то на землю оно упадёт под таким же углом. А для экстремальных траекторий при бросании с высоты это не так.

[wrest]

lel0lel в сообщении #1503916 писал(а):

Задача из другого варианта:

Ну это тоже легко (наверное ) строится циркулем и линейкой. Главное тут везде то, что конечные точки в этих задачах на оптимизацию лежат на параболе безопасности, и в конечной точке парабола безопасности касается траектории (потому что она -- огибающая всех траекторий данной энергии), то есть имеет общую касатальную с траекторией (касательная коллинеарна направлению падения). Её (параболы безопасности) фокус -- это точка старта, а директриса лежит на высоте $v^2/g$ от точки старта. Другое дело, что в задачах ведь надо это сокровенное знание доказывать, а не писать "хорошо известно, что".

[nnosipov]

lel0lel в сообщении #1503921 писал(а):

По-моему так получить верный ответ нельзя

Да, я проделал вычисления и убедился, что ответ неверный. Увы, эти две экстремальные задачи оказались разными. Ну что же, бывает.

[lel0lel]

wrest в сообщении #1503930 писал(а):

Ну это тоже легко (наверное ) строится циркулем и линейкой.

Похоже, что так. Задачу из этого варианта можно переформулировать: орудие расположено на склоне с углом наклона $\beta$. Найти максимальные дальности стрельбы (модули перемещений) вверх и вниз по склону; какие при этом должны быть углы стрельбы? Если решать циркулем и линейкой, то нужно построить точки пересечения параболы безопасности с наклонной. Также не безынтересно получить явный аналитический ответ, он довольно компактный.

[DimaM]

lel0lel в сообщении #1503948 писал(а):

Задачу из этого варианта можно переформулировать: орудие расположено на склоне с углом наклона $\beta$. Найти максимальные дальности стрельбы (модули перемещений) вверх и вниз по склону; какие при этом должны быть углы стрельбы?

Была здесь уже эта задача.
Получили, что стрелять нужно по биссектрисе между вертикалью и склоном.

[wrest]

lel0lel в сообщении #1503948 писал(а):

Также не безынтересно получить явный аналитический ответ, он довольно компактный.

Да, это следует например из

dovlato в сообщении #1256053 писал(а):

Известна задача: для попадания из А в В необходим минимум скорости, для которой выполнено

$$V^2=g(R+y)$$

где $R, y$ - расстояние от А до В, $y$ - разность высот.

Поскольку в вышевведенных dovlato терминах $R$ это гипотенуза, а $y$ противолежащий к углу $\angle \beta$ катет (или наоборот, не важно), то $y/R=\sin \beta$ т.е. $V^2=g(R+R \sin \beta)$ откуда $R=\dfrac{V^2}{g(1+\sin \beta)}$
Про углы стрельбы -- да, по биссектрисе. Практически же, например целим в пересечение директрисы параболы безопасности и вертикали содержащей целевую точку, у меня раньше в этой теме разрисовано два способа.

[Ignatovich]

lel0lel в сообщении #1503916 писал(а):

Задача из другого варианта:
вектор полного перемещения камня, брошенного с некоторой высоты, составляет с горизонтом угол \beta; начальная скорость камня $v_0$. Найти максимально возможный модуль вектора перемещения.

Кажется, что в такой формулировке задачу решить нельзя.

[lel0lel]

Отчего же?
Пусть идёт ночной обстрел погранпункта с высот, по вспышкам выстрелов определили направление на расположение орудий (направление вектора перемещения). Знаем характеристики орудий противника (начальную скорость снарядов), сможем ли определить на каком наибольшем расстоянии он мог засесть?

[Ignatovich]

Понял, о чем вы пишите, но исходную формулировку можно понимать иначе:
Точка старта находится на некоторой высоте над горизонтальной поверхностью. Если бросить камень со скоростью $v_0$ под некоторым углом к горизонту, то вектор перемещения составляет угол $\beta$ с горизонтом. Найти максимально возможный модуль вектора перемещения, если бросить камень из той же стартовой точки с той же по величине начальной скоростью.