Xaositect писал(а):
zbl писал(а):
А это не будет равносильно утверждению, что всё что угодно состоит из ничего, взятого в разных комбинациях?
Скорее это будет значить, что мы повесили на каждый стул(атом, идею) во Вселенной мысленную табличку с множеством.
Скорее, наоборот: повесили на множество, составленное из пустых множеств стул в качестве ярлыка.
Мы можем повесить ярлык на отдельный стул, но на множество стульев -- не можем: нет такой штуки "множество стульев", есть только множества, составленные из пустых множеств.
В наивной теории множеств множество столов и множество стульев -- разные вещи.
Если мы вместо них рассматриваем два множества, составленные из пустых множеств, то просто переходим к классам изоморфных множеств.
Всё бы ничего, только, изоморфизм нельзя построить, так как в тех классах у нас только по одному множеству, а остальное -- не-множества.
Атомистский подход мне лично нравится больше всего, если его понимать так, что нельзя говорить о множестве, не указав, из каких именно элементов оно может состоять (или, что то же самое -- из каких атомов может быть составлено).
Я извиняюсь, что сильно торможу с ответами... впредь это только усилится...
Обсуждать различные парадоксы теории множеств здесь, думаю, излишне -- для данной темы нет большой разницы между ними.
Добавлено спустя 15 минут 45 секунд:Someone писал(а):
Я всё-таки не понял, что значит - "велика ли разница?" Если теория противоречива, то в ней "доказуемо" любое утверждение, поэтому такая теория бессмысленна.
А почему не может случится, что часть утверждений доказумема или опровергаема, а часть -- парадоксы?
Например, возьмём аксиомы булевой логики и добавим к ним несколько противоречивых аксиом логики предикатов.
Утверждения булевой логики останутся проверяемыми, а от аксиом логики предикатов они никак не зависят (ибо сами предикаты в них не фигурируют).
Но не скажу, возможно ли такое, если, например, смешать непротиворечивое сложение с противоречивым умножением...
Someone писал(а):
Вы неправильно поняли термин "атом".
Нет.
Вас смутило "состоит из".
Даже стул тут не стул, а математическая модель -- настоящие стулья только в физике.
Someone писал(а):
В случае же теории множеств нам нужно предельно общее понятие множества ("множества чего угодно").
Кому оно нужно и зачем?
Можно преодолеть затруднения, но только по рецепту "если хочешь быть счасливым -- буть им", а не относительно желаний (это-то не опасно; опасно здесь -- относительно нужд).
???
Затруднения появляются не потому, что нам захотелось их найти на свою некоторую часть тела, а потому, что нам требуется чего-то добиться, но не выходит.
Чего именно Вы хотите добиться и зачем?
Такое впечатление, что Вы и
AD воспринимаете противоречивость мышления как невозможность построить формальную теорию.
Утверждается же только, невозможность построить такую формальную теорию, которую требуется построить.
Попытки растолковать, о чём речь, привели пока только к ляпам.
Если вопрос, кому потребовалась наивная теория множеств, то ответ -- хотя бы сам Кантор сильно погорел именно из-за того, что хотел устранить парадоксы, сохранив невозможно общее понятие множества.
Добавлено спустя 2 минуты 37 секунд:Xaositect писал(а):
Подозреваю, что Вам указывают в основном на словосочетание "что угодно".
Нужно добавить "в пределах разумного"?
Добавлено спустя 23 минуты 6 секунд:Someone писал(а):
Наверное, не у тех спрашивали. Ответ этот известен около ста лет.
Конкретно этот вопрос закрывается, например, атомистским подходом.
Разговор, ограниченный только прочностью пришивки пуговицы, можно продолжить спросив: "как же так, строя множества из пустого множества, мы не получим все множества, кроме множества всех множеств -- мы получим просто очень и очень не все множества (в смысле наивной теории); что толку, что мы определим по-другому понятие множества (можно и конечными ограничится, например, -- много легче станет)? это же рецепт вида, если хочешь быть счасливым..."
Но, думаю, эту часть разговора нужно перенести в математический раздел...
Для данной ветки важно только то, что есть хотя бы один парадокс и есть способы его устранения.
Вопрос, как я уже упоминал, в том, что значит "есть" и что значит "устранён".
Someone писал(а):
Но соглашусь: придётся различать новую информацию и новое знание -- вряд ли это удобно.
???
Я уже не соображу, как так получилось, что эти вещи у меня разделились в два разных понятия...
Помнится, выросло это из того, что именно запрещает теорема Геделя и какие далеко идущие выводы из этого обычно делаются.
Запрещает она понятно что: проверяемость некоторых утверждений в рамках данной теории.
Вывод же делается тот, что одними только рассуждениями науку вперёд не двинешь -- по крайней мере, не произвольно далеко.
Ну, так оно и не страшно совсем, а даже наоборот...
Сама же теорема Геделя вырасла из того, что логическое мышление противоречиво по природе.
Тут и пример парадоксов теории множеств полезен как второй пример.
Но к чему мы тут пришли не помню -- нужно перечитывать ветку...
Добавлено спустя 22 минуты 37 секунд:Michael2008 писал(а):
Я бы отметил, что при разрешении кризисов не отрицается полученное раньше знание. Но взгляд на мир становится шире, и… он (мир) воспринимается иначе.
Касательно физики мне это стало довольно прозрачно, но касательно математики -- нет.
Что значит "натуральные числа стали восприниматься иначе", или "дифференциал стал восприниматься иначе"?
По крайней мере, никто ж не запрещал их "воспринимать по-прежнему"?
Michael2008 писал(а):
zbl писал(а):
А есть ещё вопрос, откуда брать новые аксиомы и как формулировать гипотезы...
Интересно, кто-нибудь рискнет пообсуждать?
Мне лично есть что сказать по этому поводу...
