Множества vs Классы

[Mysterious Light]

Добрый день.
Делаю попытки вникнуть в что-нибудь серьёзное и уже неоднократно спотыкаюсь на том, что не понимаю четкой принципиальной разницы между понятиями класса и множества, ведь оба нам мыслятся как "объекты, выражающие нечто много".
Насколько я знаю последнее отличается тем, что может быть вложен в некоторый класс, в то время как существуют классы, невкладываемые ни во что (т. н. «собственные»). Но почему нам так важно выделять множества как отдельный предмет изучения, ведь "совокупности", образованные от него хитрыми (но, по меркам людей, естественными) способами, могут оказаться не множествами. В то же время не встречал теории работы с классами (хотя последнее можно объяснить тем, что я вообще в этой области мало копался), в основном развивается теория множеств.
Приведу пример: при формализации (не уверен, что слово подобрал правильное, говорю: формальная матиматически строгая запись) понятия «категории» мы на объекты не накладываем никаких ограничений, поэтому говорим, что их совокупность описывается понятием "класс". Далее, говорим, что нам хочется рассматривать категорию функторов между двумя категориями, но в общем случае это невозможно (например, Букур объясняет это тем, что функтор индуцирует функцию между классами объектов категорий, которая может быть представлена в виде подмножества прямого произведения классов и не может быть элементом никакого класса, если один из исходных классов объектов собственный). Но если мы потребуем малость категорий, т.е. наложим ограничения на класс объектов, то такая категория строится, т.е. существует. Но тут же возникают вопросы по типу «а почему, собственно, функторы сопоставляются классу пар». В общем, я понимаю, что если всё красиво, то все построения возможны, но некоторые вопросы всё же остаются.
Подвожу черту: я не знаю, почему с интуитивно-очевидными понятиями (как "совокупность") творится такая неразбериха. Мне это, по большому счету, не надо понимать, но хочется. Поэтому тема создана, чтобы услышать умные мысли вольными словами.

[мат-ламер]

"Эпизод на семинаре Ландау по теоретической физике. Закончился доклад. Ландау - Вопросы есть? Кто-то с места - Мне непонятно ... . Ландау - Это не вопрос, а утверждение. Ещё вопросы есть?" Это я к тому, что Вы поместили длинное сообщение в разделе "Помогите разобраться" без единого вопросительного знака. Рискну предположить, что Вы быстрее получите ответ, если будет задан вопрос.

[JMH]

Очень сложно сформулировать "умную мысль" корректно "вольными словами", особенно в аксиоматической теории множеств. Хорошее описание различий между классами и множествами встречал в Jech, "Set Theory".

[Kallikanzarid]

Голдблатт в "Топосах..." неплохо подытожил: класс $x$ называется множеством, если для него определено отношение $x \in y$. ИМХО, на неформальном уровне - самое то :)

[{0}]

Mysterious Light

Спустя 3 года разобрались? Меня тоже мучает этот вопрос. Мне это разделение на классы и множества вообще кажется трюком чтобы запудрить мозги, какое-то оно искусственное. Можно было бы прямо, так сказать юридически запретить множества которые являются своими элементами и всё, это было бы тоже самое по-моему.

[arseniiv]

Оказия не в множествах, которые являются своими элементами (если от ZFC отнять аксиому регулярности, она не станет «более противоречивой»). Если же в ZFC заменить схему аксиом выделения на схему аксиом $\exists s\forall x\;x\in s\Leftrightarrow\phi$, то и наличие аксиомы регулярности не спасёт от противоречивости полученной теории, см. http://en.wikipedia.org/wiki/Curry's_paradox#Naive_set_theory. (С аксиомой регулярности парадокс останется.)

Если взять ZFC, она говорит только о множествах. Классы из неё можно вытащить как формулы с одной свободной переменной (пускай это будет для определённости $x$) с точностью до замены переменных. Тогда для некоторых таких формул $\phi$ средствами ZFC можно доказать $\exists s\forall x\;x\in s\Leftrightarrow\phi$, для некоторых других — $\neg\exists s\forall x\;x\in s\Leftrightarrow\phi$, т. е. множества никакого им не соответствует, но какую-то совокупность множеств $\phi$ всё же, ясно видно, определяет, и иногда хочется с ней повозиться. Например, собственными классами являются соответствующие $\in$ и $=$ бинарные отношения и функция $x\mapsto x\cup\{x\}$, сопоставляющая ординалам следующий.

[Intercooler]

Я считаю, что аксиома регулярности не превносит никакой пользы для теории множеств, а лишь ограничивает ее развитие и сковывает понятие "множество" узкими рамками. Если от нее избавиться, то можно увидеть как возникают в рамках теории множеств понятия фрактального и континуального с их свойствами. Также такой подход возможно даст в будущем инструмент для описания и понимания хаоса и сингулярности. Поэтому считаю введение аксиомы регулярности ничем не обоснованным, а лишь исторически сложившимся в рамках наивной теории множеств событием.

Deggial: предупреждение за пропаганду невежества.

[SerKul]

В принципе, ответить на вопрос "Что такое множества и что такое классы?" можно вполне просто. Классы - это множества, понимаемые нами так, как в наивной теории множеств (Так, например, как вначале понимал их Кантор. Или так, как понимают их в 5-ом классе школы). А множества - это модели аксиоматической теории множеств. То есть, это не все мыслимые нами классы (как совокупности объектов), а только такие из них, которые удовлетворяют аксиомам теории множеств. Саму аксиоматику теории множеств, которая несколько сужает понятие класса, пришлось ввести как только в наивной теории множеств (классов) были обнаружены противоречия.
На практике, если математик уверен, что А есть множество, он так и пишет: "рассмотрим множество А всех натуральных четных чисел", а если он не уверен в том, что А является множеством (то есть удовлетворяет аксиомам теории множеств), он пишет, например, уже так: "пусть А есть класс всех полугрупп". Ну а совокупность - это просто синоним слова множество.

[alex_dorin]

В ZFC теорему о континуум-гипотезе без аксиомы фундирования доказал Лузин задолго до Коэна, получившего тот же результат с аксиомой фундирования.
В NBG не выводима аксиома индукции (выводимо более слабое утверждение) в отличии от ZFC. Так ,что ,частое и безосновательное утверждение о
равносильности ZFC и NBG - просто ошибочно.

[AGu]

alex_dorin, я не вижу, чтобы здесь кто-то говорил об упомянутой Вами «равносильности». Я вообще не вижу, как сказанное Вами связано с топиком.

(Оффтоп)

В последнее время меня огорчают Ваши высказывания. Они, как правило, не по теме, весьма расплывчаты и слегка претенциозны. Да еще в давно заброшенных темах... Какой-то информационный шум получается.

[Chardash]

Цитата:

Класс — термин, имеющий различные значения. Например, при разбиении некоторого множества на непересекающиеся подмножества, родственные по какому-либо признаку элементов, говорят о разбиении множества на $\mathbb{K.}$
Часто разбиение множества на $\mathbb{K.}$ определяется некоторым отношением эквивалентности (обозначается $\sim $), удовлетворяющим требованиям: 1) $x\sim x$: (рефлексивность); 2) если $x\sim y, y\sim z,$ то $x\sim z$ (транзитивность); 3) если $x\sim y$, то $y\sim x$ (симметричность). В этом случае $\mathbb{K.}$ является совокупностью эквивалентных между собой элементов.

В аксиоматике теории множеств $\mathbb{K.}$ — первичное понятие, более общее, чем множество.

[Deggial]

Сообщение Chardash отделено в Карантин, поскольку формулы в нём не оформлены $\TeX$ом

Пост перемещён из форума «Помогите решить/разобраться» в форум «Карантин»
Причина переноса: задание не сформулировано в теме, не приведены попытки решения, формулы не оформлены $\TeX$ом

Chardash
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Возвращено

Chardash в сообщении #1026747 писал(а):

Класс — термин, имеющий различные значения. Например, при разбиении некоторого множества на непересекающиеся подмножества, родственные по какому-либо признаку элементов, говорят о разбиении множества на $\mathbb{K.}$

Жаль, на спрашивали не про эти классы, а как раз про теоретико-множественные.

[epros]

Извиняюсь, что поднял эту старую тему, но у меня возник тупой вопрос. Разве вот это:

Kallikanzarid в сообщении #462235 писал(а):

Голдблатт в "Топосах..." неплохо подытожил: класс $x$ называется множеством, если для него определено отношение $x \in y$. ИМХО, на неформальном уровне - самое то :)

не ерунда какая-то?

Разве нельзя из пары собственных классов составить множество? Например, множество из двух элементов: класса всех ординалов и класса всех конечных множеств. Если можно, то получается, что класс всех ординалов является элементом чего-то. При этом он никак не может быть множеством. Так что определение, что множество, это класс, являющийся элементом какого-либо класса, похоже, не работает. Тем не менее, я его слышал много раз.

[warlock66613]

epros в сообщении #1496376 писал(а):

Разве нельзя из пары собственных классов составить множество? Например, множество из двух элементов: класса всех ординалов и класса всех конечных множеств.

Нельзя. Ну по крайней мере, так утверждается, я сам не проверял. И если нужно такое множество, то чтобы избежать противоречий приходится выкручиваться. Например, можно (где-то я видел такую конструкцию) сопоставить каждому из двух классов уникальный праэлемент (то есть аксиоматически введённый объект, не являющийся классом) и составить множество не из самих классов, а из соответствующих им праэлементов.

[epros]

warlock66613 в сообщении #1496378 писал(а):

Нельзя.

Просто мне в некотором тексте вдруг захотелось упомянуть некую "совокупность классов эквивалентности". При этом я чётко понимаю, что некоторые из классов эквивалентности могут внезапно оказаться собственными. И тут, опа, такой облом. Оказывается, "стандартные" аксиоматики теории множеств таких оборотов не допускают.