Оказия не в множествах, которые являются своими элементами (если от ZFC отнять аксиому регулярности, она не станет «более противоречивой»). Если же в ZFC заменить схему аксиом выделения на схему аксиом
![$\exists s\forall x\;x\in s\Leftrightarrow\phi$ $\exists s\forall x\;x\in s\Leftrightarrow\phi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/2/d0271da61e5a58576264d4ada868d6bd82.png)
, то и наличие аксиомы регулярности не спасёт от противоречивости полученной теории, см.
http://en.wikipedia.org/wiki/Curry's_paradox#Naive_set_theory. (С аксиомой регулярности парадокс останется.)
Если взять ZFC, она говорит только о множествах. Классы из неё можно вытащить как формулы с одной свободной переменной (пускай это будет для определённости
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
) с точностью до замены переменных. Тогда для некоторых таких формул
![$\phi$ $\phi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/0/f50853d41be7d55874e952eb0d80c53e82.png)
средствами ZFC можно доказать
![$\exists s\forall x\;x\in s\Leftrightarrow\phi$ $\exists s\forall x\;x\in s\Leftrightarrow\phi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/0/2/d0271da61e5a58576264d4ada868d6bd82.png)
, для некоторых других —
![$\neg\exists s\forall x\;x\in s\Leftrightarrow\phi$ $\neg\exists s\forall x\;x\in s\Leftrightarrow\phi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/8/5/b85c41e710d3a9cb811ed2f96affa9cf82.png)
, т. е. множества никакого им не соответствует, но какую-то совокупность множеств
![$\phi$ $\phi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/0/f50853d41be7d55874e952eb0d80c53e82.png)
всё же, ясно видно, определяет, и иногда хочется с ней повозиться. Например, собственными классами являются соответствующие
![$\in$ $\in$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/b/a/5ba9e09976f6a5a8919c63baa6f2fbe782.png)
и
![$=$ $=$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/1/591ff9c1652b7e605ef0190a9713c14082.png)
бинарные отношения и функция
![$x\mapsto x\cup\{x\}$ $x\mapsto x\cup\{x\}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/7/3/f734d76fac713c439a7893bd8fe5549182.png)
, сопоставляющая ординалам следующий.