Вариант подхода к общему доказательству гипотезы Била

[Null]

binki в сообщении #1489947 писал(а):

Так как для четных $p$ не существование решения доказано в теореме Ферма для биквадратов. То достаточно доказать не существование решения для неопределённого уравнения $x^p=y^4+z^4$ только для нечетных $p$.

Хорошая идея. Дальше считаем что степень нечетна и ваше утверждение $1$ становиться правильным(с точностью до перестановки). Но его все еще надо доказывать. У нас требования сильнее представимости $x$ в виде суммы квадратов, нам еще нужны формулы для $y,z$.

(Оффтоп)

Есть такая лемма: если $p=4k-1$ простое и $y^2+z^2\vdots p$, то $y,z\vdots p$, что выводиться из малой теоремы ферма.

[binki]

Null в сообщении #1489948 писал(а):

У нас требования сильнее представимости $x$ в виде суммы квадратов, нам еще нужны формулы для $y,z$.

Уважаемый Null
Докво здесь не сложное. Всё определяется левой частью равенство.
Целое $x_1=(m^2+n^2)$ определяет целые $y_1, z_1$. Действительно,
$x_1^p=(m^2+n^2)^p=(m+ni)^p(m-ni)^p=(y_1+z_1i)(y_1-z_1i)$
Согласно свойств сопряженных комплексных чисел (сопряженные пары при возведении в степень дают сопряженные пары).
Mожно, конечно, расписать $y_1,z_1$ через слагаемые биномов. Но это уже сделано в докве указанного свойства.
( Хороших выходных. До понедельника.)

[Null]

binki в сообщении #1489953 писал(а):

Целое $x_1=(m^2+n^2)$ определяет целые $y_1, z_1$.

Вам важно что оно определяет все $y_1, z_1$, но вы этого не доказали. Вы что не понимаете? Если существуют не рассмотренные пары $y_1, z_1$, то ваше доказательство не имеет смысла.

[Valprim]

binki в сообщении #1489947 писал(а):

То есть, $x_1$ не равен сумме двух квадратов, если содержит сомножитель - степень числа $4k-1$ с нечетным показателем.
Но тогда и $x_1^p$ (при нечетном $p$ ) по той же причине не будет равен сумме двух квадратов.

binki, по этому же утверждению Ферма. Если степень числа $4k-1$ с четным показателем, то после деления на наибольший квадрат
частное не делиться на $4k-1$, следовательно заданное $x_1$ разлагается на сумму двух квадратов и по той же причине $x_1^p$ при четном $p$ также разлагается в сумму двух квадратов.
То есть утверждение 1. справедливо $\forall p \in N$.
$x_1=(m^2+n^2)$ определяет полностью все решения для $x$ в левой части неопределенного уравнения $x^p=y^4+z^4$
Только следует иметь в виду, что число $x_1$ представляется как произведение степеней простых чисел.

[Null]

Valprim в сообщении #1489978 писал(а):

То есть утверждение 1. справедливо $\forall p \in N$.

Оно не такое. Там еще нужно что бы все $y^2,z^2$ представлялись нужными формулами. Там дальше нужно $y^2+z^2i=(m+ni)^p$

[Valprim]

Null в сообщении #1489982 писал(а):

Оно не такое. Там еще нужно что бы все $y^2,z^2$ представлялись нужными формулами.

Определено всё множество степеней, которые разлагаются в сумму двух квадратов целых чисел. Чего там искать еще в левой части , если всё уже найдено.
И Вам уже аргументировали. Предлагаете то же самое, что составлять таблицу степеней целых чисел выискивая их во множестве целых . Брать любое число и вычислять корень, а вдруг это степень целого числа. Не разумнее ли возводить в степень целые числа последовательности?

Antoshka в сообщении #1489385 писал(а):

А можете пояснить, почему нельзя доказать факт, что $x$ равен сумме квадратов посредством теоремы: натуральное число можно представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел $\Leftrightarrow$ в разложении этого числа по основной теореме арифметики числа вида $4k-1,k\in\mathbb{N}$ содержатся там только в четных степенях?

Antoshka! Всё правильно!

[Null]

Valprim в сообщении #1489996 писал(а):

И Вам уже аргументировали.

Нет. Нужно доказать что мы ни одной пары $y^2,z^2$ не пропустим. Пока такого доказательства в теме нет.

[Valprim]

Вынужден признать, что binki был прав, что для доказательства гипотезы Била для уравнения $x^p=y^4+z^4$ достаточно доказать случай когда показатель $p$ нечетный.
Для четных показателей $p$, пока остаётся не ясным случай при существовании $(4k-1)^n$ с нечетным $n$. Тогда число $x_1$ не разлагается в сумму двух квадратов, но при $p$ четном, $ x_1^p$, согласно утверждению Ферма, разлагается в сумму двух квадратов.
Действительно достаточно рассмотрения с нечетным $p$, так как теорема Ферма для биквадратов доказана.

[binki]

Уважаемый Valprim

У меня нет сомнения, что утверждение 1. справедливо для всех показателей $p$ чётных и нечетных. Так как $x_1, x_1^p$ должны быть произведениями сопряженных гауссовых чисел. Иначе не будет получаться сумма двух квадратов целых чисел. Например, число $7$ не является суммой двух квадратов целых чисел. Поэтому $49$ разлагается только в сумму двух дробных квадратов.
Оставляются для рассмотрения нечетные показатели, только для сужения области доква без ущерба в полученных результатов. Чтобы не обсуждать лишние вопросы, возникающие по четным показателям.