Не обязательно. Например,

,

и

.
.
Очевидно, что слагаемые справа не являются квадратами натуральных чисел, т.е.

.
Приветствую Вас, уважаемый
lekДля целых

обязательно.
Квадрат модуля равен

для комплексных чисел

.
Число

можно представить в виде суммы вещественных чисел (целых, дробных, иррациональных), используя всё его множество.
Но другого целого решения не будет. В этом и заключается разумная достаточность использования только целых

, не перебирая всё множество вещественных, ища противоречий.
И второе, второстепенное. В теме числа взаимно простые. После сокращения общего делителя, у Вас тождество

Но остановимся на очевидном, достаточным для обсуждения главного утверждения темы. Пьер Ферма:
"Если число после деления на наибольший содержащийся в нем квадрат (составленный из сомножителей числа) даёт частное, которое делится на простое число вида

, то заданное число не будет квадратом и не может быть разложено в сумму двух целых или дробных квадратов"
То есть,

не равен сумме двух квадратов, если содержит сомножитель - степень числа

с нечетным показателем.
Но тогда и

(при нечетном

) по той же причине не будет равен сумме двух квадратов. То есть, что

равен сумме двух квадратов, для существования решения в этом случае обязательно.
Так как для четных

не существование решения доказано в теореме Ферма для биквадратов. То достаточно доказать не существование решения для неопределённого уравнения

только для нечетных

.