Небольшое эссе к знатокам теории относительности.

[Mister-X]

Munin писал(а):

Цитата:

По той причине, что вы - Минковский, и вам лучше знать, чем кому бы то ни было, так, что ли? Простите, но определения есть определения. Можете ввести своё пространство Mister'а-X, и обсуждать его свойства сколько угодно, но пространством Минковского оно по умолчанию не будет. То же и с понятием инерциальной системы отсчёта: оно определено иначе, и вы вправе обсуждать только "системы отсчёта, инерциальные по Mister'у-X", если желаете определять их иначе.

Впрочем зря ругаетесь. Давайте тогда по факту. Матрица преобразований Галилея - это 3-мерная, а не 4-мерная, матрица, которая должна оставлять инвариантной форму эвклидовой метрики(если мы верим в теорему Пифагора!), согласно

\[ g = \Gamma ^{ - 1} g\Gamma \]

, что для построенной вами матрицы в принципе невозможно. Это имеет место быть потому, что время уже не равноправная координата, а независимая переменная, что вы необосновано игнорируете. У вас же матрица преобразований включает временную координату как равноправную с остальными тремя, что соответствует первому порядку по V/c, поэтому в принципе не может быть нерелятивистской матрицей, и тем самым не имеет отношения к матрице преобразований Галилея. В свою очередь матрица преобразований Лоренца с любой степенью приближения по V/c обеспечивает форминвариантность 4-мерного квадрата интервала с этой точностью, согласно

\[ \gamma = \Lambda ^{ - 1} \gamma \Lambda \]

и только так. Поэтому ваше соотношение

\[ \Lambda - \Gamma \]

, как нетрудно видеть, лишено непосредственного физического содержания. В противном случае у вас матрица преобразований

\[ \Gamma \]

не обеспечивает инвариантных преобразований ни одной физической метрики и бесполезна вообще. Об этом я вам говорил в более мягкой форме. Далее

Цитата:

Я не ввёл этого коэффициента, а посчитал его. Полагал, что для вашего уровня понятно, как. С учётом того, что вы корректируете мои представления о вашем уровне, приведу:

\[ ds^2 = dt'^2 - dx'^2 = dt^2 - (dx - Vdt)^2 = (1 - V^2 )dt^2 - dx^2 + 2Vdxdt \]

, при преобразованиях Галилея

\[ \begin{gathered} t' = t, \hfill \\ x' = x - Vt \hfill \\ \end{gathered} \]

Ага, конечно, посчитали. Вы ввели

\[ g_{00} \]

, причем о таких, примерно, случаях я и вел речь. У вас две инерциальные системы отсчета, одна типа

\[ ds'^2 = dt'^2 - dx'^2 \]

, а другая движется

\[ V = const \]

относительно первой, причем неортогональным образом и ее интервал

\[ ds^2 = (1 - V^2 )dt^2 - dx^2 + 2Vdxdt \]

, где

\[ V \]

- скорость относительного движения систем. По принципам 4-интервалов для всех инерциальных систем

\[ ds'^2 = ds^2 \]

откуда и следует новая матрица

\[ \gamma = \left( {\begin{array}{*{20}c} {1 - V^2 } & V \\ V & { - 1} \\ \end{array} } \right) \]

, так что разность

\[ \gamma - \gamma ' \]

есть отклонение от галилеевости, связанное с выбором неподходящих координат. Кроме того, как нетрудно видеть, временные координаты первой и второй систем отсчета связаны как

\[ t' = t\sqrt {\gamma _{00} + \gamma _{10} \frac{{dx}} {{dt}}} \]

. По-вашему же должно быть, что

\[ t' = t \]

, что явно противоречит исходным данным

\[ ds'^2 = ds^2 = invar \]

.

Цитата:

Работает. Вы же указываете на фундаментальные свойства теорий, а принцип соответствия оперирует не ими, а предельными переходами.

Ну-ну. Метрическая структура - не фундаментальное свойство, она динамична и зависит от таких предельных переходов как

\[ \frac{V} {c} \to 0,\frac{\phi } {{c^2 }} \to 0 \]

.

Цитата:

Mister-X в сообщении #148123 писал(а):
P.S. Попробуйте это опровергнуть.

Определения не доказывают и не опровергают, их вводят и им следуют.

Согласен. Есть только одно но: это определение подходит для инерциальных систем удовлетворяющих принципу локальности в однородном пространстве. То что мы будем иметь пространство Минковского глобально в неинерциальной системе в однородном пространстве ни откуда не следует, а потому подлежит доказательству.

Цитата:

Mister-X в сообщении #148130 писал(а):
В первом порядке по V/c время все еще зависит от координаты и с этой точностью мы имеем форминвариантность 4-интервала

Если бы это было так,

\[ g_{00} \]

было бы строго равно 1.

Да

\[ g_{00} \]

строго равно единице, потому что все метрические коэффициенты в пространстве Минковского строго константы и не зависят от отношения

\[ \frac{V} {c} \]

, что не удовлетворяет принципу соответствия.

Ладно, мир.

Добавлено спустя 48 минут 44 секунды:

Someone писал(а):

Mister-X в сообщении #148118 писал(а):

Пожалуйста: (3+1)-мерные инерциальные системы отсчета - такие системы, физические свойства которых состоят в форминвариантности уравнений записанных через время и координаты этих систем преобразуемых по Лоренцу.

Стоп-стоп-стоп! Во-первых, форминвариантность уравнений - не физическое, а математическое свойство; во-вторых, мне это сильно не нравится.

Я писал форминвариантны потому, что нельзя сказать, что сами физические уравнения, точнее физические процессы выражаемые этими уравнениями не зависят от системы отсчета. Этого требовал принцип относительности Галилея. Постулат постоянства скорости света и Эйнштейновский принцип относительности делают это невозможным. Физические величины являются функциями координат и времени, а последние не универсальны. Так что ход течения процессов в системах отсчета относителен, хотя и описывается в каждой системе одинаковыми уравнениями, что и означает форминвариантность уравнений физики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. А вообще можете определять их как хотите, хоть по 1-ому закону Ньютона. Это становится философией.

[epros]

Mister-X писал(а):

Подробная расшифровка дается мной в самом начале на странице 1. Не буду же я заполнять страницы одними и теми же текстами, скучно станет. Если что-то конкретно смущает, то конкретно укажите, чтобы я понял.

То, что Вы что-то написали, ещё не означает, что это расшифровки и обоснования. Пока я вижу главным образом бессмысленные наборы слов.

Mister-X писал(а):

Пожалуйста: (3+1)-мерные инерциальные системы отсчета - такие системы, физические свойства которых состоят в форминвариантности уравнений записанных через время и координаты этих систем преобразуемых по Лоренцу.

Уравнения ОТО тоже форминвариантны, причём при любых преобразованиях, а не только Лоренцевых.

У меня такое чувство, что всё, изложенное Вами, это какие-то бессмысленные философствования, для наукообразия разбавленные научными терминами. Попытайтесь формализовать хотя бы одно употребляемое Вами понятие.

[Munin]

Mister-X писал(а):

Давайте тогда по факту. Матрица преобразований Галилея - это 3-мерная, а не 4-мерная, матрица, которая должна оставлять инвариантной форму эвклидовой метрики(если мы верим в теорему Пифагора!), согласно

\[ g = \Gamma ^{ - 1} g\Gamma \]

, что для построенной вами матрицы в принципе невозможно.

Уже смешно. Напишите-ка эту матрицу.

Mister-X писал(а):

Это имеет место быть потому, что время уже не равноправная координата, а независимая переменная, что вы необосновано игнорируете.

А почему независимая переменная не может быть равноправной координатой?

Mister-X писал(а):

У вас же матрица преобразований включает временную координату как равноправную с остальными тремя, что соответствует первому порядку по V/c, поэтому в принципе не может быть нерелятивистской матрицей,

Мешанина у вас в голове, милейший. Не всё четырёхмерное - релятивистское.

Mister-X писал(а):

В свою очередь матрица преобразований Лоренца с любой степенью приближения по V/c обеспечивает форминвариантность 4-мерного квадрата интервала с этой точностью, согласно

\[ \gamma = \Lambda ^{ - 1} \gamma \Lambda \]

и только так.

Простите, что это за формула? Точнее, что это за феерическая бредятина? $\gamma$ - не объект.

Mister-X писал(а):

Поэтому ваше соотношение

\[ \Lambda - \Gamma \]

, как нетрудно видеть, лишено непосредственного физического содержания.

Нет, это вы его решили не видеть.

Mister-X писал(а):

В противном случае у вас матрица преобразований

\[ \Gamma \]

не обеспечивает инвариантных преобразований ни одной физической метрики и бесполезна вообще.

Ну-ну, а Галилей-то и не в курсе, бедолага.

Mister-X писал(а):

Далее

Цитата:

Я не ввёл этого коэффициента, а посчитал его. Полагал, что для вашего уровня понятно, как. С учётом того, что вы корректируете мои представления о вашем уровне, приведу:

\[ ds^2 = dt'^2 - dx'^2 = dt^2 - (dx - Vdt)^2 = (1 - V^2 )dt^2 - dx^2 + 2Vdxdt \]

, при преобразованиях Галилея

\[ \begin{gathered} t' = t, \hfill \\ x' = x - Vt \hfill \\ \end{gathered} \]

Ага, конечно, посчитали. Вы ввели

\[ g_{00} \]

, причем о таких, примерно, случаях я и вел речь.

Что вам непонятно в расчёте? Или вы преобразований Галилея не знаете?

Mister-X писал(а):

У вас две инерциальные системы отсчета, одна типа

\[ ds'^2 = dt'^2 - dx'^2 \]

,

Нет, одна типа $(x',t').$ Метрика - это не система отсчёта. Всё та же мешанина в голове...

Mister-X писал(а):

а другая движется

\[ V = const \]

относительно первой, причем неортогональным образом и ее интервал

\[ ds^2 = (1 - V^2 )dt^2 - dx^2 + 2Vdxdt \]

, где

\[ V \]

- скорость относительного движения систем.

Увы, там то же самое $ds$, что и в первой системе отсчёта.

Mister-X писал(а):

...так что разность

\[ \gamma - \gamma ' \]

есть отклонение от галилеевости, связанное с выбором неподходящих координат.

Однако она вычисляется, а не вводится, неужели не понятно?

Mister-X писал(а):

Кроме того, как нетрудно видеть, временные координаты первой и второй систем отсчета связаны как

\[ t' = t\sqrt {\gamma _{00} + \gamma _{10} \frac{{dx}} {{dt}}} \]

.

Вообще-то это трудно видеть. Вы, видимо, попросту не в курсе, что из соотношения метрических тензоров не выводится ещё соотношение базисов; его так же нельзя получить из этой недостаточной информации, как нельзя получить только из величины якобиана. Вот обратная задача - из преобразований получить соотношение метрических тензоров - решается элементарно, что я и показал. И странно после этого ваше заявление, что ответ, который я получил (в одну строчку и два действия - или у вас претензии к этим выкладкам?), на самом деле получается не из тех исходных данных, из которых я его получил, а из других.

Mister-X писал(а):

По-вашему же должно быть, что

\[ t' = t \]

, что явно противоречит исходным данным

\[ ds'^2 = ds^2 = invar \]

.

Противоречия-то не указано.

Mister-X писал(а):

Цитата:

Работает. Вы же указываете на фундаментальные свойства теорий, а принцип соответствия оперирует не ими, а предельными переходами.

Ну-ну. Метрическая структура - не фундаментальное свойство,

Более фундаментальная для теории, чем соответствие её с другими теориями. Впрочем, вы просто опять слов не понимаете...

Mister-X писал(а):

Цитата:

Mister-X в сообщении #148123 писал(а):
P.S. Попробуйте это опровергнуть.

Определения не доказывают и не опровергают, их вводят и им следуют.

Согласен. Есть только одно но: это определение подходит для инерциальных систем удовлетворяющих принципу локальности в однородном пространстве.

Неважно, определения выбирают не по принципу "подходит - не подходит", а по принципу "совпадает - не совпадает". Первично определение, а не понятие.

Mister-X писал(а):

То что мы будем иметь пространство Минковского глобально в неинерциальной системе в однородном пространстве ни откуда не следует, а потому подлежит доказательству.

Полный бред. Неинерциальная система вообще несовместима с однородным пространством, вы даже об этом не в курсе?

Mister-X писал(а):

Цитата:

Mister-X в сообщении #148130 писал(а):
В первом порядке по V/c время все еще зависит от координаты и с этой точностью мы имеем форминвариантность 4-интервала

Если бы это было так,

\[ g_{00} \]

было бы строго равно 1.

Да

\[ g_{00} \]

строго равно единице, потому что все метрические коэффициенты в пространстве Минковского строго константы и не зависят от отношения

\[ \frac{V} {c} \]

, что не удовлетворяет принципу соответствия.

Метрические коэффициенты - не константы, они от системы координат зависят. Мне это надоедает. Вам бы прочитать какую-нибудь книжку, от корки до корки, и с тщательным запоминанием. А то что ни слово - то либо бред несёте, либо слова неправильно используете. Попеременно.

Mister-X писал(а):

Я писал форминвариантны потому, что нельзя сказать, что сами физические уравнения, точнее физические процессы выражаемые этими уравнениями не зависят от системы отсчета.

Ну значит, вы и в этой области терминов не знаете. Про процессы сказать нельзя, а про уравнения можно.

Mister-X писал(а):

Физические величины являются функциями координат и времени, а последние не универсальны.

Зато некоторые функции от этих величин универсальны. Обычно берётся такая функция, которая равна нулю. Это отвечает физическому уравнению $F=0.$

[Mister-X]

Я здесь не экзамен сдаю, тестировать по данному предмету можете других. Дефиниции есть дефиниции, они не абсолютны, их использование и формулировка зависят от нужной точности для исследователя, это не законы природы, чтобы их нарушать. Можете считать пространство Минковского глобальным, как некогда считали абсолютным Эвклидово пространство, для меня же оно только результат локального гомеоморфизма более сложного пространства(плоского), я это вам объяснял почему и это не противоречит никаким определениям, кроме ваших личных доводов. Со своей стороны я не занимался бредятиной и многословьем, на которое вы меня толкаете, а с самого начала ясно обосновал недостаток в постулировании метрики Минковского и то, как это можно обойти не нарушив физической эквивалентности ситуаций. Ибо я изъяснялся по существу поставленного вопроса, а не ставил на поверку свою эрудицию, которая может и уступать вашей, но к сформулированной проблеме это имеет мало отношения. Точно также имеет мало отношения 4-мерная "матрица преобразований Галилея" к 3-мерным преобразованиям координат и времени, если не говорить, что такая конструкция вообще бессмысленна для нахождения нарушения инвариантности интервала с задаваемой точностью по

\[ \frac{V} {c} \]

. По существу: форминвариантность интервала означает, что метрика не зависит явно от выбора системы координат, и когда я говорю, что метрические коэффициенты Минковского - константы, приводить в противовес моему утверждению, что они зависят от выбора систем координат означает банальное пустословье, а не физическое рассуждение. Мне это тоже надоело. Так что Bon Vojage![/i]

[Munin]

Mister-X писал(а):

Я здесь не экзамен сдаю, тестировать по данному предмету можете других.

Сначала вы могли так говорить, пока чуши не наворотили. Потом с вами всё стало ясно.

Mister-X писал(а):

Дефиниции есть дефиниции, они не абсолютны,

Ничё, зато общеприняты.

Mister-X писал(а):

Со своей стороны я не занимался бредятиной и многословьем,

Это вам только так кажется.

Mister-X писал(а):

То что для кого-то это оказалось принципиально недоступно к пониманию, указывает на его некомпетентность, а не на мою,

Ошибка в логике.

Mister-X писал(а):

ибо я изъяснялся по существу поставленного вопроса,

Приукрашивание действительности. Говорить на языке, который понятен только лично вам - это не называется изъясняться по существу.

Mister-X писал(а):

Точно также имеет мало отношения 4-мерная "матрица преобразований Галилея" к 3-мерным преобразованиям координат и времени,

Ах да, вот чего вы так вскипятились! Вы ж трёхмерную матрицу не смогли привести! :-)))

Mister-X писал(а):

Когда человек путает обычную 4-мерность с релятивистской (3+1)-мерностью,

Оба-на. Это вы чего-то путаете. В математике нету (3+1) мерности. Есть 4-мерность с сигнатурой (1,3).

Mister-X писал(а):

По существу: форминвариантность интервала означает, что метрика не зависит явно от выбора системы координат,

Выбора из какого множества?

Mister-X писал(а):

и когда я говорю, что метрические коэффициенты Минковского - константы, приводить в противовес моему утверждению, что они зависят от выбора систем координат означает банальное пустословье, а не физическое рассуждение.

И это вам только так кажется.

[Mister-X]

1.

\[ x^0 = ct,x^1 = - x,x^2 = - y,x^3 = - z \]

- 3+1-мерность в физике.

2.Координаты одной и той же точки в двух различных инерциальных системах отсчета K и K', из которых вторая движется со скоростью

\[ V \]

относительно первой, связаны друг с другом соотношением

\[ \left\{ \begin{gathered} r = r' + Vt, \hfill \\ t = invar. \hfill \\ \end{gathered} \right\} \]

\[ t \]

- время во всех инерциальных системах.

\[ x^0 \ne t \]

,

\[ x^0 \]

есть релятивистская координата, она не универсальна. В силу принципа относительности 3-мерные преобразования Галилея

\[ x_\alpha ' = \gamma _{\alpha \beta } x_\beta \]

оставляют инвариантным расстояние между любыми двумя точками

\[ s^2 = dx_\alpha dx^\alpha = dx_\alpha 'dx^\alpha ' \]

при переходе от одной инерциальной системы к другой:

\[ \begin{gathered} g' = \Gamma ^{ - 1} g\Gamma , \hfill \\ g' = g \hfill \\ \end{gathered} \]

, где

\[ \Gamma = \left( {\begin{array}{*{20}c} {1 - \frac{V} {x}t} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right) \]

,

\[ g = \left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right) \]

. Чтобы вы не думали более, что я не отвечаю за свои слова. Можете это опровергать далее своей формальной логикой, это будут только ваши иллюзии.

[homounsapiens]

Mister-X в сообщении #148272 писал(а):

1.Оба-на: \[ x^0 = ct,x^1 = - x,x^2 = - y,x^3 = - z \] - 3+1-мерность в физике.

Забавно. Чего вы сказать-то хотели? Наверняка то, что в пространстве Минковского событие определяется четырьмя координатами. Ну да, и че? Минусы-то там к чему? Можно подумать, что если вы уберете знак минус из пространственных компонент, ваше утверждение будет либо более либо менее сильным ...

Цитата:

\[ x^0 \ne t \], \[ x^0 \] есть релятивистская координата, она не универсальна. В силу принципа относительности 3-мерные преобразования Галилея \[ x_\alpha ' = \gamma _{\alpha \beta } x_\beta \] оставляют инвариантным расстояние между любыми двумя точками \[ s^2 = dx_\alpha dx^\alpha = dx_\alpha 'dx^\alpha ' \] при переходе от одной инерциальной системы к другой:

А ваша альфа, она какие значения пробегает?

[Mister-X]

homounsapiens писал(а):

Цитата:

\[ x^0 \ne t \], \[ x^0 \] есть релятивистская координата, она не универсальна. В силу принципа относительности 3-мерные преобразования Галилея \[ x_\alpha ' = \gamma _{\alpha \beta } x_\beta \] оставляют инвариантным расстояние между любыми двумя точками \[ s^2 = dx_\alpha dx^\alpha = dx_\alpha 'dx^\alpha ' \] при переходе от одной инерциальной системы к другой:

А ваша альфа, она какие значения пробегает?

От

\[ 1 \]

до

\[ \infty \]

.

[Munin]

Mister-X писал(а):

2.Координаты одной и той же точки в двух различных инерциальных системах отсчета K и K', из которых вторая движется со скоростью

\[ V \]

относительно первой, связаны друг с другом соотношением

\[ \left\{ \begin{gathered} r = r' + Vt, \hfill \\ t = invar. \hfill \\ \end{gathered} \right\} \]

\[ t \]

- время во всех инерциальных системах.

Запишите в матричном виде. Так не считается.

Mister-X писал(а):

при переходе от одной инерциальной системы к другой:

\[ \begin{gathered} g' = \Gamma ^{ - 1} g\Gamma , \hfill \\ g' = g \hfill \\ \end{gathered} \]

, где

\[ \Gamma = \left( {\begin{array}{*{20}c} {1 - \frac{V} {x}t} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right) \]

,

Покажите вывод $\Gamma$ из матричного вида, который вы дадите в ответ на вопрос выше.

Mister-X писал(а):

Чтобы вы не думали более, что я не отвечаю за свои слова. Можете это опровергать далее своей формальной логикой, это будут только ваши иллюзии.

Это только начало, теперь с вас наконец всерьёз спросить можно.

Добавлено спустя 1 минуту 15 секунд:

homounsapiens
Побудь тут за меня, меня он утомил уже...

Добавлено спустя 3 минуты 33 секунды:

Munin писал(а):

Mister-X писал(а):

при переходе от одной инерциальной системы к другой:

\[ \begin{gathered} g' = \Gamma ^{ - 1} g\Gamma , \hfill \\ g' = g \hfill \\ \end{gathered} \]

Покажите вывод $\Gamma$ из матричного вида, который вы дадите в ответ на вопрос выше.

Кста-а-ати, и вывод формулы $g'=\Gamma^{-1}g\Gamma$ тоже покажите. Потому как общепринятой является формула $g'=\Gamma^{\mathrm{T}}g\Gamma,$ именно она дана в учебниках по линейной алгебре.

[Mister-X]

Munin писал(а):

Mister-X писал(а):

2.Координаты одной и той же точки в двух различных инерциальных системах отсчета K и K', из которых вторая движется со скоростью

\[ V \]

относительно первой, связаны друг с другом соотношением

\[ \left\{ \begin{gathered} r = r' + Vt, \hfill \\ t = invar. \hfill \\ \end{gathered} \right\} \]

\[ t \]

- время во всех инерциальных системах.

Запишите в матричном виде. Так не считается.

Все считается, если не злоупотреблять педантизмом

\[ \begin{gathered} x_\beta = x'_\alpha \widetilde\gamma _{\beta \alpha } , \hfill \\ x'_\alpha = \gamma _{\alpha \beta } x_\beta \hfill \\ \end{gathered} \]

,

\[ \overrightarrow V = (V,0,0) \]

,

\[ t \]

- параметр. Преобразования координат не затрагивают параметров.

Munin писал(а):

Mister-X писал(а):

при переходе от одной инерциальной системы к другой:

\[ \begin{gathered} g' = \Gamma ^{ - 1} g\Gamma , \hfill \\ g' = g \hfill \\ \end{gathered} \]

, где

\[ \Gamma = \left( {\begin{array}{*{20}c} {1 - \frac{V} {x}t} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right) \]

,

Покажите вывод $\Gamma$ из матричного вида, который вы дадите в ответ на вопрос выше.

Некоторые вещи очевидны, тем более для вас:

\[ \Gamma = \left( {\begin{array}{*{20}c} {1 - \frac{V} {x}t} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right),\Gamma ^{ - 1} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {1 + \frac{V} {{x'}}t} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right) \]

, перемножать матрицы вы умеете.

Munin писал(а):

Кста-а-ати, и вывод формулы $g'=\Gamma^{-1}g\Gamma$ тоже покажите. Потому как общепринятой является формула $g'=\Gamma^{\mathrm{T}}g\Gamma,$ именно она дана в учебниках по линейной алгебре.

У вас прямо все, что не из учебника-молебника, то не существует.

\[ x = x'^\alpha e'_\alpha = x^\beta e_\beta \]

,

\[ \alpha ,\beta = \overline {1,3} \]

. Вектор существует независимо от базиса.

\[ \left\{ \begin{gathered} e'_\alpha = \widetilde\gamma ^\beta _\alpha e_\beta , \hfill \\ e_\beta = \gamma ^\alpha _\beta e'_\alpha \hfill \\ \end{gathered} \right\} \]

.

\[ g_{\alpha \beta } = (e_\alpha e_\beta ) = \gamma ^\alpha _\beta e'_\alpha e_\alpha = (\gamma ^\alpha _\beta \widetilde\gamma ^\beta _\alpha )e_\alpha e_\beta , \]

, так что

\[ \widetilde\gamma ^\alpha _\beta = \gamma ^\beta _\alpha ^{ - 1} \]

. Отсюда же

\[ \begin{gathered} \gamma ^\alpha _\beta \widetilde\gamma ^\beta _\delta = \delta ^\alpha _\delta = g_\alpha _\beta g^\beta ^\delta , \hfill \\ \gamma ^\beta _\delta ^{ - 1} g_\delta _\beta \gamma ^\delta _\alpha = g_{\alpha \delta } \hfill \\ \end{gathered} \]

. Матрично

\[ \Gamma ^{ - 1} g\Gamma = g \]

.

Munin писал(а):

Цитата:

homounsapiens
Побудь тут за меня, меня он утомил уже...

Скверно...очень скверно.

Munin писал(а):

Цитата:

Это только начало, теперь с вас наконец всерьёз спросить можно.

Еще будут упражнения на зачет?

[Munin]

Mister-X писал(а):

Munin писал(а):

Запишите в матричном виде. Так не считается.

Все считается, если не злоупотреблять педантизмом

\[ \begin{gathered} x_\beta = x'_\alpha \widetilde\gamma _{\beta \alpha } , \hfill \\ x'_\alpha = \gamma _{\alpha \beta } x_\beta \hfill \\ \end{gathered} \]

Матрицу $\gamma_{\alpha\beta}$ выпишете. Пока всё ещё не считается.

Mister-X писал(а):

Munin писал(а):

Mister-X писал(а):

при переходе от одной инерциальной системы к другой:

\[ \begin{gathered} g' = \Gamma ^{ - 1} g\Gamma , \hfill \\ g' = g \hfill \\ \end{gathered} \]

, где

\[ \Gamma = \left( {\begin{array}{*{20}c} {1 - \frac{V} {x}t} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right) \]

,

Покажите вывод $\Gamma$ из матричного вида, который вы дадите в ответ на вопрос выше.

Некоторые вещи очевидны, тем более для вас:

\[ \Gamma = \left( {\begin{array}{*{20}c} {1 - \frac{V} {x}t} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right),\Gamma ^{ - 1} = \left( {\begin{array}{*{20}c} {1 + \frac{V} {{x'}}t} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{array} } \right) \]

Увы, это не вывод, это просто декларация, взятая с потолка. К тому же $\Gamma^{-1}$ вы записали неправильно. Повторяю: покажите вывод этих $\Gamma$ из того, что вы обозначили $\gamma_{\alpha\beta}.$

Mister-X писал(а):

Munin писал(а):

Кста-а-ати, и вывод формулы $g'=\Gamma^{-1}g\Gamma$ тоже покажите. Потому как общепринятой является формула $g'=\Gamma^{\mathrm{T}}g\Gamma,$ именно она дана в учебниках по линейной алгебре.

У вас прямо все, что не из учебника-молебника, то не существует.

Да нет, просто то, что противоречит учебнику, то ошибка.

Mister-X писал(а):

...Матрично

\[ \Gamma ^{ - 1} g\Gamma = g \]

.

Вы идиот или как? Я просил вывод другого соотношения, которое у вас было раньше: $g'=\Gamma^{-1}g\Gamma.$ Кстати, ваш "вывод" - это простая путаница (или мошенничество, я не исключаю) с индексами. По сути, вы получили только $g=\gamma^{-1}\gamma g,$ что совсем не то же самое, что $\gamma^{-1}g\gamma.$ Индексы в выражении с неявным суммированием не имеют права появляться по три раза, как это вы делаете, когда вводится суммирование, то для него выбирается индекс, не совпадающий (как буква) с индексом всего выражения. При явном суммировании это очевидней: нельзя записать $a_i=\sum_i\ldots$ Если вы вписываете формулу с неявным (или явным) суммированием в другую формулу, индексы переименовываются.

Mister-X писал(а):

Еще будут упражнения на зачет?

В двадцатый раз за тему провалиться хотите? Я посчитал, девятнадцать незачётов можете себе уже проставить.

[AlexNew]

Munin писал(а):

Кста-а-ати, и вывод формулы $g'=\Gamma^{-1}g\Gamma$ тоже покажите. Потому как общепринятой является формула $g'=\Gamma g\Gamma^{\mathrm{T}},$ именно она дана в учебниках по линейной алгебре.

транспонированая для вращений, обратная для любых преоброзований координат

[Munin]

Путаете. $g$ - не матрица преобразования, а матрица квадратичной формы:
$f(\mathbf{v})=(\mathbf{v},g\mathbf{v})=(\Gamma\mathbf{v}',g\Gamma\mathbf{v}')=(\mathbf{v}',\Gamma^{\mathrm{T}}g\Gamma\mathbf{v}')=(\mathbf{v}',g'\mathbf{v}')=f(\mathbf{v}').$
Да, я транспонирование не там поставил. Сначала там (и это успел процитировать Mister-X), а потом почему-то подумал неправильно.

А обратная возникает для матриц преобразований (операторов):
$\mathbf{u}=M\mathbf{v}\quad\Leftrightarrow\quad\Gamma\mathbf{u}'=M\Gamma\mathbf{v}'\quad\Leftrightarrow\quad\mathbf{u}'=\Gamma^{-1}M\Gamma\mathbf{v}'=M'\mathbf{v}'.$
На тензорном языке квадратичные и билинейные формы - дважды ковариантные тензоры, а преобразования - один раз контра- и один раз ковариантные. Обратите внимание, когда у метрического тензора поднимают один индекс, он превращается в символ Кронекера - единичное преобразование.

[Mister-X]

Munin.

\[ \begin{gathered} e'_\alpha e'_\beta = g'_{\alpha \beta } = \widetilde\gamma ^\beta _\alpha e_\beta (\widetilde\gamma ^\alpha _\beta e_\alpha ) = \widetilde\gamma ^\beta _\alpha (\widetilde\gamma ^\alpha _\beta e_\alpha )e_\beta = (\widetilde\gamma ^\beta _\alpha \widetilde\gamma ^\alpha _\beta )g_{\alpha \beta } ,\[ \left[ {e_\beta ,e'_\beta } \right] = 0 \], \hfill \\ g'_{\alpha \beta } \ne g_{\alpha \beta } . \hfill \\ \end{gathered} \]

Для

\[ g' \to g \]

при преобразовании

\[ \widetilde\gamma g\gamma \]

, выражающем инвариантность:

\[ e'_\alpha e_\beta = (\widetilde\gamma ^\beta _\alpha e_\beta )(\gamma ^\alpha _\beta e'_\alpha ) \]

. Справа на

\[ e_\alpha \]

\[ \begin{gathered} (e'_\alpha e_\beta )e_\alpha = ... \hfill \\ g_{\alpha \beta } = g_{\beta \alpha } = e_\alpha (\gamma ^\alpha _\beta e'_\alpha ) \hfill \\ \end{gathered} \]

\[ e'_\alpha (g_{\beta \alpha } ) = (\widetilde\gamma ^\beta _\alpha (e_\beta e_\alpha )\gamma ^\alpha _\beta )e'_\alpha \]

, так как это справедливо

\[ \forall \]

\[ e'_\alpha \]

, то

\[ \begin{gathered} g_{\beta \alpha } = \widetilde\gamma ^\beta _\alpha g_{\beta \alpha } \gamma ^\alpha _\beta , \hfill \\ g = \widetilde\gamma g\gamma \hfill \\ \end{gathered} \]

,

\[ \Gamma ^{ - 1} \]

я записал правильно, потому, что

\[ \Gamma \Gamma ^{ - 1} = E \]

.

\[ \begin{gathered} \Gamma = (\gamma _{\alpha \beta } ), \hfill \\ \Gamma ^{ - 1} = (\widetilde\gamma _{\alpha \beta } ) \hfill \\ \end{gathered} \]

,

Цитата:

В двадцатый раз за тему провалиться хотите? Я посчитал, девятнадцать незачётов можете себе уже проставить.

До фени.

Цитата:

Потому как общепринятой является формула

\[ g' = \Gamma ^T g\Gamma \]

...

Есть формула преобразования матриц

\[ B' = U^{ - 1} BU \]

,
где

\[ U \]

- матрица перехода от базиса

\[ e'^{(n)} \]

к базису

\[ e^{(n)} \]

,
а потому

\[ \begin{gathered} rangU = n\]

,

\[ U^T \ne U^{ - 1} \]

. Это преобразование к матрице

\[ g \]

соответствует тому, что всегда

\[ \det g' = \det g \]

, а в частном случае

\[ g' = g \]

. У меня же

\[ \widetilde\gamma ^\alpha _\beta = \gamma ^\beta _\alpha ^{ - 1} = (\gamma ^\alpha _\beta ^T )^{ - 1} \]

, по теореме

\[ (\gamma ^\alpha _\beta ^T )^{ - 1} \gamma ^\delta _\beta ^T = \delta ^\alpha _\delta \]

,

\[ \begin{gathered} \widetilde\gamma ^\alpha _\beta \gamma ^\beta _\delta \mathop = \limits^{def} \delta ^\alpha _\delta , \hfill \\ \Gamma ^T = \Gamma \hfill \\ \end{gathered} \]

,

\[ \begin{gathered} g' \equiv g = \Gamma ^{ - 1} g\Gamma , \hfill \\ \Gamma ^{ - 1} \ne \Gamma ^T \hfill \\ \end{gathered} \]

.
И вообще, если что, мы перемножаем квадратные невырожденные матрицы, а не прямоугольные, чтобы их зачем-то было транспонировать.

[Munin]

Mister-X писал(а):

Такой общепринятой формулы не существует. Есть формула преобразования матриц

\[ B' = U^{ - 1} BU \]

,

В каких случаях она применима, а в каких неприменима, этому я посвятил предыдущее своё сообщение. Жаль, что вы его не читали, иначе бы знали, что формула не только общепринята, но и очевидна.

Mister-X писал(а):

Увы, но это вы идиот.

:-)

Mister-X писал(а):

И вообще, если что, мы перемножаем квадратные невырожденные матрицы, а не прямоугольные, чтобы их зачем-то было транспонировать.

То есть вы вообще не в курсе, зачем квадратные матрицы транспонируют?

Скучно. Я вам пытаюсь объяснить, где ваша ошибка, а оказывается, что вы и более базовыми знаниями не обладаете, чтобы эти объяснения понять. Скоро выяснится, что вы и правил арифметики не знаете. С таким набором знаний не про галилеевы системы отсчёта рассуждать.