2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Когда кривая будет замкнутой?
Сообщение19.08.2020, 01:18 
Заслуженный участник


09/05/13
8904
DUYCUONG
Что известно о функции $f$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда кривая будет замкнутой?
Сообщение19.08.2020, 14:00 


12/07/20
12
Lia в сообщении #1479838 писал(а):
DUYCUONG
Вас все поняли. Вы можете предложить свой способ решения проблемы. Повторять вопрос не нужно.

Спасибо вам и всем ! Я попробовал решить их после много иностранных ссылок, что: $x=r.cos(\theta)$ и $y=r.sin(\theta)$, потом найти функцию $r(\theta)$. Если $r$ непрерывная в интервале $[0;2\pi]$ и $r(0)=r(2\pi)$ то f(x,y) будет замкнутой, и наоборот, незамкнутой !
Я думаю это будет правильным решением для этой теме. Как вы думаете?

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда кривая будет замкнутой?
Сообщение19.08.2020, 14:50 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Думаю, что можно сформулировать общий факт. Как доказывать -- не знаю. Пусть $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ -- гладкая функция.
И пусть множество $U=\{f(x)=0\}$ компактно. Тогда если на $U$ выполнено неравенство $df\ne 0$ то $U$ представляет собой конечный набор гладких связных компактных ориентируемых многообразий без края.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда кривая будет замкнутой?
Сообщение20.08.2020, 10:52 


12/07/20
12
pogulyat_vyshel в сообщении #1479864 писал(а):
Думаю, что можно сформулировать общий факт. Как доказывать -- не знаю. Пусть $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ -- гладкая функция.
И пусть множество $U=\{f(x)=0\}$ компактно. Тогда если на $U$ выполнено неравенство $df\ne 0$ то $U$ представляет собой конечный набор гладких связных компактных ориентируемых многообразий без края.

Спасибо вам огромное. Это тоже хороший вариант для моей проблемы. Я проверил ваше решение, и оно правильно при $f(x,y)=x+y$ и также $f(x,y)=x^2+y^2-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда кривая будет замкнутой?
Сообщение20.08.2020, 11:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Я что-то не понимаю, или это просто теорема о неявной функции? В каждой точке производная по какой-то координате ненулевая - и по теореме о неявной функции эта координата является гладкой функцией от остальных в окрестности. А значит окрестность гомеоморфна $\mathbb R^{m - 1}$, в качестве локальных координат можно просто взять координаты из нашего $\mathbb R^m$ кроме выбранной. Ну и поскольку $U$ компактно, то конечным числом окрестностей оно накрывается полностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда кривая будет замкнутой?
Сообщение20.08.2020, 15:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
8355
Цюрих
Хотя это просто гладкое и компактное. Конечность числа компонент связности и ориентируемость так не получаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда кривая будет замкнутой?
Сообщение20.08.2020, 20:13 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
Компонент связности конечное число потому, что допустим компонент связности бесконечно много: ; $U_1,U_2,\ldots$. Берем любую последовательность $x_k\in U_k$. Выделяем из нее сходящуюся подпоследовательность $x_{k_s}\to\tilde x$. Точка $\tilde x$ лежит в одной из компонент связности и в любой ее окрестности дофига точек из других компонент связности. Это противоречит пункту о единственности в теореме о неявной функции

-- 20.08.2020, 21:16 --

Ориентируемость компоненты связности следует из того, что можно построить поле нормалей к многообразию (введем какую-нибудь метрику в $\mathbb{R}^m$ и рассмотрим $\nabla f$) это же гипермногообразие, нормаль определяется однозначно, понятно в каком смысле однозначно

-- 20.08.2020, 21:18 --

формальное рассуждение про ориентацию гипермногообразия с помощью поля нормалей см Лоран Шварц Анализ

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда кривая будет замкнутой?
Сообщение20.08.2020, 21:26 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Можно ещё сказать, что $U=\partial V$, где $V=\{x\in\mathbb R^n\mid f(x)>0\}$. Так как $V$ ориентируемо (как открытое множество в $\mathbb R^n$), то и $U$ ориентируемо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Когда кривая будет замкнутой?
Сообщение20.08.2020, 22:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
mihaild в сообщении #1479987 писал(а):
Конечность числа компонент связности


Вроде получается даже из Вашего рассуждения: пересечение с каждой из построенных координатных окрестностей связно, следовательно, имеем конечное объединение связных множеств.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 24 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group