Когда кривая будет замкнутой?

[Otta]

DUYCUONG
Что известно о функции $f$?

[DUYCUONG]

Lia в сообщении #1479838 писал(а):

DUYCUONG
Вас все поняли. Вы можете предложить свой способ решения проблемы. Повторять вопрос не нужно.

Спасибо вам и всем ! Я попробовал решить их после много иностранных ссылок, что: $x=r.cos(\theta)$ и $y=r.sin(\theta)$, потом найти функцию $r(\theta)$. Если $r$ непрерывная в интервале $[0;2\pi]$ и $r(0)=r(2\pi)$ то f(x,y) будет замкнутой, и наоборот, незамкнутой !
Я думаю это будет правильным решением для этой теме. Как вы думаете?

[pogulyat_vyshel]

Думаю, что можно сформулировать общий факт. Как доказывать -- не знаю. Пусть $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ -- гладкая функция.
И пусть множество $U=\{f(x)=0\}$ компактно. Тогда если на $U$ выполнено неравенство $df\ne 0$ то $U$ представляет собой конечный набор гладких связных компактных ориентируемых многообразий без края.

[DUYCUONG]

pogulyat_vyshel в сообщении #1479864 писал(а):

Думаю, что можно сформулировать общий факт. Как доказывать -- не знаю. Пусть $f:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}$ -- гладкая функция.
И пусть множество $U=\{f(x)=0\}$ компактно. Тогда если на $U$ выполнено неравенство $df\ne 0$ то $U$ представляет собой конечный набор гладких связных компактных ориентируемых многообразий без края.

Спасибо вам огромное. Это тоже хороший вариант для моей проблемы. Я проверил ваше решение, и оно правильно при $f(x,y)=x+y$ и также $f(x,y)=x^2+y^2-1$.

[mihaild]

Я что-то не понимаю, или это просто теорема о неявной функции? В каждой точке производная по какой-то координате ненулевая - и по теореме о неявной функции эта координата является гладкой функцией от остальных в окрестности. А значит окрестность гомеоморфна $\mathbb R^{m - 1}$, в качестве локальных координат можно просто взять координаты из нашего $\mathbb R^m$ кроме выбранной. Ну и поскольку $U$ компактно, то конечным числом окрестностей оно накрывается полностью.

[mihaild]

Хотя это просто гладкое и компактное. Конечность числа компонент связности и ориентируемость так не получаются.

[pogulyat_vyshel]

Компонент связности конечное число потому, что допустим компонент связности бесконечно много: ; $U_1,U_2,\ldots$. Берем любую последовательность $x_k\in U_k$. Выделяем из нее сходящуюся подпоследовательность $x_{k_s}\to\tilde x$. Точка $\tilde x$ лежит в одной из компонент связности и в любой ее окрестности дофига точек из других компонент связности. Это противоречит пункту о единственности в теореме о неявной функции

-- 20.08.2020, 21:16 --

Ориентируемость компоненты связности следует из того, что можно построить поле нормалей к многообразию (введем какую-нибудь метрику в $\mathbb{R}^m$ и рассмотрим $\nabla f$) это же гипермногообразие, нормаль определяется однозначно, понятно в каком смысле однозначно

-- 20.08.2020, 21:18 --

формальное рассуждение про ориентацию гипермногообразия с помощью поля нормалей см Лоран Шварц Анализ

[Padawan]

Можно ещё сказать, что $U=\partial V$, где $V=\{x\in\mathbb R^n\mid f(x)>0\}$. Так как $V$ ориентируемо (как открытое множество в $\mathbb R^n$), то и $U$ ориентируемо.

[g______d]

mihaild в сообщении #1479987 писал(а):

Конечность числа компонент связности

Вроде получается даже из Вашего рассуждения: пересечение с каждой из построенных координатных окрестностей связно, следовательно, имеем конечное объединение связных множеств.