Компонент связности конечное число потому, что допустим компонент связности бесконечно много: ;

. Берем любую последовательность

. Выделяем из нее сходящуюся подпоследовательность

. Точка

лежит в одной из компонент связности и в любой ее окрестности дофига точек из других компонент связности. Это противоречит пункту о единственности в теореме о неявной функции
-- 20.08.2020, 21:16 --Ориентируемость компоненты связности следует из того, что можно построить поле нормалей к многообразию (введем какую-нибудь метрику в

и рассмотрим

) это же гипермногообразие, нормаль определяется однозначно, понятно в каком смысле однозначно
-- 20.08.2020, 21:18 --формальное рассуждение про ориентацию гипермногообразия с помощью поля нормалей см Лоран Шварц Анализ