Когда кривая будет замкнутой?

[DUYCUONG]

Привет всем,
На 2D плоскости $x-y$ у нас есть уравнение кривой $f(x,y)=0$. Например, $f(x,y)=x+y=0$ будет линией и открытой ! Но $f(x,y)=x^2+y^2-1=0$ будет окружностью с радиусом $1$ и конечно это замкнутая кривая ! Вот, проблема у меня: при заданном уравнении $f(x,y)=0$ эта кривая будет замкнутой или открытой по каким условиям?
Извините, слабый русский язык у меня. Жду ваши помощи. Спасибо вам огромное.

[ozheredov]

DUYCUONG
По видимому, по этой кривой придется научиться "ездить", т.е. сопоставлять

DUYCUONG в сообщении #1479773 писал(а):

$f(x,y)=0$.

пару $x = x(t), y = y(t)$ при всех действительных $t$. И если одновременно для всех $t$ и для какого-то конкретного $T$: $x(t + T) = x(t), y(t + T) = y(t)$, тогда ВОТЪ )

[pogulyat_vyshel]

My hypothesis is as follows. Assume that the set $U=\{f(x,y)=0\}$ is compact and it odes not contain critical points of $f$. Then $U$ is a closed smooth 1-dimensional manifold. (here $f$ is a smooth function you see)

[ozheredov]

pogulyat_vyshel
What about Lorenz Attractor arbitrary weird attractors? I believe it meets all Your conditions. Am I wrong?

[Утундрий]

Вы рассматриваете только полиномы?

[Null]

А восьмерка замкнутая кривая?

[Dmitriy40]

С восьмёркой не интересно, она периодическая, а вот замкнута ли двойная спираль $R=\varphi^2$?
А ещё лучше что-нибудь явно не симметричное, типа $R=\varphi+\ln(\varphi^2+1)$.

[pogulyat_vyshel]

ozheredov в сообщении #1479781 писал(а):

at about Lorenz Attractor arbitrary weird attractors? I believe it meets all Your conditions. Am I wrong?

did not get your idea and I do not know what a strange attractor in the plane is

Null

I believe the topic starter means embeddings of $S^1$ in $\mathbb{R}^2$
"eight" is an immersion but not an embedding
anyway what I proposed is just a sufficient condition

[lel0lel]

По теме:
Jordan curve theorem
О замкнутой кривой, топологически эквивалентной окружности
Теорема Жордана для случая многоугольников

[DUYCUONG]

Спасибо за обсуждения ваши выше. Я думаю о кривой Иордана (https://en.wikipedia.org/wiki/Jordan_curve_theorem). Но не знаю как применять эту теорию в своем идее для моего конкретного примере, я хочу как проверить данную кривую f(x,y)=0, которая будет замкнутой или открытой, т.е. какие общие условия чтобы знать эта кривая будет замкнутой или открытой. Это очень сложно. Можно еще дать мне лучший вариант.

[Aritaborian]

Не, теорема Жордана не об этом.

[DUYCUONG]

Aritaborian в сообщении #1479819 писал(а):

Не, теорема Жордана не об этом.

Я хочу знать: моя кривая f(x,y)=0 будет замкнутой (Иордана) или незамкнутой? Только так ! Какой метод для этой проблемы?

[ozheredov]

pogulyat_vyshel в сообщении #1479806 писал(а):

in the plane is

Oh, in the PLANE. Ok, there are no strange attractors in the plane, I missed TS speak about plane only

[Lia]

DUYCUONG
Вас все поняли. Вы можете предложить свой способ решения проблемы. Повторять вопрос не нужно.

[lel0lel]

Попробовать факторизовать $f(x,y)$, чтобы не столкнуться с чем-то подобным: $((x-a_1)^2+(y-b_1)^2-R_1^2)((x-a_2)^2+(y-b_2)^2-R_2^2)=0$ или $(y-x)^2=0$, затем перейти к полярным координатам и рассмотреть предел $\lim_{\rho\to\infty}\tilde{f}(\rho,\varphi)$.