Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.

[dick]

Степень с четным показателем всегда можно представить квадратом, поэтому рассмотри вариант с нечетным показателем.
Пусть $z-y$ это нечетный куб, тогда, чтобы получить некий четный квадрат, наш куб нужно умножить на какую то нечетную степень, с тем же основанием что у куба. Хоть на такой же куб, но с добавлением четного числа двоек, например, $4(z-y)$. Можно добавить и четные степени нечетных чисел, которых нет в составе $z-y$, важно то, что второе число будет кратно $z-y$. Тогда $a_1/3$ будет кратно $z-y$, а значит $x_1$ будет кратен $z-y$. Но тогда левая часть (1.1) будет кратна $(z-y)^3$, что для правой части невозможно.

[kotenok gav]

dick в сообщении #1472146 писал(а):

Пусть $z-y$ это нечетный куб, тогда, чтобы получить некий четный квадрат, наш куб нужно умножить на какую то нечетную степень, с тем же основанием что у куба.

???

[dick]

Если знак вопроса это слово "почему", то, потому что так мы получим четную степень, которая может быть представлена квадратом. Если же мы хотим квадрат как произведение двух одинаковых составов простых чисел, то потребуется умножать на дробь. Но у нас обе скобки правой части (7) это натуральные числа. Предлагайте, если у Вас есть другие варианты.

-- 04.07.2020, 13:00 --

Под "четной степенью" имел ввиду степень с четным показателем.

[kotenok gav]

dick в сообщении #1472146 писал(а):

важно то, что второе число будет кратно $z-y$.

Не факт. $27$ можно умножить на $9$, и оно станет квадратом.

[dick]

Дело в том, что четная скобка (7) больше чем нечетная.
Сократим (5.1.4) на $a_1/3$, получим:
$(a_1/3)^2=(9zy/a_1-3x_1)(x_1-a_1/3)$ (5.1.5)
Сократим обе скобки на $a_1/3$, получим:
$3zy/(a_1/3)^2-3x_1/(a_1/3)$ и $x_1/(a_1/3)-1$
Поскольку $a_1/3$ больше половины $x_1$, второе выражение всегда меньше единицы.
Даже если принять $zy=x_1^2$, для первого выражения получим:
$3(x_1/(a_1/3))^2-3(x_1/(a_1/3))$

[kotenok gav]

Что такое (5.1.4)?

[dick]

Задумался над Вашим вопросом об $A$ и $B$. И вот что получается:
$x_1-a_1/3=z-y$ (5.1)
$(x_1-a_1/3)^3=(z-y)^3$
$x_1^3-3x_1^2(a_1/3)+3x_1(a_1/3)^2-(a_1/3)^3=z^3-3z^2y+3zy^2-y^3$
Поскольку $z^3=y^3+x^3$, остается:
$(a_1/3)^3=3zy(z-y)-3x_1(a_1/3)(x_1-a_1/3)=(3zy-3x_1(a_1/3))(x_1-a_1/3)$ (5.1.4);

[kotenok gav]

dick в сообщении #1472196 писал(а):

Поскольку $a_1/3$ больше половины $x_1$

Почему?

[dick]

Я могу показать почему $a_1/3$ больше половины $x_1$, но ведь не это важно, а то что:
$3(x_1/(a_1/3))^2-3(x_1/(a_1/3))=(3x_1/(a_1/3))(x_1/(a_1/3)-1)$
и правая часть равенства всегда больше $(x_1/(a_1/3))-1$, потому что $3x_1/(a_1/3)$ всегда больше единицы.

[kotenok gav]

dick в сообщении #1472246 писал(а):

потому что $3x_1/(a_1/3)$ всегда больше единицы.

Почему? И даже если это так, то почему

dick в сообщении #1472196 писал(а):

четная скобка (7) больше чем нечетная.

?

-- 05 июл 2020, 04:19 --

И даже если она больше, то вот вам другой контпример: $3^3\times48=6^4$.

[dick]

1. Потому что $x_1$ больше $a_1/3$.

2. Потому что $3x_1/(a_1/3)$ больше единицы.

3. Ваш пример не годится, потому что число 63 (27+36) не является числом формы $6n+1$.

[kotenok gav]

2. Как это следует?
3. А почему оно должно им являться?

[dick]

2. Я писал: Даже если принять $zy=x_1^2$, для первого выражения получим:
$3(x_1/(a_1/3))^2-3(x_1/(a_1/3))$
Здесь "первое выражение" это заведомо уменьшенная четная скобка.
А $3x_1/(a_1/3)$ это отношение сокращенного первого выражения к сокращенной второй скобке (сокращали на $a_1/3$).
Из того что это отношение больше единицы, следует что четная(первая) скобка больше нечетной.

3. Потому что это $x_1$.

[kotenok gav]

2. Окей, принял.
3. Окей, другой контрпример: $5^3\times20=50^2$.

[dick]

20 меньше чем $5^3$.