2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Дополнение к основным правилам форума:
Любые попытки доказательства сначала должны быть явно выписаны для случая n=3



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 19  След.
 
 Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.
Сообщение17.10.2019, 23:11 


17/06/18
196
Доказать что уравнение: $x^n+y^n=z^n$ (1), не имеет решений для натуральных $n>2$ и натуральных, взаимно простых $x, y, z$.
Предположим, что имеются натуральные, взаимно простые $x,y,z$, удовлетворяющие условию (1) для $n=3$, причем $x,z$ –нечетные, а $y$-четное число.
Пусть $y=x+k_1$, $z=x+k_2$ , где $k_1,k_2$ - натуральные числа.
Тогда: $(x +k_2)^3 - (x +k_1)^3= x^3$ ;
Или: $x^3 - 3( k_2 - k_1)x^2 - 3(k_2^2 - k_1^2)x - (k_2^3 - k_1^3) = 0$ (2);
Равенство (2) представляет собой приведенное уравнение третьей степени с целыми коэффициентами.
В общем виде приведенное уравнение третьей степени с целыми коэффициентами, имеющее корень, может быть записано так:
$(x-x_1)^3+a_1(x-x_1)^2+a_2(x-x_1)=0$ (3);
Где $a_1,a_2,x_1$- натуральные числа, причем $x_1$ – корень уравнения.
Раскрывая скобки, получим:
$x^3-(3x_1-a_1)x^2+(3x_1^2-2a_1x_1+a_2)x-(x_1^3-a_1x_1^2+a_2x_1)=0$ или
$x^3-(3x_1-a_1)x^2-(2a_1x_1-3x_1^2-a_2)x-(x_1^3-a_1x_1^2+a_2x_1)=0$ (4);
Уравнение (2) имеет корень, если является частным случаем (4), то есть, при некоторых условиях все коэффициенты (2) и (4) равны.
Выясним эти условия, приравнивая коэффициенты:
$(k_2 - k_1)=x_1-a_1/3$ (5.1); $(k_2^2 - k_1^2)=2a_1x_1/3-x_1^2-a_2/3$ (5.2);
$(k_2^3 - k_1^3)=x_1^3-a_1x_1^2+a_2x_1$ (5.3).
Заметим, что поскольку $x_1$, $(k_2 - k_1)$, $(k_2^2 - k_1^2)$ числа нечетные, $a_1$ и $a_2$ – четные числа и следовательно, $a_1$ и $a_2$ делятся на 6.
Далее, для (5.2): $(k_2 + k_1)= (2a_1x_1/3-x_1^2-a_2/3)/(x_1-a_1/3)$ (6.1).
После деления уголком находим остаток не содержащий $x_1$: $a_1^2/9-a_2/3$ (6.2).
Для (5.3): $(k_2^2+k_1k_2+ k_1^2)=(x_1^3-a_1x_1^2+a_2x_1)/(x_1-a_1/3)$ (6.3).
Соответствующий условный остаток будет: $2a_1^3/27-a_1a_2/3$ (6.4).
Поскольку (6.2) и (6.4) должны делиться нацело на $(x_1-a_1/3)$, получим:
$a_2=3a_1^2/9-3A(x_1-a_1/3)$ (6.5); $a_2=2a_1^2/9-3B(x_1-a_1/3)/a_1$ (6.6), где $A,B$ четные.
Тогда: $(x_1-a_1/3)(3A-3B/a_1)=a_1^2/9=(a_1/3)^2$ (7).
Из (5.1) следует, что $x_1+c=k_2$ , $(a_1/3+c)=k_1$ (5.1.1) или $x_1-c=k_2$ , $(a_1/3-c)=k_1$ (5.1.2).
Где $c$ – натуральное нечетное число, не имеющее общих множителей с $x_1$.
Пользуясь (5.1.1), запишем (5.3) относительно $a_2$:
$a_2=((k_2^3 - k_1^3)-x_1^3+a_1x_1^2)/x_1$ $=$
$3ck_2+a_1x_1-(a_1/3)^3/x_1-3c(a_1/3)^2/x_1-3c^2(a_1/3)/x_1$ (10);
Левая часть (10) и все слагаемые правой части, кроме третьего делятся на 6, следовательно, $a_1/3$ кратно 6 и наименьшее $a_1/3$ равно 6.
Поскольку $x_1-a_1/3$ число нечетное, а $a_1/3$- четное, $x_1-a_1/3$ и $3(A-B/a_1)$ из (7) являются квадратами.
Учитывая, что $3(A-B/a_1)$ четный квадрат, его наименьшее значение 36, что соответствует наименьшему значению $(a_1/3)^2$.
В этом случае $x_1-a_1/3=k_2 - k_1=z-y=1^2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.
Сообщение25.10.2019, 16:28 


19/04/14
321
dick в сообщении #1421337 писал(а):
следовательно, $a_1/3$ кратно 6 и наименьшее $a_1/3$ равно 6.

Уважаемый dick
Не видно доква, что наименьшее значение $a_1/3$ определяет наименьшую тройку решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.
Сообщение25.10.2019, 21:19 


17/06/18
196
Если под тройкой решения вы понимаете $x_1$,$a_1$,$a_2$ то одно лишь $a_1$ тройку не определяет. Кроме того, полная тройка означала бы опровержение ВТФ, а я пытаюсь ее доказать. Об $x_1$ будет во второй части.
Но может быть вы имели ввиду что то другое?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.
Сообщение26.10.2019, 07:50 


19/04/14
321
Тройка решения $x_1,(x_1+k_1), (x_1+k_2)$ определяется из равенства $(x +k_2)^3 - (x +k_1)^3= x^3$ (равно так равно).
Левая часть уравнения третьей степени (3) при $x=x_1$ обращается в нуль при любых значениях $a_1,a_2$. Поэтому и возникает вопрос,- а как эти коэффициенты связаны с минимальным решением, которое определяется минимальным значением $x_1+k_2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.
Сообщение26.10.2019, 10:57 


17/06/18
196
Я для того и привел уравнение (3) и уравнение $(x+k_2)^3-(x+k_1)^3=x^3$ (без номера) к виду (4) и (2) ,соответственно, что бы увидеть эту связь. Или в преобразованиях ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.
Сообщение27.10.2019, 08:17 


19/04/14
321
Как раз эта связь и не видна. Не показано с какого момента при изменении $a_1$ станет не возможным решение в натуральных числах, а будут решения только иррациональные, которые всегда существуют для уравнений (1), (3). Этот момент совсем не означает, что при этом $a_1/3=6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.
Сообщение27.10.2019, 13:27 


17/06/18
196
Боюсь, я вас не понимаю. Не могли бы вы взять какой нибудь отрывок моего текста и показать на нем проблему иррациональности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.
Сообщение27.10.2019, 21:59 


19/04/14
321
Как раз в тексте это отсутствует. Должно быть доказано утверждение,- если существует натуральное решение ($x_1\in N$), то оно существует и при минимальном значении коэффициента $a_1/3$. А из этого и следовала бы справедливость Вашего вывода, что в этом случае $z-y=1$.
А так Вы сделали только анализ соотношений коэффициентов преобразованного уравнения Ферма и кубического уравнения в общем виде.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.
Сообщение28.10.2019, 21:00 


17/06/18
196
Теперь понятно. Но почему вы решили, что $x_1$ , каким бы оно ни было, должно составлять пару именно минимальному $a_1/3$?
Достаточно взять коэффициенты (4) и заметить, что они являются положительными числами, поскольку $k_2>k_1$, что бы получить:
$a_1/2>x_1>a_1/3$ (8.1) и $3x_1^2>a_2>x_1^2$ (8.2).
И $x_1=7$ является единственной парой для полюбившегося вам $a_1/3=6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.
Сообщение29.10.2019, 20:19 


19/04/14
321
dick в сообщении #1422802 писал(а):
Достаточно взять коэффициенты (4) и заметить, что они являются положительными числами, поскольку $k_2>k_1$, что бы получить:
$a_1/2>x_1>a_1/3$ (8.1) и $3x_1^2>a_2>x_1^2$ (8.2).
И $x_1=7$ является единственной парой для полюбившегося вам $a_1/3=6$.

$x_1$ является корнем частного случая уравнения (4), когда его коэффициенты равны коэффициентам уравнения (2). Неравенства (8.1), (8.2) показывают соотношение чисел, но не определяют $x_1$ как натуральное число. В противном случае это сразу бы опровергло Теорему Ферма.
dick, Всё!

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.
Сообщение29.03.2020, 13:10 


21/05/16
4157
Аделаида
dick в сообщении #1421337 писал(а):
Далее, для (5.2): $(k_2 + k_1)= (2a_1x_1/3-x_1^2-a_2/3)/(x_1-a_1/3)$ (6.1).
После деления уголком находим остаток не содержащий $х_1$: $a_1^2/9-a_2/3$ (6.2).

Подробней, пожалуйста.

-- 29 мар 2020, 20:42 --

Но, кажется, я уже вижу ошибку.
dick в сообщении #1421337 писал(а):
Учитывая, что $3(A-B/a_1)$ четный квадрат, его наименьшее значение 36, что соответствует наименьшему значению $(a_1/3)^2$.
В этом случае $x_1-a_1/3=k_2 - k_1=z-y=1^2$.

Видите ее?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.
Сообщение29.03.2020, 14:21 


17/06/18
196
Может быть Вы имеете ввиду, что должно быть $3(B/a_1-A)$, а не $3(A-B/a_1)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.
Сообщение29.03.2020, 16:49 


21/05/16
4157
Аделаида
Нет. Вот смотрите, для примера, "доказательство ВТФ" с такой ошибкой:

Пусть $x^n+y^n=z^n$. Так как x, y и z натуральные, их наименьшие значения равны 1. Так как $1^n+1^n\ne1^n$, ВТФ верна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.
Сообщение29.03.2020, 17:18 


17/06/18
196
Не вижу связи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Доказательство ВТФ для n=3.Часть 1.
Сообщение29.03.2020, 17:29 


21/05/16
4157
Аделаида
Я про наименьшие значения. Вы не можете говорить, что значения будут наименьшими.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 278 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5 ... 19  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group