Функциональный анализ в квантовой механике

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1463055 писал(а):

ля того, чтобы частица при любой, сколь угодно большой энергии разворачивалась, надо коэффициент при дельта-функции бесконечность!!!

Так ведь множитель Лагранжа это не мировая константа. Он получается в ходе решения задачи и будет содержать модуль скорости (квадрат скорости в этой задаче - интеграл движения) поэтому он будет нужным образом расти с ростом кинетической энергии частицы в яме. "Мой" лагранжиан говорит о том, что на границах происходит удар. Параметры этого удара подбираются так, что бы частица отскакивала с нужной скоростью.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1463078 писал(а):

Так ведь множитель Лагранжа это не мировая константа. Он получается в ходе решения задачи и будет содержать модуль скорости

что-то странное началось

[physicsworks]

Alex-Yu в сообщении #1463065 писал(а):

Вообще в КТП (хотя там все намного-намного сложнее) аналогичные вещи (перенормируемость) доказывают. Впрочем, с точки зрения чистой математики не строго.

уже строго, начиная с работ Вильсона и потом Полчинского. Беда в том, что даже не все физики работающие со СМ эти вещи полностью понимают, хотя они уже давно входят в стандартные курсы КТП, не то, что математики.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1463082 писал(а):

что-то странное началось

Заруба была на тему можно ли написать функцию Лагранжа для классической частицы в яме с бесконечными стенками. Ваш покорный слуга предложил такой трюк. Напишем условие связи $\theta(x)-\theta(x-1)=1.$ Тогда функция Лагранжа будет

$$L=\frac{\dot{x}^2}{2}+\lambda(\theta(x)-\theta(x-1))$$

отсюда все остальное.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1463078 писал(а):

Так ведь множитель Лагранжа это не мировая константа.

При известной изощренности можно обосновать что угодно Даже 2х2=7.

-- Сб май 16, 2020 01:54:36 --

amon в сообщении #1463085 писал(а):

Ваш покорный слуга предложил такой трюк.

Интересно, а как вы собираетесь кантовать такой "условный" лагранжиан? Может как-то и можно... Какие-нибудь вариации на тему Дирака...

-- Сб май 16, 2020 01:59:58 --

amon в сообщении #1463078 писал(а):

будет содержать модуль скорости (

А, определяя канонический импульс (как без этого при квантовании), вы лагранжев множитель дифференцировать собираетесь? Если да, то почему. Если нет, то тоже почему.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1463087 писал(а):

При известной изощренности можно обосновать что угодно Даже 2х2=7.

Это не ко мне, это к математикам.

Alex-Yu в сообщении #1463087 писал(а):

Интересно, а как вы собираетесь квантовать такой "условный" лагранжиан?

А вот это хороший вопрос. Похоже, что это альтернативный способ написать Фейнмановский интеграл в квантовой механике на компактном многообразии а-ля Фаддеев-Попов. Как-то раньше об этом не задумывался.

Alex-Yu в сообщении #1463087 писал(а):

А, определяя канонический импульс (как без этого при квантовании), вы лагранжев множитель дифференцировать собираетесь?

Пока не собираюсь, но могут переубедить ;) IMHO, множитель Лагранжа может зависеть от времени, начальных условий, но не от канонических координат. Поэтому дифференцировать его не надо, и в импульсе он возникнет только в случае если связь явно зависит от скоростей.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1463164 писал(а):

то не ко мне, это к математикам.Alex-Yu в сообщении #1463087

писал(а):
Интересно, а как вы собираетесь квантовать такой "условный" лагранжиан? А вот это хороший вопрос

Вообще-то вся эта затея возникла в контексте именно квантовой теории. Из вопроса, что есть оператор импульса для такой квантовой системы. Математики говорят, что производная (с известными уточнениями на счет области определения). Для меня это неубедительно. Было бы более убедительно, если бы это получилось из квантования классического лагранжиана. Вы некий такой (хотя и очень странный) лагранжиан придумали. Я отнюдь не уверен, что он на столько хорош, что его можно проквантовать. Ну мало ли что он правильные траектории дает (и то не все сразу, для каждой надо параметр подбирать свой).

-- Сб май 16, 2020 19:42:33 --

amon в сообщении #1463164 писал(а):

это альтернативный способ написать Фейнмановский интеграл в квантовой механике на компактном многообразии а-ля Фаддеев-Попов.

Ну для этого не обязательно такой сингулярный случай рассматривать. Можно взять кольцо. Импульс -- это угловой момент. Вроде, никаких особых проблем. И гамильтониан прекрасно на соответствующих функциях (дискретное множество комплексных экспонент) определяется.

Лет так 30 назад я развлекался подобными вещами. Но для "честного" ротатора, движение по сфере (еще и с внешним моментом силы, зависящем от времени). Сейчас уже все забыл, к сожалению. Помню ( и то не уверен и лишь в общих чертах) только ответ в квазиклассическом приближении: амплитуда перехода между разными $L \to L'$ это бессель $J_{L-L'}$ от фурье от момента силы. Но делал я не по Фаддееву-Попову (по Ф-П, вроде, делали в питерском универе). Я устроил производящую функцию для матричных элементов (она уже была на тривиальном многообразии), потом построил континуальный интеграл для этой производящей функции, потом уже устроил квазиклассику для этого конт. интеграла. Если правильно помню, нечто слегка похожее (до квазиклассики) на то, что в книжке Славнова-Фаддеева называется голоморфным представлением для осциллятора. Производящую функцию они там символом оператора, вроде бы, называют. В общих чертах что-то такое.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1463179 писал(а):

Можно взять кольцо.

Про кольцо я тоже сообразил. Там вроде все просто - два осциллятора и связь, но в уме не получается. Возьму бумажку, напишу, если что короткое выйдет - выложу здесь.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1463085 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1463082 писал(а):

что-то странное началось

Заруба была на тему можно ли написать функцию Лагранжа для классической частицы в яме с бесконечными стенками. Ваш покорный слуга предложил такой трюк. Напишем условие связи $\theta(x)-\theta(x-1)=1.$ Тогда функция Лагранжа будет

$$L=\frac{\dot{x}^2}{2}+\lambda(\theta(x)-\theta(x-1))$$

отсюда все остальное.

пожалуй вы правы, все таки связь а не потенциал и $\lambda$ зависит от скорости

[Theoristos]

Alex-Yu в сообщении #1462629 писал(а):

Как это... Я измерил импульс, потом начал измерять энергию.

Простите, а почему вы думаете, что измерили именно импульс?

-- Сб май 30, 2020 19:03:26 --

Alex-Yu в сообщении #1462901 писал(а):

$$ \sum | k \rangle k^2 \langle k | \to \sum | k \rangle \frac{k^2}{1+(k/\lambda)^2} \langle k | $$

А что тут, собственно, понимается под $| k \rangle $?

[Fizykochemik]

Alex-Yu в сообщении #1462246 писал(а):

Одного такого физика я могу вам предоставить, это я Конечно, формально классическая механика -- часть физики. Но по нынешним временам это физически бессодержательная часть физики. Все там понятно, никаких хоть сколь-нибудь нерешенных физических проблем там нет.

Т.е. то чем занимается целое отделение механики Мехмата бессодержательно с точки зрения физики? Мне кажется мы привыкли, что современная физика, это только квантовая физика,
а ведь это не совсем верно. В классической механике есть ряд нерешенных задач, напр. турбулентность, work hardening и т.д. Или Вы считаете что это больше математическая проблема?
Мне кажется тут нужны именно физические теории. Насчет классической механики всё не просто ещё по другой причине. Тут присутствующие "американцы" это подтвердят. В Северной Америке механикой занимаются на Mechanical Engineering, т.е. примерно то чему учат в Бауманке или другом политехе. Поэтому наши мехматовские механики попадая в эту среду чувствуют себя не совсем комфортно, хотя их ценят за их высокий математический уровень. Чистая математическая механика там никому не нужна, им подавай CFD (computational fluid dynamics) или что-то подобное автомобильно-самолётное.

Red_Herring в сообщении #1462342 писал(а):

Про второй я ничего сказать не могу (т.к. не знаю, что это такое). Что касается первого, то, очевидно, имеется в виду симметрический, но не самосопряженный оператор $-i \partial_x$ с областью определения $\mathfrak{D}=\{ u\colon u'\in L^2,\ u(0)=u(1)=0\}$. Действительно, оба его индекса дефекта $=1$ и поэтому он имеет однопараметрическое семейство самосопряженных расширений с областями определения...

Вспоминаю лекции по функану на ФФ МГУ. Так вот наш преподаватель утверждал, что невозможно понять квантовую механику (КМ) без понятия интеграла Лебега, а то, что делают преподаватели на общефакультетском курсе КМ это танцы с бубном, ибо большинство физиков не знает что такое $ L^2$. В области в которой я работаю, квантовая химия, т.е. решение электронного уравнения Шрёдингера, и теоретическая молекулярная спектроскопия, т.е. решение ядерного уравнения Шрёдингера, 90% в страшном сне не слышали про интеграл Лебега, и, что интересно, прекрасно себя чувствуют, получают гранты и публикуются в ведущих журналах. Понимают ли они основы квантовой механики, не уверен, но это не мешает им выводить зубодробительные формулы напр. теории связанных кластеров (сoupled clusters).

Обратите внимание, что я не использую профессиональных сокращений в своем посте, чтобы другие участники не ломали голову и не лезли в гугл . А если использую, то объясняю их.

[pogulyat_vyshel]

Fizykochemik в сообщении #1477621 писал(а):

Поэтому наши мехматовские механики попадая в эту среду чувствуют себя не совсем комфортно

мехматовские механики делятся по крайней мере на две категории: одни занимаются динамическими системами, другие прикладными вопросами. Первые вполне комфортно чувствуют себя в сообществах по динамическим системам\дифференциальным уравнениям и в инженерную среду не лезут.

-- 06.08.2020, 13:55 --

Fizykochemik в сообщении #1477621 писал(а):

на Mechanical Engineering

Кстати вполне теоретические работы по динамике скейт-борда хорошо оплачивают фирмы производители. Границы бывают весьма условны.

[Red_Herring]

Fizykochemik в сообщении #1477621 писал(а):

невозможно понять квантовую механику (КМ) без понятия интеграла Лебега, а то, что делают преподаватели на общефакультетском курсе КМ это танцы с бубном, ибо большинство физиков не знает что такое $ L^2$

В принципе, можно ввесри $ L^2$ без интеграла Лебега, через замыкание пополнение, но это будет "одноногий" подход

[pogulyat_vyshel]

Red_Herring в сообщении #1477659 писал(а):

через замыкание

через пополнение

[Eule_A]

(Оффтоп)

Fizykochemik в сообщении #1477621 писал(а):

Так вот наш преподаватель утверждал, что невозможно понять квантовую механику (КМ) без понятия интеграла Лебега

Всё-таки до чего мило, когда математики начинают указывать физикам, как понимать физику... Каждый раз, когда с этим сталкивался в жизни, в конце концов оказывалось, что под физикой математики подразумевали нечто другое, к физике имеющее в лучшем случае косвенное отношение.
Механику уже испортили так. Видимо, квантовая механика тоже близится к этому состоянию. К сожалению.