Функциональный анализ в квантовой механике

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462625 писал(а):

Но это означает, что такое состояние в пространстве состояний есть.

Да.

Alex-Yu в сообщении #1462625 писал(а):

И все квантомеханические операторы в т.ч. на нем должны быть определены.

Вообще говоря, не обязательно.

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1462623 писал(а):

что какой-то интеграл расходится.

Немного в сторону, но кстати. Меня всегда удивляло то, что математики всегда берут сходимость в каком-нибудь наперед заданном смысле. Не сходится и на этом все заканчивается. Вместо того, чтобы поискать а в каком смысле сходится. Вон в антидискретной топологии сходится вообще все, что угодно Хотя я и не предлагаю, конечно, брать столь вырожденный случай.

-- Чт май 14, 2020 15:58:22 --

g______d в сообщении #1462628 писал(а):

Вообще говоря, не обязательно.

Как это... Я измерил импульс, потом начал измерять энергию. Если состояние, полученное при измерении импульса, не лежит в области определения гамильтониана, то измерить энергию вообще не возможно. Что есть нонсенс.

Для того, чтобы это был самосопряженный оператор, не обязательно. С этим никто и не спорит. Но вот для того, чтобы этот оператор был квантовомеханическим -- обязательно.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1462629 писал(а):

Я измерил импульс, потом начал измерять энергию.

Вы пытаетесь применить физические аргументы в идеализированной математической модели бесконечно высоких стенок. Сделайте их чуть пониже (очень высокими, но не бесконечно высокими) и будет все нормально.

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #1462632 писал(а):

Сделайте их чуть пониже (очень высокими, но не бесконечно высокими) и будет все нормально.

Ну это я с самого начала догадывался

[g______d]

Alex-Yu в сообщении #1462629 писал(а):

Если состояние, полученное при измерении импульса, не лежит в области определения гамильтониана, то измерить энергию вообще не возможно.

Почему не возможно? Возможно. Просто мат. ожидание может оказаться бесконечным. А каждое конкретное измерение даст конечный результат.

Alex-Yu в сообщении #1462629 писал(а):

Меня всегда удивляло то, что математики всегда берут сходимость в каком-нибудь наперед заданном смысле. Не сходится и на этом все заканчивается.

Если сходимость условная, то что-то можно обсуждать. Но типичная ситуация в данном случае — это когда сумма положительных слагаемых равна бесконечности, с этим особенно ничего не поделать. Другими словами, результат применения оператора имеет какой-то смысл, но гильбертову пространству не принадлежит по причине бесконечности нормы. Что и означает, что изначальное состояние не принадлежит области определения оператора. Но с этим вполне можно жить, а альтернативы хуже.

Лично я вообще в последнее время работаю только с tight binding моделями, в которых все операторы везде определены...

[Alex-Yu]

g______d в сообщении #1462640 писал(а):

Почему не возможно? Возможно.

Что-то я усомнился в утверждении, что области определения всех операторов должны быть одинаковы. Возможно (?) достаточно лишь того, чтобы замыкания этих областей определения были одинаковы. Так пойдет?

А если пойдет, то тогда можно вернуться к яме и задать вопрос: совпадает ли замыкание области определения самосопряженного расширения оператора $i\partial_x$, обсужденной выше, с замыканием пространства рядов $\sum_n c_n \sin 2\pi n$?

-- Чт май 14, 2020 17:23:07 --

Red_Herring в сообщении #1462342 писал(а):

не самосопряженный оператор $-i \partial_x$ с областью определения $\mathfrak{D}=\{ u\colon u'\in L^2,\ u(0)=u(1)=0\}$. Действительно, оба его индекса дефекта $=1$ и поэтому он имеет однопараметрическое семейство самосопряженных расширений с облатями определения $\mathfrak{D}_k=\{ u\colon u'\in L^2,\ u(1)=e^{ik}u(0)\}$, $k\in [0,2\pi)$. И у них то и будут с.з. и с.ф. и все пучком

Для всех ли $k$ замыкание $\mathfrak{D}=\{ u\colon u'\in L^2,\ u(0)=u(1)=0\}$ совпадает с замыканием $\mathfrak{D}_k=\{ u\colon u'\in L^2,\ u(1)=e^{ik}u(0)\}$, $k\in [0,2\pi)$ ? Если, конечно, хоть при каком-то совпадает.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1462657 писал(а):

Для всех ли замыкание $\mathfrak{D}=\{ u\colon u'\in L^2,\ u(0)=u(1)=0\}$ совпадает ... ?

Разумеется, если речь идет о замыкании в $L^2$ (области то плотны в $L^2$).

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #1462672 писал(а):

Разумеется, если речь идет о замыкании в $L^2$ (области то плотны в $L^2$).

ОК. Вроде этого достаточно для физической осмысленности КМ. Хотя я еще подумаю. Теперь бы понять, что такое оператор импульса на конечном отрезке. $i\partial_x$ (с учетом расширения области определения)? Не очевидно! Отнюдь. А потом, даже если так, то какой из семейства?

И все же интуитивно это странно. Берем множество функций. Добавляем в него дополнительные функции. А замыкание от такой добавки не меняется. В некотором смысле получается, что мы вообще ничего не добавили. Так может быть только если мы добавили предельные точки исходного множества. А зачем их тогда добавлять... Несимпатично это все как-то, есть в этом какое-то излишество Может лучше как-нибудь иначе? Например, самосопряженность чем-нибудь другим заменить?

Между прочем, если гамильтониан $H$ еще можно (предположительно) определить не на всем пространстве состояний, а только на плотном в нем множестве, то $e^{iHt}$ должен быть определен именно на всем пространстве. Иначе будут состояния, у которых не определена динамика. Что физически есть нонсенс. Это кстати означает, что экспоненту нельзя определять через ряд. У ряда, очевидно, такая же область определения как у гамильтониана.

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1462686 писал(а):

Между прочем, если гамильтониан $H$ еще можно (предположительно) определить не на всем пространстве состояний, а только на плотном в нем множестве, то $e^{iHt}$ должен быть определен именно на всем пространстве. Иначе будет состояния, у которых не определена динамика. Что физически есть нонсенс.

Ну разумеется, поскольку $e^{iHt}$ ограниченный оператор. Но $\lim_{t\to 0}t^{-1}\bigl(e^{iHt}-I\bigr)$ существует только на области определения $H$.

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #1462689 писал(а):

Ну разумеется, поскольку $e^{iHt}$ ограниченный оператор.

А как определить эту экспоненту? Через соответствующее гамильтониану спектральное разложение?

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1462690 писал(а):

А как определить эту экспоненту? Через соответствующее гамильтониану спектральное разложение?

Именно так

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #1462693 писал(а):

Именно так

Забавно, что в детстве у меня вызывало глубочайший интуитивный протест определение этого оператора эволюции через ряд (как обычно принято в физике). Я не понимал в чем дело, но протест был. Определение экспоненты через спектр меня удовлетворило

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1462694 писал(а):

Забавно, что в детстве у меня вызывало глубочайший интуитивный протест определение этого оператора эволюции через ряд (как обычно принято в физике).

Определение через ряд вполне осмысленно для ограниченных (но необязательно самосопряженных) операторов. А вот для неограниченных область сходимости этого ряда весьма мала. Например, для $\frac{d^2}{dx^2}$ на отрезке с нулевыми условиями Дирихле туда попадут лишь функции, т.ч. $|f^{(n)}|\le C^{n+1} \sqrt{n!}$ для их нечетных периодических продолжений (т.е. даже аналитичности будет недостаточно!)

[Alex-Yu]

Red_Herring в сообщении #1462695 писал(а):

Определение через ряд вполне осмысленно для ограниченных (но необязательно самосопряженных) операторов.

Ну, для ограниченных... Ладно, бог с ним. Меня сейчас другое занимает. А откуда взялось требование, что квантовомеханический оператор должен быть самосопряженным??? Физически ясно, что для него должно быть спектральное представление. Также ясно, что спектр должен быть действительным. Но означает ли это, что он обязательно должен быть самосопряженным в строгом смысле?

[Red_Herring]

Alex-Yu в сообщении #1462702 писал(а):

А откуда взялось требование, что квантовомеханический оператор должен быть самосопряженным??? Физически ясно, что для него должно быть спектральное представление. Также ясно, что спектр должен быть действительным. Но означает ли это, что он должен быть самосопряженным в строгом смысле?

Если потребовать дополнительно, ортогональность спектральных проекторов, то оператор д.б. существенно с.с.