2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение30.04.2020, 03:30 


02/11/11
1265
Любопытно стало проверить законы сохранения энергии-импульса и момента импульса в метриках Керра и Керра-Ньюмана, следуя п. 96 ЛЛ2. Считать псевдотензор энергии-импулься гравитационного поля в координатах Бойера-Линдквиста бессмысленно, т.к. они не переходят на бесконечности в лоренцевы. Поэтому сделаем сугубо пространственное преобразование метрики Керра-Ньюмана из координат Бойера-Линдквиста в декартовы, связь между которыми задана соотношениями:
$x = \sqrt{r^2 + a^2} \sin(\theta) \cos(\varphi)$
$y = \sqrt{r^2 + a^2} \sin(\theta) \sin(\varphi)$
$z = r \cos(\theta)$

Или если выразить через $r,\theta,\varphi$:
$r=\frac {\sqrt {-2\,{a}^{2}+2\,{x}^{2}+2\,{y}^{2}+2\,{z}^{2}+2\,\sqrt {{a}
^{4}-2\,{a}^{2}{x}^{2}-2\,{a}^{2}{y}^{2}+2\,{a}^{2}{z}^{2}+{x}^{4}+2\,
{x}^{2}{y}^{2}+2\,{x}^{2}{z}^{2}+{y}^{4}+2\,{y}^{2}{z}^{2}+{z}^{4}}}}{2}
$
$\theta=\arccos \left( {\frac {2\,z}{\sqrt {-2\,{a}^{2}+2\,{x}^{2}+2\,{y}^{2}+
2\,{z}^{2}+2\,\sqrt {{a}^{4}-2\,{a}^{2}{x}^{2}-2\,{a}^{2}{y}^{2}+2\,{a
}^{2}{z}^{2}+{x}^{4}+2\,{x}^{2}{y}^{2}+2\,{x}^{2}{z}^{2}+{y}^{4}+2\,{y
}^{2}{z}^{2}+{z}^{4}}}}} \right) 
$
$\varphi=\arctg(y,x)$
$r$ здесь - один из положительных корней уравнения ${\frac {{x}^{2}+{y}^{2}}{{r}^{2}+{a}^{2}}}+{\frac {{z}^{2}}{{r}^{2}}}=
1
$, переходящий при $a=0$ в $\sqrt{x^2 + y^2+z^2}$.

Полученная форма метрики Керра-Ньюмана в декартовых координатах очень громоздкая. Но ненулевые компоненты метрического тензора можно записать через $r,\theta,\varphi$:
$\\
g_{tt}=1-{\frac {2\,m\,r}{{r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) 
 \right) ^{2}}}+{\frac {{e}^{2}}{{r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( 
\theta \right)  \right) ^{2}}}, \\
g_{tx}={\frac {\sin \left( 
\theta \right) \sin \left( \varphi \right) a \left( {e}^{2}-2\,m\,r
 \right) }{\sqrt {{a}^{2}+{r}^{2}} \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos
 \left( \theta \right)  \right) ^{2} \right) }}, \\
g_{ty}=-{\frac {\sin
 \left( \theta \right) \cos \left( \varphi \right) a \left( {e}^{2}-2\,m\,r
 \right) }{\sqrt {{a}^{2}+{r}^{2}} \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos
 \left( \theta \right)  \right) ^{2} \right) }}, \\
g_{xx}={\frac { \left(  \left( {a}^{4}+ \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) {a}^{2}-
{r}^{4} \right)  \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right)  \left( \cos \left( \varphi
 \right)  \right) ^{2}-{a}^{2} \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2}
 \right) ^{2} \right)  \left( \cos \left( \theta \right)  \right) ^{2}
}{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right)  \right) ^
{2} \right)  \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right)  \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2
\,mr+{r}^{2} \right) }}+ \\
{\frac {- \left( {a}^{4}+ \left( {e}^{2}-2\,m\,r
 \right) {a}^{2}-{r}^{4} \right)  \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) 
 \left( \cos \left( \varphi \right)  \right) ^{2}+ \left(  \left( {e}^{2}
-2\,m\,r-{r}^{2} \right) {a}^{2}-{r}^{4} \right)  \left( {a}^{2}+{e}^{2}
-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( 
\theta \right)  \right) ^{2} \right)  \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right) 
 \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}, \\
g_{xy}=-{\frac { \left( \sin \left( \theta \right)  \right) ^{2}\sin
 \left( \varphi \right)  \left( {a}^{4}+ \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) {a}
^{2}-{r}^{4} \right)  \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) \cos \left( \varphi
 \right) }{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) 
 \right) ^{2} \right)  \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right)  \left( {a}^{2}+
{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}, \\
g_{xz}={\frac {\sqrt {{a}^{2}+{r}^{2}}
r \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) \cos \left( \varphi \right) \cos \left( 
\theta \right) \sin \left( \theta \right) }{ \left( {r}^{2}+{a}^{2}
 \left( \cos \left( \theta \right)  \right) ^{2} \right)  \left( {a}^{
2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}, \\
g_{yy}={\frac { \left( - \left( {a}^{4}+{a}^{2}{e}^{2}-2\,{a}^{2}mr-{r}^{4}
 \right)  \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right)  \left( \cos \left( \varphi
 \right)  \right) ^{2}- \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right) ^{2} \left( {a}
^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r \right)  \right)  \left( \cos \left( \theta
 \right)  \right) ^{2}}{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( 
\theta \right)  \right) ^{2} \right)  \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right) 
 \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}+ \\
{\frac { \left( {a}^{
4}+{a}^{2}{e}^{2}-2\,{a}^{2}mr-{r}^{4} \right)  \left( {e}^{2}-2\,m\,r
 \right)  \left( \cos \left( \varphi \right)  \right) ^{2}-{r}^{2}
 \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right) ^{2}}{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( 
\cos \left( \theta \right)  \right) ^{2} \right)  \left( {a}^{2}+{r}^{
2} \right)  \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}, \\
g_{yz}={\frac {\sqrt {
{a}^{2}+{r}^{2}}r \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) \sin \left( \varphi
 \right) \cos \left( \theta \right) \sin \left( \theta \right) }{
 \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right)  \right) ^{2
} \right)  \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}, \\
g_{zz}={
\frac { \left( -2\,m{r}^{3}+ \left( -{a}^{2}+{e}^{2} \right) {r}^{2}-{
a}^{4} \right)  \left( \cos \left( \theta \right)  \right) ^{2}-
 \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) {r}^{2}}{ \left( {r}^{2}
+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right)  \right) ^{2} \right) 
 \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}.
$
Юниты здесь геометрические, $m$ - масса, $a$ - момент импульса на единицу массы, $e$ - заряд, $r,\theta,\varphi$ - теперь не координаты, а просто обозначения. Несмотря на то, что метрика записана через декартовы координаты, это не координаты Керра-Шильда. Хоть эта форма метрики Керра-Ньюмана и тривиальна, я ее не встречал в литературе, так что можете называть ее моей. :-)
При $e=0$ она переходит в метрику Керра, при $a=0$ - в метрику Райсснера-Нордстрема, при $e=0,\,a=0$ в метрику Шварцшильда.

Детерминант этой формы равен $-1$, координаты на бесконечности переходят в лоренцевы. Любопытно, но ожидаемо, что расчет по формулам (96.16) и (96.17) ЛЛ2 для метрик Керра и Керра-Ньюмана дает одинаковый результат, несмотря на то, что первая - вакуумная метрика с нулевым тензором энергии-импульса, а вторая имеет ненулевой тензор энергии-импульса и кроме гравитационного поля содержит также электромагнитное поле.
В итоге единственная ненулевая компонента 4-импульса:
$P^t=m$
и две ненулевые компоненты 4-момента импульса:
$M^{xy}=-M^{yx}=m\,a$

Скрипт на Maple

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение30.04.2020, 04:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
KVV в сообщении #1459080 писал(а):
Считать псевдотензор энергии-импулься гравитационного поля в координатах Бойера-Линдквиста
бессмысленно, т.к. они не переходят на бесконечности в лоренцевы. Поэтому сделаем сугубо пространственное преобразование метрики Керра-Ньюмана из координат Бойера-Линдквиста в декартовы

По роковому стечению обстоятельств псевдотензор не инвариантен при таких заменах, поэтому подобными действиями можно получить буквально какой угодно результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение30.04.2020, 04:20 


02/11/11
1265
Утундрий в сообщении #1459084 писал(а):
KVV в сообщении #1459080 писал(а):
Считать псевдотензор энергии-импулься гравитационного поля в координатах Бойера-Линдквиста
бессмысленно, т.к. они не переходят на бесконечности в лоренцевы. Поэтому сделаем сугубо пространственное преобразование метрики Керра-Ньюмана из координат Бойера-Линдквиста в декартовы

По роковому стечению обстоятельств псевдотензор не инвариантен при таких заменах, поэтому подобными действиями можно получить буквально какой угодно результат.

Псевдотензоров бояться - в ОТО не ходить.

Вроде в декартовых нормально получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение30.04.2020, 04:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Я только отметил, что подобная деятельность вряд ли имеет смысл. Хотя, как упражнение, это полезно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение30.04.2020, 13:14 


02/11/11
1265
Утундрий в сообщении #1459089 писал(а):
Я только отметил, что подобная деятельность вряд ли имеет смысл. Хотя, как упражнение, это полезно.

В соответствии с классическими учебниками. Ни больше, ни меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение30.04.2020, 13:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
KVV в сообщении #1459149 писал(а):
В соответствии с классическими учебниками.
Звучит мелодически, однако, проблема энергии в ОТО до сих пор не решена. И, по моему разумению, не псевдотензором она решится. Я как-то мало доверяю величине, которая меняется при простой перенумерации мировых линий, пусть даже её и удаётся сделать почти определённой для некоего класса решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение30.04.2020, 13:43 


02/11/11
1265
Утундрий в сообщении #1459151 писал(а):
Я как-то мало доверяю величине

Я тоже. Тем не менее, что-то тут все равно есть. Дает ведь в определенных координатах разумные значения. Кроме вышеприведенного примера, хорошо согласующаяся с наблюдениями скорость потери энергии в двойных системах. Хотя в будущем это может оказаться тривиальным совпадением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение01.05.2020, 19:54 
Аватара пользователя


10/12/11
2304
Москва
Утундрий в сообщении #1459151 писал(а):
Звучит мелодически, однако, проблема энергии в ОТО до сих пор не решена. И, по моему разумению, не псевдотензором она решится. Я как-то мало доверяю величине, которая меняется при простой перенумерации мировых линий, пусть даже её и удаётся сделать почти определённой для некоего класса решений.

Насколько я разбирался, проблемы законов сохранения в ОТО следует разделить на две части. В одном случае, если пробная частица движется в статическом поле (например в поле Шварцшильда), то законы сохранения для нее и взаимодействия с массивным телом, выполняются. А вот для динамических полей ( расширяющаяся вселенная), скорее всего нет. В рамках ОТО.
И есть вторая сторона , это энергия гравитационного поля, которая описывается псевдотензором. В задачах, где нужно учитывать
энергию гравитационных волн , или энергию поля, приходится делать расчеты с помощью данной нетензорной величины причем в гармонических координатах. И все совпадает с наблюдениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение01.05.2020, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
schekn в сообщении #1459444 писал(а):
если пробная частица движется в статическом поле...
Здесь вообще всё ясно.
schekn в сообщении #1459444 писал(а):
В задачах, где нужно учитывать
энергию гравитационных волн , или энергию поля, приходится делать расчеты с помощью данной нетензорной величины причем в гармонических координатах...
Забыли добавить, что система должна быть "островного типа". Да, после всех этих ниоткуда не следующих шаманств
schekn в сообщении #1459444 писал(а):
все совпадает с наблюдениями.
В чём же тогда проблема? В том, как регулярно получать результаты в произвольном случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение01.05.2020, 21:12 
Аватара пользователя


10/12/11
2304
Москва
Утундрий в сообщении #1459447 писал(а):
В чём же тогда проблема? В том, как регулярно получать результаты в произвольном случае.

Проблема как мне кажется (= я уверен) в противоречии метрической теории и полевой формулировки.
Как только пытаются совместить чисто геометрическую формулировку гравитационного поля и полевую
начинаются противоречия. В полевой теории или формулировки в рамках ОТО на горизонте плотность энергии бесконечна.
То есть особенность, а в геометрической - нет.
Если гравитационное поле - геометрия, то смысла нет вводить такие величины как энергия поля и прочее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение01.05.2020, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
По-моему, хвост или есть, или его нет. Это следует из классичности рассматриваемого хвоста. Так что его нужно или найти, или доказать невозможность это сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение02.05.2020, 11:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
schekn в сообщении #1459455 писал(а):
Если гравитационное поле - геометрия, то смысла нет вводить такие величины как энергия поля и прочее.
Смысл в том, чтобы отвадить изобретателей вечных двигателей, независимо от того, геометрия там или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение02.05.2020, 12:21 
Аватара пользователя


10/12/11
2304
Москва
epros в сообщении #1459533 писал(а):
schekn в сообщении #1459455 писал(а):
Если гравитационное поле - геометрия, то смысла нет вводить такие величины как энергия поля и прочее.
Смысл в том, чтобы отвадить изобретателей вечных двигателей, независимо от того, геометрия там или нет.

Насколько я знаю из дискуссий в печати, вечный двигатель не удалось построить в рамках ОТО даже при нарушении законов сохранения, даже теоретически. Хотя мы тут обсуждаем в другой теме временные петли, кто знает...

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение03.05.2020, 10:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
schekn в сообщении #1459540 писал(а):
вечный двигатель не удалось построить в рамках ОТО даже при нарушении законов сохранения, даже теоретически
Утверждение "вечный двигатель невозможно построить" логически эквивалентно утверждению "существуют законы сохранения". Так что выбирайте: Либо ВД возможен, но его нам не удалось пока построить по собственной глупости, либо законы сохранения существуют, но почему-то есть трудности с тем, чтобы их сформулировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение04.05.2020, 12:47 
Аватара пользователя


10/12/11
2304
Москва
epros в сообщении #1459747 писал(а):
Так что выбирайте: Либо ВД возможен, но его нам не удалось пока построить по собственной глупости, либо законы сохранения существуют, но почему-то есть трудности с тем, чтобы их сформулировать.

Я сторонник полевой теории, а не ОТО, а там законы сохранения выполняются. А почему вы их не можете сформулировать в рамках ОТО , это уже к вам вопросы. Полевая формулировка в ОТО Грищука-Петрова не устраняет некоторые проблемы неоднозначности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 70 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: bayak


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group