2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение30.04.2020, 03:30 


02/11/11
1265
Любопытно стало проверить законы сохранения энергии-импульса и момента импульса в метриках Керра и Керра-Ньюмана, следуя п. 96 ЛЛ2. Считать псевдотензор энергии-импулься гравитационного поля в координатах Бойера-Линдквиста бессмысленно, т.к. они не переходят на бесконечности в лоренцевы. Поэтому сделаем сугубо пространственное преобразование метрики Керра-Ньюмана из координат Бойера-Линдквиста в декартовы, связь между которыми задана соотношениями:
$x = \sqrt{r^2 + a^2} \sin(\theta) \cos(\varphi)$
$y = \sqrt{r^2 + a^2} \sin(\theta) \sin(\varphi)$
$z = r \cos(\theta)$

Или если выразить через $r,\theta,\varphi$:
$r=\frac {\sqrt {-2\,{a}^{2}+2\,{x}^{2}+2\,{y}^{2}+2\,{z}^{2}+2\,\sqrt {{a}
^{4}-2\,{a}^{2}{x}^{2}-2\,{a}^{2}{y}^{2}+2\,{a}^{2}{z}^{2}+{x}^{4}+2\,
{x}^{2}{y}^{2}+2\,{x}^{2}{z}^{2}+{y}^{4}+2\,{y}^{2}{z}^{2}+{z}^{4}}}}{2}
$
$\theta=\arccos \left( {\frac {2\,z}{\sqrt {-2\,{a}^{2}+2\,{x}^{2}+2\,{y}^{2}+
2\,{z}^{2}+2\,\sqrt {{a}^{4}-2\,{a}^{2}{x}^{2}-2\,{a}^{2}{y}^{2}+2\,{a
}^{2}{z}^{2}+{x}^{4}+2\,{x}^{2}{y}^{2}+2\,{x}^{2}{z}^{2}+{y}^{4}+2\,{y
}^{2}{z}^{2}+{z}^{4}}}}} \right) 
$
$\varphi=\arctg(y,x)$
$r$ здесь - один из положительных корней уравнения ${\frac {{x}^{2}+{y}^{2}}{{r}^{2}+{a}^{2}}}+{\frac {{z}^{2}}{{r}^{2}}}=
1
$, переходящий при $a=0$ в $\sqrt{x^2 + y^2+z^2}$.

Полученная форма метрики Керра-Ньюмана в декартовых координатах очень громоздкая. Но ненулевые компоненты метрического тензора можно записать через $r,\theta,\varphi$:
$\\
g_{tt}=1-{\frac {2\,m\,r}{{r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) 
 \right) ^{2}}}+{\frac {{e}^{2}}{{r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( 
\theta \right)  \right) ^{2}}}, \\
g_{tx}={\frac {\sin \left( 
\theta \right) \sin \left( \varphi \right) a \left( {e}^{2}-2\,m\,r
 \right) }{\sqrt {{a}^{2}+{r}^{2}} \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos
 \left( \theta \right)  \right) ^{2} \right) }}, \\
g_{ty}=-{\frac {\sin
 \left( \theta \right) \cos \left( \varphi \right) a \left( {e}^{2}-2\,m\,r
 \right) }{\sqrt {{a}^{2}+{r}^{2}} \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos
 \left( \theta \right)  \right) ^{2} \right) }}, \\
g_{xx}={\frac { \left(  \left( {a}^{4}+ \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) {a}^{2}-
{r}^{4} \right)  \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right)  \left( \cos \left( \varphi
 \right)  \right) ^{2}-{a}^{2} \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2}
 \right) ^{2} \right)  \left( \cos \left( \theta \right)  \right) ^{2}
}{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right)  \right) ^
{2} \right)  \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right)  \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2
\,mr+{r}^{2} \right) }}+ \\
{\frac {- \left( {a}^{4}+ \left( {e}^{2}-2\,m\,r
 \right) {a}^{2}-{r}^{4} \right)  \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) 
 \left( \cos \left( \varphi \right)  \right) ^{2}+ \left(  \left( {e}^{2}
-2\,m\,r-{r}^{2} \right) {a}^{2}-{r}^{4} \right)  \left( {a}^{2}+{e}^{2}
-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( 
\theta \right)  \right) ^{2} \right)  \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right) 
 \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}, \\
g_{xy}=-{\frac { \left( \sin \left( \theta \right)  \right) ^{2}\sin
 \left( \varphi \right)  \left( {a}^{4}+ \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) {a}
^{2}-{r}^{4} \right)  \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) \cos \left( \varphi
 \right) }{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) 
 \right) ^{2} \right)  \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right)  \left( {a}^{2}+
{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}, \\
g_{xz}={\frac {\sqrt {{a}^{2}+{r}^{2}}
r \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) \cos \left( \varphi \right) \cos \left( 
\theta \right) \sin \left( \theta \right) }{ \left( {r}^{2}+{a}^{2}
 \left( \cos \left( \theta \right)  \right) ^{2} \right)  \left( {a}^{
2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}, \\
g_{yy}={\frac { \left( - \left( {a}^{4}+{a}^{2}{e}^{2}-2\,{a}^{2}mr-{r}^{4}
 \right)  \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right)  \left( \cos \left( \varphi
 \right)  \right) ^{2}- \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right) ^{2} \left( {a}
^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r \right)  \right)  \left( \cos \left( \theta
 \right)  \right) ^{2}}{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( 
\theta \right)  \right) ^{2} \right)  \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right) 
 \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}+ \\
{\frac { \left( {a}^{
4}+{a}^{2}{e}^{2}-2\,{a}^{2}mr-{r}^{4} \right)  \left( {e}^{2}-2\,m\,r
 \right)  \left( \cos \left( \varphi \right)  \right) ^{2}-{r}^{2}
 \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right) ^{2}}{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( 
\cos \left( \theta \right)  \right) ^{2} \right)  \left( {a}^{2}+{r}^{
2} \right)  \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}, \\
g_{yz}={\frac {\sqrt {
{a}^{2}+{r}^{2}}r \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) \sin \left( \varphi
 \right) \cos \left( \theta \right) \sin \left( \theta \right) }{
 \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right)  \right) ^{2
} \right)  \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}, \\
g_{zz}={
\frac { \left( -2\,m{r}^{3}+ \left( -{a}^{2}+{e}^{2} \right) {r}^{2}-{
a}^{4} \right)  \left( \cos \left( \theta \right)  \right) ^{2}-
 \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) {r}^{2}}{ \left( {r}^{2}
+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right)  \right) ^{2} \right) 
 \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}.
$
Юниты здесь геометрические, $m$ - масса, $a$ - момент импульса на единицу массы, $e$ - заряд, $r,\theta,\varphi$ - теперь не координаты, а просто обозначения. Несмотря на то, что метрика записана через декартовы координаты, это не координаты Керра-Шильда. Хоть эта форма метрики Керра-Ньюмана и тривиальна, я ее не встречал в литературе, так что можете называть ее моей. :-)
При $e=0$ она переходит в метрику Керра, при $a=0$ - в метрику Райсснера-Нордстрема, при $e=0,\,a=0$ в метрику Шварцшильда.

Детерминант этой формы равен $-1$, координаты на бесконечности переходят в лоренцевы. Любопытно, но ожидаемо, что расчет по формулам (96.16) и (96.17) ЛЛ2 для метрик Керра и Керра-Ньюмана дает одинаковый результат, несмотря на то, что первая - вакуумная метрика с нулевым тензором энергии-импульса, а вторая имеет ненулевой тензор энергии-импульса и кроме гравитационного поля содержит также электромагнитное поле.
В итоге единственная ненулевая компонента 4-импульса:
$P^t=m$
и две ненулевые компоненты 4-момента импульса:
$M^{xy}=-M^{yx}=m\,a$

Скрипт на Maple

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение30.04.2020, 04:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
KVV в сообщении #1459080 писал(а):
Считать псевдотензор энергии-импулься гравитационного поля в координатах Бойера-Линдквиста
бессмысленно, т.к. они не переходят на бесконечности в лоренцевы. Поэтому сделаем сугубо пространственное преобразование метрики Керра-Ньюмана из координат Бойера-Линдквиста в декартовы

По роковому стечению обстоятельств псевдотензор не инвариантен при таких заменах, поэтому подобными действиями можно получить буквально какой угодно результат.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение30.04.2020, 04:20 


02/11/11
1265
Утундрий в сообщении #1459084 писал(а):
KVV в сообщении #1459080 писал(а):
Считать псевдотензор энергии-импулься гравитационного поля в координатах Бойера-Линдквиста
бессмысленно, т.к. они не переходят на бесконечности в лоренцевы. Поэтому сделаем сугубо пространственное преобразование метрики Керра-Ньюмана из координат Бойера-Линдквиста в декартовы

По роковому стечению обстоятельств псевдотензор не инвариантен при таких заменах, поэтому подобными действиями можно получить буквально какой угодно результат.

Псевдотензоров бояться - в ОТО не ходить.

Вроде в декартовых нормально получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение30.04.2020, 04:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
Я только отметил, что подобная деятельность вряд ли имеет смысл. Хотя, как упражнение, это полезно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение30.04.2020, 13:14 


02/11/11
1265
Утундрий в сообщении #1459089 писал(а):
Я только отметил, что подобная деятельность вряд ли имеет смысл. Хотя, как упражнение, это полезно.

В соответствии с классическими учебниками. Ни больше, ни меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение30.04.2020, 13:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
KVV в сообщении #1459149 писал(а):
В соответствии с классическими учебниками.
Звучит мелодически, однако, проблема энергии в ОТО до сих пор не решена. И, по моему разумению, не псевдотензором она решится. Я как-то мало доверяю величине, которая меняется при простой перенумерации мировых линий, пусть даже её и удаётся сделать почти определённой для некоего класса решений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение30.04.2020, 13:43 


02/11/11
1265
Утундрий в сообщении #1459151 писал(а):
Я как-то мало доверяю величине

Я тоже. Тем не менее, что-то тут все равно есть. Дает ведь в определенных координатах разумные значения. Кроме вышеприведенного примера, хорошо согласующаяся с наблюдениями скорость потери энергии в двойных системах. Хотя в будущем это может оказаться тривиальным совпадением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение01.05.2020, 19:54 
Аватара пользователя


10/12/11
2304
Москва
Утундрий в сообщении #1459151 писал(а):
Звучит мелодически, однако, проблема энергии в ОТО до сих пор не решена. И, по моему разумению, не псевдотензором она решится. Я как-то мало доверяю величине, которая меняется при простой перенумерации мировых линий, пусть даже её и удаётся сделать почти определённой для некоего класса решений.

Насколько я разбирался, проблемы законов сохранения в ОТО следует разделить на две части. В одном случае, если пробная частица движется в статическом поле (например в поле Шварцшильда), то законы сохранения для нее и взаимодействия с массивным телом, выполняются. А вот для динамических полей ( расширяющаяся вселенная), скорее всего нет. В рамках ОТО.
И есть вторая сторона , это энергия гравитационного поля, которая описывается псевдотензором. В задачах, где нужно учитывать
энергию гравитационных волн , или энергию поля, приходится делать расчеты с помощью данной нетензорной величины причем в гармонических координатах. И все совпадает с наблюдениями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение01.05.2020, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
schekn в сообщении #1459444 писал(а):
если пробная частица движется в статическом поле...
Здесь вообще всё ясно.
schekn в сообщении #1459444 писал(а):
В задачах, где нужно учитывать
энергию гравитационных волн , или энергию поля, приходится делать расчеты с помощью данной нетензорной величины причем в гармонических координатах...
Забыли добавить, что система должна быть "островного типа". Да, после всех этих ниоткуда не следующих шаманств
schekn в сообщении #1459444 писал(а):
все совпадает с наблюдениями.
В чём же тогда проблема? В том, как регулярно получать результаты в произвольном случае.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение01.05.2020, 21:12 
Аватара пользователя


10/12/11
2304
Москва
Утундрий в сообщении #1459447 писал(а):
В чём же тогда проблема? В том, как регулярно получать результаты в произвольном случае.

Проблема как мне кажется (= я уверен) в противоречии метрической теории и полевой формулировки.
Как только пытаются совместить чисто геометрическую формулировку гравитационного поля и полевую
начинаются противоречия. В полевой теории или формулировки в рамках ОТО на горизонте плотность энергии бесконечна.
То есть особенность, а в геометрической - нет.
Если гравитационное поле - геометрия, то смысла нет вводить такие величины как энергия поля и прочее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение01.05.2020, 21:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
10065
По-моему, хвост или есть, или его нет. Это следует из классичности рассматриваемого хвоста. Так что его нужно или найти, или доказать невозможность это сделать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение02.05.2020, 11:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
schekn в сообщении #1459455 писал(а):
Если гравитационное поле - геометрия, то смысла нет вводить такие величины как энергия поля и прочее.
Смысл в том, чтобы отвадить изобретателей вечных двигателей, независимо от того, геометрия там или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение02.05.2020, 12:21 
Аватара пользователя


10/12/11
2304
Москва
epros в сообщении #1459533 писал(а):
schekn в сообщении #1459455 писал(а):
Если гравитационное поле - геометрия, то смысла нет вводить такие величины как энергия поля и прочее.
Смысл в том, чтобы отвадить изобретателей вечных двигателей, независимо от того, геометрия там или нет.

Насколько я знаю из дискуссий в печати, вечный двигатель не удалось построить в рамках ОТО даже при нарушении законов сохранения, даже теоретически. Хотя мы тут обсуждаем в другой теме временные петли, кто знает...

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение03.05.2020, 10:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
9433
schekn в сообщении #1459540 писал(а):
вечный двигатель не удалось построить в рамках ОТО даже при нарушении законов сохранения, даже теоретически
Утверждение "вечный двигатель невозможно построить" логически эквивалентно утверждению "существуют законы сохранения". Так что выбирайте: Либо ВД возможен, но его нам не удалось пока построить по собственной глупости, либо законы сохранения существуют, но почему-то есть трудности с тем, чтобы их сформулировать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана
Сообщение04.05.2020, 12:47 
Аватара пользователя


10/12/11
2304
Москва
epros в сообщении #1459747 писал(а):
Так что выбирайте: Либо ВД возможен, но его нам не удалось пока построить по собственной глупости, либо законы сохранения существуют, но почему-то есть трудности с тем, чтобы их сформулировать.

Я сторонник полевой теории, а не ОТО, а там законы сохранения выполняются. А почему вы их не можете сформулировать в рамках ОТО , это уже к вам вопросы. Полевая формулировка в ОТО Грищука-Петрова не устраняет некоторые проблемы неоднозначности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 70 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: whiterussian, Jnrty, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group