Законы сохранения в метриках Керра и Керра-Ньюмана

[KVV]

Любопытно стало проверить законы сохранения энергии-импульса и момента импульса в метриках Керра и Керра-Ньюмана, следуя п. 96 ЛЛ2. Считать псевдотензор энергии-импулься гравитационного поля в координатах Бойера-Линдквиста бессмысленно, т.к. они не переходят на бесконечности в лоренцевы. Поэтому сделаем сугубо пространственное преобразование метрики Керра-Ньюмана из координат Бойера-Линдквиста в декартовы, связь между которыми задана соотношениями:
$x = \sqrt{r^2 + a^2} \sin(\theta) \cos(\varphi)$
$y = \sqrt{r^2 + a^2} \sin(\theta) \sin(\varphi)$
$z = r \cos(\theta)$

Или если выразить через $r,\theta,\varphi$:
$r=\frac {\sqrt {-2\,{a}^{2}+2\,{x}^{2}+2\,{y}^{2}+2\,{z}^{2}+2\,\sqrt {{a} ^{4}-2\,{a}^{2}{x}^{2}-2\,{a}^{2}{y}^{2}+2\,{a}^{2}{z}^{2}+{x}^{4}+2\, {x}^{2}{y}^{2}+2\,{x}^{2}{z}^{2}+{y}^{4}+2\,{y}^{2}{z}^{2}+{z}^{4}}}}{2} $
$\theta=\arccos \left( {\frac {2\,z}{\sqrt {-2\,{a}^{2}+2\,{x}^{2}+2\,{y}^{2}+ 2\,{z}^{2}+2\,\sqrt {{a}^{4}-2\,{a}^{2}{x}^{2}-2\,{a}^{2}{y}^{2}+2\,{a }^{2}{z}^{2}+{x}^{4}+2\,{x}^{2}{y}^{2}+2\,{x}^{2}{z}^{2}+{y}^{4}+2\,{y }^{2}{z}^{2}+{z}^{4}}}}} \right) $
$\varphi=\arctg(y,x)$
$r$ здесь - один из положительных корней уравнения ${\frac {{x}^{2}+{y}^{2}}{{r}^{2}+{a}^{2}}}+{\frac {{z}^{2}}{{r}^{2}}}= 1 $, переходящий при $a=0$ в $\sqrt{x^2 + y^2+z^2}$.

Полученная форма метрики Керра-Ньюмана в декартовых координатах очень громоздкая. Но ненулевые компоненты метрического тензора можно записать через $r,\theta,\varphi$:
$\\ g_{tt}=1-{\frac {2\,m\,r}{{r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2}}}+{\frac {{e}^{2}}{{r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2}}}, \\ g_{tx}={\frac {\sin \left( \theta \right) \sin \left( \varphi \right) a \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) }{\sqrt {{a}^{2}+{r}^{2}} \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2} \right) }}, \\ g_{ty}=-{\frac {\sin \left( \theta \right) \cos \left( \varphi \right) a \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) }{\sqrt {{a}^{2}+{r}^{2}} \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2} \right) }}, \\ g_{xx}={\frac { \left( \left( {a}^{4}+ \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) {a}^{2}- {r}^{4} \right) \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) \left( \cos \left( \varphi \right) \right) ^{2}-{a}^{2} \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) ^{2} \right) \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2} }{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^ {2} \right) \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right) \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2 \,mr+{r}^{2} \right) }}+ \\ {\frac {- \left( {a}^{4}+ \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) {a}^{2}-{r}^{4} \right) \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) \left( \cos \left( \varphi \right) \right) ^{2}+ \left( \left( {e}^{2} -2\,m\,r-{r}^{2} \right) {a}^{2}-{r}^{4} \right) \left( {a}^{2}+{e}^{2} -2\,m\,r+{r}^{2} \right) }{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2} \right) \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right) \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}, \\ g_{xy}=-{\frac { \left( \sin \left( \theta \right) \right) ^{2}\sin \left( \varphi \right) \left( {a}^{4}+ \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) {a} ^{2}-{r}^{4} \right) \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) \cos \left( \varphi \right) }{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2} \right) \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right) \left( {a}^{2}+ {e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}, \\ g_{xz}={\frac {\sqrt {{a}^{2}+{r}^{2}} r \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) \cos \left( \varphi \right) \cos \left( \theta \right) \sin \left( \theta \right) }{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2} \right) \left( {a}^{ 2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}, \\ g_{yy}={\frac { \left( - \left( {a}^{4}+{a}^{2}{e}^{2}-2\,{a}^{2}mr-{r}^{4} \right) \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) \left( \cos \left( \varphi \right) \right) ^{2}- \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right) ^{2} \left( {a} ^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r \right) \right) \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2}}{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2} \right) \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right) \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}+ \\ {\frac { \left( {a}^{ 4}+{a}^{2}{e}^{2}-2\,{a}^{2}mr-{r}^{4} \right) \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) \left( \cos \left( \varphi \right) \right) ^{2}-{r}^{2} \left( {a}^{2}+{r}^{2} \right) ^{2}}{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2} \right) \left( {a}^{2}+{r}^{ 2} \right) \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}, \\ g_{yz}={\frac {\sqrt { {a}^{2}+{r}^{2}}r \left( {e}^{2}-2\,m\,r \right) \sin \left( \varphi \right) \cos \left( \theta \right) \sin \left( \theta \right) }{ \left( {r}^{2}+{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2 } \right) \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}, \\ g_{zz}={ \frac { \left( -2\,m{r}^{3}+ \left( -{a}^{2}+{e}^{2} \right) {r}^{2}-{ a}^{4} \right) \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2}- \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) {r}^{2}}{ \left( {r}^{2} +{a}^{2} \left( \cos \left( \theta \right) \right) ^{2} \right) \left( {a}^{2}+{e}^{2}-2\,m\,r+{r}^{2} \right) }}. $
Юниты здесь геометрические, $m$ - масса, $a$ - момент импульса на единицу массы, $e$ - заряд, $r,\theta,\varphi$ - теперь не координаты, а просто обозначения. Несмотря на то, что метрика записана через декартовы координаты, это не координаты Керра-Шильда. Хоть эта форма метрики Керра-Ньюмана и тривиальна, я ее не встречал в литературе, так что можете называть ее моей.
При $e=0$ она переходит в метрику Керра, при $a=0$ - в метрику Райсснера-Нордстрема, при $e=0,\,a=0$ в метрику Шварцшильда.

Детерминант этой формы равен $-1$, координаты на бесконечности переходят в лоренцевы. Любопытно, но ожидаемо, что расчет по формулам (96.16) и (96.17) ЛЛ2 для метрик Керра и Керра-Ньюмана дает одинаковый результат, несмотря на то, что первая - вакуумная метрика с нулевым тензором энергии-импульса, а вторая имеет ненулевой тензор энергии-импульса и кроме гравитационного поля содержит также электромагнитное поле.
В итоге единственная ненулевая компонента 4-импульса:
$P^t=m$
и две ненулевые компоненты 4-момента импульса:
$M^{xy}=-M^{yx}=m\,a$

Скрипт на Maple

[Утундрий]

KVV в сообщении #1459080 писал(а):

Считать псевдотензор энергии-импулься гравитационного поля в координатах Бойера-Линдквиста
бессмысленно, т.к. они не переходят на бесконечности в лоренцевы. Поэтому сделаем сугубо пространственное преобразование метрики Керра-Ньюмана из координат Бойера-Линдквиста в декартовы

По роковому стечению обстоятельств псевдотензор не инвариантен при таких заменах, поэтому подобными действиями можно получить буквально какой угодно результат.

[KVV]

Утундрий в сообщении #1459084 писал(а):

KVV в сообщении #1459080 писал(а):

Считать псевдотензор энергии-импулься гравитационного поля в координатах Бойера-Линдквиста
бессмысленно, т.к. они не переходят на бесконечности в лоренцевы. Поэтому сделаем сугубо пространственное преобразование метрики Керра-Ньюмана из координат Бойера-Линдквиста в декартовы

По роковому стечению обстоятельств псевдотензор не инвариантен при таких заменах, поэтому подобными действиями можно получить буквально какой угодно результат.

Псевдотензоров бояться - в ОТО не ходить.

Вроде в декартовых нормально получается.

[Утундрий]

Я только отметил, что подобная деятельность вряд ли имеет смысл. Хотя, как упражнение, это полезно.

[KVV]

Утундрий в сообщении #1459089 писал(а):

Я только отметил, что подобная деятельность вряд ли имеет смысл. Хотя, как упражнение, это полезно.

В соответствии с классическими учебниками. Ни больше, ни меньше.

[Утундрий]

KVV в сообщении #1459149 писал(а):

В соответствии с классическими учебниками.

Звучит мелодически, однако, проблема энергии в ОТО до сих пор не решена. И, по моему разумению, не псевдотензором она решится. Я как-то мало доверяю величине, которая меняется при простой перенумерации мировых линий, пусть даже её и удаётся сделать почти определённой для некоего класса решений.

[KVV]

Утундрий в сообщении #1459151 писал(а):

Я как-то мало доверяю величине

Я тоже. Тем не менее, что-то тут все равно есть. Дает ведь в определенных координатах разумные значения. Кроме вышеприведенного примера, хорошо согласующаяся с наблюдениями скорость потери энергии в двойных системах. Хотя в будущем это может оказаться тривиальным совпадением.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1459151 писал(а):

Звучит мелодически, однако, проблема энергии в ОТО до сих пор не решена. И, по моему разумению, не псевдотензором она решится. Я как-то мало доверяю величине, которая меняется при простой перенумерации мировых линий, пусть даже её и удаётся сделать почти определённой для некоего класса решений.

Насколько я разбирался, проблемы законов сохранения в ОТО следует разделить на две части. В одном случае, если пробная частица движется в статическом поле (например в поле Шварцшильда), то законы сохранения для нее и взаимодействия с массивным телом, выполняются. А вот для динамических полей ( расширяющаяся вселенная), скорее всего нет. В рамках ОТО.
И есть вторая сторона , это энергия гравитационного поля, которая описывается псевдотензором. В задачах, где нужно учитывать
энергию гравитационных волн , или энергию поля, приходится делать расчеты с помощью данной нетензорной величины причем в гармонических координатах. И все совпадает с наблюдениями.

[Утундрий]

schekn в сообщении #1459444 писал(а):

если пробная частица движется в статическом поле...

Здесь вообще всё ясно.

schekn в сообщении #1459444 писал(а):

В задачах, где нужно учитывать
энергию гравитационных волн , или энергию поля, приходится делать расчеты с помощью данной нетензорной величины причем в гармонических координатах...

Забыли добавить, что система должна быть "островного типа". Да, после всех этих ниоткуда не следующих шаманств

schekn в сообщении #1459444 писал(а):

все совпадает с наблюдениями.

В чём же тогда проблема? В том, как регулярно получать результаты в произвольном случае.

[schekn]

Утундрий в сообщении #1459447 писал(а):

В чём же тогда проблема? В том, как регулярно получать результаты в произвольном случае.

Проблема как мне кажется (= я уверен) в противоречии метрической теории и полевой формулировки.
Как только пытаются совместить чисто геометрическую формулировку гравитационного поля и полевую
начинаются противоречия. В полевой теории или формулировки в рамках ОТО на горизонте плотность энергии бесконечна.
То есть особенность, а в геометрической - нет.
Если гравитационное поле - геометрия, то смысла нет вводить такие величины как энергия поля и прочее.

[Утундрий]

По-моему, хвост или есть, или его нет. Это следует из классичности рассматриваемого хвоста. Так что его нужно или найти, или доказать невозможность это сделать.

[epros]

schekn в сообщении #1459455 писал(а):

Если гравитационное поле - геометрия, то смысла нет вводить такие величины как энергия поля и прочее.

Смысл в том, чтобы отвадить изобретателей вечных двигателей, независимо от того, геометрия там или нет.

[schekn]

epros в сообщении #1459533 писал(а):

schekn в сообщении #1459455 писал(а):

Если гравитационное поле - геометрия, то смысла нет вводить такие величины как энергия поля и прочее.

Смысл в том, чтобы отвадить изобретателей вечных двигателей, независимо от того, геометрия там или нет.

Насколько я знаю из дискуссий в печати, вечный двигатель не удалось построить в рамках ОТО даже при нарушении законов сохранения, даже теоретически. Хотя мы тут обсуждаем в другой теме временные петли, кто знает...

[epros]

schekn в сообщении #1459540 писал(а):

вечный двигатель не удалось построить в рамках ОТО даже при нарушении законов сохранения, даже теоретически

Утверждение "вечный двигатель невозможно построить" логически эквивалентно утверждению "существуют законы сохранения". Так что выбирайте: Либо ВД возможен, но его нам не удалось пока построить по собственной глупости, либо законы сохранения существуют, но почему-то есть трудности с тем, чтобы их сформулировать.

[schekn]

epros в сообщении #1459747 писал(а):

Так что выбирайте: Либо ВД возможен, но его нам не удалось пока построить по собственной глупости, либо законы сохранения существуют, но почему-то есть трудности с тем, чтобы их сформулировать.

Я сторонник полевой теории, а не ОТО, а там законы сохранения выполняются. А почему вы их не можете сформулировать в рамках ОТО , это уже к вам вопросы. Полевая формулировка в ОТО Грищука-Петрова не устраняет некоторые проблемы неоднозначности.