Глубокоуважаемые Участники обсуждения!
shwedka писал(а):
А я утверждаю, что не сможете найти вспомогательную функцию…Такой функции НЕТ. Контрпример убивает теорему
Но если
такой функции НЕТ, зачем Вы тогда так настойчиво требуете формулировку?
Цитата:
Второкурсники- математики знают.
Цитата:
А Вы дайте, пожалуйста, ссылку на учебник, справочник с указанием страниц. Лучше в Интернете.
И не подумаю. Достаточно рассуждения с градиентами
Мне кажется, что такой ответ профессионального математика, тем более не относящегося с Ваших же слов к категории
noname, явно не подходит. Поэтому
я все-таки прошу (не требую) дать такие ссылки, если они у Вас есть. Я, например, даже в Интернете ничего подобного не нашел.
Цитата:
Вы просто боитесь, что дивергенция ускорения окажется не нулем и тогда вся конструкция разваливается. Приведите вычисления.
Нет, не боюсь, даже если
дивергенция ускорения окажется не нулем. Но в данной ситуации произошел удивительный случай. Вы, видимо, совершенно неосознанно выбрали вектор- функцию из достаточно широкого класса функций, для которых доказательство нулю дивергенции ускорения не требуется. Посмотрите внимательно на формулу дивергенции ускорения
![\[
\begin{gathered}
\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{{\partial \ddot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \ddot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \ddot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \dot \vec u + \\
+ \left[ {\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right)} \right] \\
\end{gathered}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/5/0056180d7fc636ae414a62f28b35674382.png "\[
\begin{gathered}
\operatorname{div} \ddot \vec u = \frac{{\partial \ddot u_x }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \ddot u_y }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \ddot u_z }}
{{\partial z}} = \frac{\partial }
{{\partial t}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_x \frac{\partial }
{{\partial x}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_y \frac{\partial }
{{\partial y}}\operatorname{div} \dot \vec u + \dot u_z \frac{\partial }
{{\partial z}}\operatorname{div} \dot \vec u + \\
+ \left[ {\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial x}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial y}}} \right)^2 + \left( {\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial z}}} \right)^2 + 2\left( {\frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial y}}\frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial x}} + \frac{{\partial \dot u_y }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial y}} + \frac{{\partial \dot u_x }}
{{\partial z}}\frac{{\partial \dot u_z }}
{{\partial x}}} \right)} \right] \\
\end{gathered}
\]")
Из этой формулы отчетливо видно, что в случае, когда компоненты вектор- функции заданы в виде
![\[
\dot u_x = \dot u_x (y),\dot u_y = \dot u_y (z),\dot u_z = \dot u_z (x),,,,,,,\dot u_x = \dot u_x (z),\dot u_y = \dot u_y (x),\dot u_z = \dot u_z (y)
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/4/a4422784bcc9f777c1dadb3d56b8e73c82.png "\[
\dot u_x = \dot u_x (y),\dot u_y = \dot u_y (z),\dot u_z = \dot u_z (x),,,,,,,\dot u_x = \dot u_x (z),\dot u_y = \dot u_y (x),\dot u_z = \dot u_z (y)
\]")
, то каждый член выражения в скобках равен нулю!
Цитата:
Мне начинает надоедать. Вы сформулировали неверное утверждение. Я эту неверность доказала рассуждением с градиентами, до которого, вроде бы, Вы после многих трудов тоже дошли,хотя оно лежит в пределах умений второкурсника. Вместо того, чтобы искать верную формулировку, вы увиливаете. Пример считать не хотите. В том состоянии дел, какое имеем сейчас, доказательство равенства нулю дивергенции ускорений содержит существенный пробел.
Из приведенного выше анализа Вашего примера следует, что для такого бурного возмущения основания на самом деле отсутствуют!
Цитата:
Поэтому снова требую. Сформулируйте Ваше утверждение о представлении компонент вектор-функции. Но так, чтобы оно было верным. Повторение неверного не годится.
Добавлено спустя 38 минут 38 секунд:
Немного остыв,предлагаю Вам пример формулировки (не настаиваю, это лишь пример).Пусть компоненты вектор-функции имеют параллельные градиенты во всех точках. Тогда компоненты можно выразить через одну и ту же функцию трех переменных. С небольшими техническими уточнениями (скажем, что считать, если где-то одим из градиентов равен нулю) бы с такой формулировкой согласилась и даже не стала бы требовать доказательства, поскольку результат элементарный.
Не могу понять,
почему Вы хотите поставить формулировку с ног на голову, т.е.
причину сделать следствием. Изначально я ведь ничего не знаю про эти самые градиенты и пользуюсь общепризнанной формулировкой, приведенной в справочнике Выгодского: «
Пусть сложная функция…заданная через посредство вспомогательных переменных… (в любом числе). Тогда..». И лишь после записи этой самой сложной функции для случая, когда она является векторной, и последующего перехода к покомпонентной форме я вижу возможность группирования полученных соотношений для разных компонент, которая позволяет снова перейти к другому векторному соотношению, из которого вытекает эта самая коллинеарность векторов градиентов. И если Вы утверждаете, что
это известный даже студентам факт, то почему тогда Вы отказываетесь дать ссылку на источник?
Цитата:
Вот в таком духе ответа я жду. Это в математике случается то и дело. Если какое-то утверждение ошибочно в общей постановке, то оно может быть сделано верным за счет введения дополнительных ограничений.
Здесь Вы явно противоречите тому, что утверждали ранее:
Такой функции НЕТ. К тому же с учетом следствий, вытекающих из Вашего примера, Вы эту формулировку снова, вероятно, поменяете.
С уважением, Александр Козачок
. Для начала обсуждения предъявите для этого поля искомую функцию 
.
![\[
\begin{array}{l}
d\varsigma = \frac{1}{{\dot u_x }}dx \\
d\varsigma = \frac{1}{{\dot u_y }}dy \\
d\varsigma = \frac{1}{{\dot u_z }}dz \\
\end{array}
\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/2/7/627e20c026279e7fba32eb1bfa70cadf82.png "\[
\begin{array}{l}
d\varsigma = \frac{1}{{\dot u_x }}dx \\
d\varsigma = \frac{1}{{\dot u_y }}dy \\
d\varsigma = \frac{1}{{\dot u_z }}dz \\
\end{array}
\]")
. Посчитаем дивергенцию ускорения по Вашей формуле. Она равна 6. Не нулю. Таким образом, ваше утверждение
(1)
, то эти уравнения можно записать в таком виде:
(2)
. Три выражения для 
можно рассматривать, как алгебраическую систему уравнений и разрешить ее относительно 
. В результате получим выражения 
. После подстановки этих выражений вместо основных аргументов компонент вектора 
.![\[
\begin{array}{c}
\dot u_x = \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{du_x }}{{dt}} = \frac{{\partial u_x }}{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_x }}{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_x }}{{\partial z}}, \\
\dot u_y = \frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{du_y }}{{dt}} = \frac{{\partial u_y }}{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_y }}{{\partial z}}, \\
\dot u_z = \frac{{dz}}{{dt}} = \frac{{du_z }}{{dt}} = \frac{{\partial u_z }}{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_z }}{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_z }}{{\partial z}}. \\
\end{array}
\]](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/7/f877601bace2f631e2d1686f541a86ae82.png "\[
\begin{array}{c}
\dot u_x = \frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{du_x }}{{dt}} = \frac{{\partial u_x }}{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_x }}{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_x }}{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_x }}{{\partial z}}, \\
\dot u_y = \frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{du_y }}{{dt}} = \frac{{\partial u_y }}{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_y }}{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_y }}{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_y }}{{\partial z}}, \\
\dot u_z = \frac{{dz}}{{dt}} = \frac{{du_z }}{{dt}} = \frac{{\partial u_z }}{{\partial t}} + \dot u_x \frac{{\partial u_z }}{{\partial x}} + \dot u_y \frac{{\partial u_z }}{{\partial y}} + \dot u_z \frac{{\partial u_z }}{{\partial z}}. \\
\end{array}
\]")
(10)![\[
{{\partial u_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial u_i } {\partial t}}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial t}}
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/0/d/40d685920315e453e7698f49184cc79982.png "\[
{{\partial u_i } \mathord{\left/
{\vphantom {{\partial u_i } {\partial t}}} \right.
\kern-\nulldelimiterspace} {\partial t}}
\]")
, и конвективную ![\[
\dot u{\mathop{\rm grad}\nolimits} u_i
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/b/97b61bf245c38dda287d0c2f76434e3c82.png "\[
\dot u{\mathop{\rm grad}\nolimits} u_i
\]")
составляющие. К тому же видно, что компоненты скорости в развернутом виде не могут быть сразу записаны в явной форме, поскольку выражения для каждой компоненты ![\[
\dot u
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/5/8d5594c9ce25753bc3284bd6e97c84b382.png "\[
\dot u
\]")
содержат все составляющие. Это можно сделать только после решения алгебраической системы уравнений относительно трех неизвестных ![\[
\dot u_x
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/e/90e46c1e8b35e09241419b427cbd637682.png "\[
\dot u_x
\]")
, ![\[
\dot u_y
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/6/95650cf32253aee88a395cf9323ae8b182.png "\[
\dot u_y
\]")
, ![\[
\dot u_z
\]](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/6/6/8664dafd53d4384e1e60f2a94034bec182.png "\[
\dot u_z
\]")
.![\[
\dot u_i
\]](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/e/9/de95945846fb076b9a6812c4de42626882.png "\[
\dot u_i
\]")
не могут задаваться произвольно, а только в соответствии с указанными формулами, поскольку это требование диктуется условием сохранения сплошности непрерывно деформируемой среды.
? Перемещение?? То есть 
это перемещение точки с исходными координатами 
за время 
. Так или не так??? Если не так, то жду объяснения, что обозначено через 
, что бы это ни означало, равняется компоненте скорости 
??? то есть вместо скорости точки в момент