Продолжим.
9) Одно из ярких воспоминаний от учебника Колмогорова --- то, что я там впервые прочитал, что такое определение, аксиома, теорема, доказательство. Я даже помню две первых теоремы: (1) две прямые пересекаются в одной точке, и (2) обратное неравенство треугольника. (Обе находятся в одном и том же пункте 4, кстати). Пожалуй, ни в одном другом учебнике эти понятия столь ярко и выпукло не объясняются. Тут учебник сыграл большую роль в понимании.
Впрочем, я читал и другие книжки.
Но, при таком хорошем начале, дальше в Колмогорове с теоремами и доказательстве весьма неважно. Сплошь и рядом что-то или оставляется без доказательства, или обосновывается наглядностью, или переворачивается, в отношении логического порядка, с ног на голову. В общем, каша. Вот краткий обзор.
(1) Про несколько типов линий (окружность; прямая; объединение двух лучей с общим началом; замкнутая ломаная без самопересечений) утверждается, что они разбивают плоскость на две области. Без доказательств. Но (а) с прямой то, что имеется разбиение на два подмножества, с известным свойством --- аксиома, в любом курсе; а то, что эти подмножества открыты --- вполне можно доказать (и в колмогоровкой аксиоматике тоже). Но почему-то не доказывается. (б) С окружностью примерно то же самое. То, что отрезок с одним концом внутри, а с другим вне пересекает окружность --- в школьном курсе не докажешь, а остальное вполне.
(в) про два луча --- вообще полностью доказуемо. (г) про ломаную --- действительно сложно (но открытость легко).
(2) Предложения
--
, про углы (тут нельзя упрекнуть за то, что оставлено без доказательства, т.к. в школьном учебнике это невозможно).
(3) Ни существование перпендикуляра, ни то, что осевая симметрия --- движение, не доказывается. На самом деле, существование осевой симметрии --- частный случай аксиомы подвижности, а возможность опустить перпендикуляр отсюда легко выводится. То есть тут переворот рассуждений. (Но можно поступать и по другому, с не меньшим успехом. Как в Атанасяне, например.)
(4) То, что поворот --- движение, не доказывается тоже. Это можно было бы пояснить через признак равенства треугольников по двум сторонам и углу. Но его тоже не доказывают.
(5) Предл. 24, 25, 26. Три признака конгруэнтности треугольников. Справедливость их усматривается из построения (т.е., из наглядности).
(6) Утверждения про пересечение прямой и окружности при разных случах их взаимного
расположения не доказываются, а постулируются. И потом используются неоднократно. А, например, есть теорема 28, о том, что диаметр, перпендикулярный к хорде, делит её и
стягиваемую ею дугу пополам. При этом используется, неявно, то, что прямая, содержащая хорду, пересекает окружность лишь дважды. Но это утверждение формулируется (да и без доказательства!) лишь позднее. Опять же, признак конгруэнтности прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе (т.е. те же яйца сбоку) дается без доказательства (очевидно, считается наглядно ясным из пересечения окружности и прямой).
Это главные художества в составе второй главы. Дальше (в третьей и далее) тоже есть многое, что не доказывается (и доказывается в традиционных курсах), но мне это описывать в деталях утомительно.
вот соответствующие им значения 
;
- бесконечное множество, и рассуждать с ним трудно.
это были отображения одномерного пространства в одномерное. Здесь потребуется как минимум отображение двумерного пространства в двумерное, что и студентам-то часто сложно;
и 
и отображение между ними. Эта идея как раз возникает естественней, когда человек слышит "отображение фигуры на фигуру". И встаёт проблема объяснить, что это не то́.
(опционально с внутренностью), и соответственно подразумевать отображение его на другой треугольник. Это даже может подойти к некоторым рассуждениям и теоремам в учебнике. Но это тоже не то́.
спокойно в школе используется, как и всевозможные 
, и т п, и ни кого это не напрягает. Это я к тому, что при построении школьных курсов надо не столько гнаться за абсолютной строгостью, сколько видеть перспективу, а у "школьной" геометрии перспективы нет.