2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.
 
 Re: Колмогоровская реформа, учебники и т.д.
Сообщение09.01.2020, 07:47 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
8) Затем идет конгруэнтность, измерение углов, и вот перпендикуляры (предложение 19). Тут остановимся подробнее.

В разных учебниках перпендикуляр (т.е. утверждения (1) "из любой точки на прямой можно восставить перпендикуляр, причем ровно один", и (2) "из любой точки вне прямой можно опустить перпендикуляр, причем ровно один") трактуется по разному. Рассмотрим в деталях.

(а) Киселев. (1) считается очевидным (каковым и является, т.к. принимается постулат откладывания угла). (2) --- через существование осевой симметрии, по существу. А ее существование ---- частный случай аксиомы подвижности (впрочем, внимание на этом не акцентируется). Таким образом, доказательство не использует аксиому параллельных.

(б) Колмогоров. (1), и (2) --- оба постулируются ("приложим угольник").

(в) Погорелов. (1) --- существование --- из аксиомы откладывания угла. После чего единственность --- "от противного" (что-то бессмысленное, т.к. из той же аксиомы очевидна). (2) --- доказывается позже, с использованием аксиомы параллельных.

(г) Атанасян. (1) --- даже не обсуждается, т.к. очевидно. (2) --- доказывается то ли через первый признак равенства треугольников, то ли через симметрию. (При этом доказательство какое-то путаное, как будто сначала кто-то доказал через треугольники, а потом другому соавтору зазудело вставить свои пять копеек, хотя бы и не совсем по делу, и он написал что-то про симметрию.) (Отметим, что в "пробном учебнике" Атанасяна от 1981 г. доказательство через треугольники, без всякой путаницы, но по другому, и совершенно ясно.) При этом аксиома параллельных не используется.

(д) Мерзляк. (1) --- существование через откладывание, и непонятно зачем --- единственность от противного. (2) --- существование вообще никак (через угольник ?), единственность --- через симметрию. (В общем, что-то непонятное).

(е) Шлыков. (1) --- откладывание. (2) --- существование и единственность --- через признаки равенства треугольников (всё идеально ясно, и аксиома параллельных не используется).

Что видим ? Есть мнение, дескать, учебник Атанасяна --- самый примитивный, Погорелов --- более серьезный, Колмогоров --- круче всех, а Киселев вообще мамонтово гэ. А Шлыков вообще никому не известен.

В общем, просматривается закономерность типа
$$ (\text{польза и понятность})\times (\text{научность (якобы) с понтами}) =\operatorname{const}$$

(Шлыков)

Но в Шлыкове есть удивительное место. Точнее нет как раз. Аксиома подвижности отсутствует напрочь (и ее аналог, аксиома откладывания треугольника). Т.е. не просто пробел или дыра, а черная дыра.

(Оффтоп)

Уфф, ну и накатал... И это пока меньшая часть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоровская реформа, учебники и т.д.
Сообщение09.01.2020, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
vpb в сообщении #1434072 писал(а):
Понять, что такое отображение фигуры на фигуру вообще, особенно учитывая, что в 6 классе в этот же момент проходили отображения и на алгебре, было бы (и было, мне лично) нетрудно.

Мне кажется, это как раз весьма трудный момент.
В 6 классе (и до конца школы, фактически) школьникам очень трудно даются абстракции. Приходится их давать постепенно и пояснять конкретными практическими примерами.

0. Отображение можно изобразить:
- набором стрелочек от элементов одного множества к элементам другого множества;
- табличкой значений: вот значения $x,$ вот соответствующие им значения $y$;
- графиком (как дискретным - табличка с закрашенными клеточками, так и графиком функции);
Во-первых, требуется время и привычка, чтобы эти способы сопоставить между собой, и чтобы из них возникло некоторое абстрактное "понимание отображения". Во-вторых, сами функции в 6 классе пока известны в небольшом ассортименте. А $\mathbb{R}$ - бесконечное множество, и рассуждать с ним трудно.
    Кстати, замечу, что
    - не изучается отображение путём перемещения элементов одного множества, чтобы они совместились с элементами второго множества.

1. Отображение фигуры на фигуру - скорее всего, уважаемый vpb понимает здесь фигуру как "множество точек, подмножество множества точек плоскости". Здесь два контринтуитивных момента:
- даже когда школьники рисовали графики функций $\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ это были отображения одномерного пространства в одномерное. Здесь потребуется как минимум отображение двумерного пространства в двумерное, что и студентам-то часто сложно;
- от отображения точек в точки надо "подняться" до отображения множеств точек во множества точек.

2. После того, как человеку рассказали про множества и их отображения, ему очень легко представить себе множества $\{\text{треугольник }ABC\}$ и $\{\text{треугольник }DEF\},$ и отображение между ними. Эта идея как раз возникает естественней, когда человек слышит "отображение фигуры на фигуру". И встаёт проблема объяснить, что это не то́.

3. Ещё один вариант неправильной интерпретации: понимать, скажем, треугольник как множество $\{\text{вершина }A,$ $\text{вершина }B,$ $\text{вершина }C,$ $\text{ребро }AB,$ $\text{ребро }BC,$ $\text{ребро }AC\}$ (опционально с внутренностью), и соответственно подразумевать отображение его на другой треугольник. Это даже может подойти к некоторым рассуждениям и теоремам в учебнике. Но это тоже не то́.

Так что, боюсь, уважаемый vpb судит с высоты своего опыта, и не ставит себя на место школьника или школьного учителя.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоровская реформа, учебники и т.д.
Сообщение10.01.2020, 00:18 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Как раз когда я пытался некогда в школе подложить под математику какой-то такой фундамент, чтобы можно было что-то автоматически доказывать, я понял, что треугольник — это кошмар. (С одной стороны это множество точек. С другой в нём явно выделены специальные подмножества. И иногда он без внутренности, а иногда с, и входят ли вершины в стороны или нет; наконец, у меня в голове не было тогда должной ясности, чтобы даже задать себе вопросы как следует.) В общем даже до алгоритма Тарского я в тот раз не дошёл, хотя может и не из-за путаницы, а из-за недостатка литературы и наведения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоровская реформа, учебники и т.д.
Сообщение11.01.2020, 17:29 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Продолжим.

9) Одно из ярких воспоминаний от учебника Колмогорова --- то, что я там впервые прочитал, что такое определение, аксиома, теорема, доказательство. Я даже помню две первых теоремы: (1) две прямые пересекаются в одной точке, и (2) обратное неравенство треугольника. (Обе находятся в одном и том же пункте 4, кстати). Пожалуй, ни в одном другом учебнике эти понятия столь ярко и выпукло не объясняются. Тут учебник сыграл большую роль в понимании.
Впрочем, я читал и другие книжки.

Но, при таком хорошем начале, дальше в Колмогорове с теоремами и доказательстве весьма неважно. Сплошь и рядом что-то или оставляется без доказательства, или обосновывается наглядностью, или переворачивается, в отношении логического порядка, с ног на голову. В общем, каша. Вот краткий обзор.

(1) Про несколько типов линий (окружность; прямая; объединение двух лучей с общим началом; замкнутая ломаная без самопересечений) утверждается, что они разбивают плоскость на две области. Без доказательств. Но (а) с прямой то, что имеется разбиение на два подмножества, с известным свойством --- аксиома, в любом курсе; а то, что эти подмножества открыты --- вполне можно доказать (и в колмогоровкой аксиоматике тоже). Но почему-то не доказывается. (б) С окружностью примерно то же самое. То, что отрезок с одним концом внутри, а с другим вне пересекает окружность --- в школьном курсе не докажешь, а остальное вполне.
(в) про два луча --- вообще полностью доказуемо. (г) про ломаную --- действительно сложно (но открытость легко).

(2) Предложения $18_1$ -- $18_4$, про углы (тут нельзя упрекнуть за то, что оставлено без доказательства, т.к. в школьном учебнике это невозможно).

(3) Ни существование перпендикуляра, ни то, что осевая симметрия --- движение, не доказывается. На самом деле, существование осевой симметрии --- частный случай аксиомы подвижности, а возможность опустить перпендикуляр отсюда легко выводится. То есть тут переворот рассуждений. (Но можно поступать и по другому, с не меньшим успехом. Как в Атанасяне, например.)

(4) То, что поворот --- движение, не доказывается тоже. Это можно было бы пояснить через признак равенства треугольников по двум сторонам и углу. Но его тоже не доказывают.

(5) Предл. 24, 25, 26. Три признака конгруэнтности треугольников. Справедливость их усматривается из построения (т.е., из наглядности).

(6) Утверждения про пересечение прямой и окружности при разных случах их взаимного
расположения не доказываются, а постулируются. И потом используются неоднократно. А, например, есть теорема 28, о том, что диаметр, перпендикулярный к хорде, делит её и
стягиваемую ею дугу пополам. При этом используется, неявно, то, что прямая, содержащая хорду, пересекает окружность лишь дважды. Но это утверждение формулируется (да и без доказательства!) лишь позднее. Опять же, признак конгруэнтности прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе (т.е. те же яйца сбоку) дается без доказательства (очевидно, считается наглядно ясным из пересечения окружности и прямой).

Это главные художества в составе второй главы. Дальше (в третьей и далее) тоже есть многое, что не доказывается (и доказывается в традиционных курсах), но мне это описывать в деталях утомительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоровская реформа, учебники и т.д.
Сообщение11.01.2020, 19:18 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
10) Есть еще одна характерная черта колмогоровского учебника. Обычный учебник устроен так: сначала из аксиомы подвижности выводятся признаки равенства треугольников (или конгруэнтности, да хоть горшком назови... См. анекдот про одноногого негра. Я имею в виду, что "конгруэнтность" или "равенство" --- это совершенная мелочь, на фоне других проблем. Пожалуй, конгруэнтность даже лучше.)

(Онигдод)

Женщина изменила мужу с негром. Любовь принесла плоды. Ближе к известному
сроку женщина решила мужа морально готовить.

" --- Дорогой, мне снился странный сон ...
--- Какой ?
--- Мне снилось, что у меня родился ребенок негр, и с одной ногой ...
--- Не волнуйся, всё будет в порядке ! "

И вот, счастливый отец приезжает в роддом.

Доктор: " --- Знаете, у вас с ребенком не всё
хорошо ...
--- Что такое ?
--- Понимаете, он черный ...
--- Одноногий ??!
--- Да нет ...
--- Ну, слава богу ! А мы уж с женой боялись... "

А потом уже признаки равенства служат основным орудием для доказательства других
утверждений.

В отличие от этого, в колмогоровском учебнике там и сям используются симметрии и рассуждения с симметриями. Но симметрии --- это довольно сложная сущность, особенно, если ученик с более простыми еще не освоился. Точки, прямые, лучи --- это единичные объекты, или в крайнем случае множества точек. А симметрии --- это отображения множеств, т.е. следующая ступень в лестнице понятий. А человек всегда будет стремиться мыслить более простыми сущностями, до тех пор, пока это возможно. Иное было бы просто расточительно.

Смотрим на примеры: в линейной алгебре, допустим, сначала излагается, что такое пространства, зависимость, базисы и размерность, подпространства и др., и только потом переходят к отображениям. То же самое с группами, топологическими пространствами, многообразиями, категориями, и т.д. Т.е. сначала любые сущности изучаются "в статике", а потом уже "в динамике", т.е. во взаимодействии с другими.

Таким образом, способ изложения в учебнике Колмогорова противоречит объективным закономерностям познавательной деятельности (или как тут лучше выразиться... Короче, всё то же "покорение реальности"). Примеры --- в предыдущем абзаце. А говоря по-русски --- зачем приплетать сложное, когда можно обойтись простым ?

Здесь можно было бы возразить: использование аксиомы подвижности --- это тоже использование утверждений об отображениях. Но на это отвечаем, что (а) это использование производится один раз, глобально, и дальше про него можно не вспоминать, (б) ученик, в крайнем разе, может признаки равенства треугольников принять просто наглядно, и (в) в Погорелове аксиома подвижности вообще дана лишь в крайне ограниченной форме, не как утверждение об отображениях плоскости на себя, а как "аксиома откладывания треугольника".

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоровская реформа, учебники и т.д.
Сообщение12.01.2020, 00:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
vpb в сообщении #1434583 писал(а):
То, что отрезок с одним концом внутри, а с другим вне пересекает окружность --- в школьном курсе не докажешь

Вот это меня заинтересовало.

Доказуемо ли в школьном курсе (по любому из учебников) эквивалентное утверждение:
- по двум произвольным сторонам, и произвольному боковому углу, смежному с меньшей стороной, можно отложить треугольник?

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоровская реформа, учебники и т.д.
Сообщение12.01.2020, 07:25 
Заслуженный участник


18/01/15
3075
Чтобы доказать, что отрезок пересекается с окружностью, надо использовать свойства полноты прямой, или строгую теорию вещественных чисел. Это в школьный курс не входит.

Если принять аксиому параллельных и то, что из каждого положительного числа можно извлечь квадратный корень, тогда доказать можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоровская реформа, учебники и т.д.
Сообщение12.01.2020, 14:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
vpb в сообщении #1434649 писал(а):
Если принять аксиому параллельных и то, что из каждого положительного числа можно извлечь квадратный корень, тогда доказать можно.

Ага, спасибо!

А существование квадратного корня где-то в школьной алгебре постулируется, как я понимаю. Явно или неявно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоровская реформа, учебники и т.д.
Сообщение12.01.2020, 16:14 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
vpb в сообщении #1434649 писал(а):
Чтобы доказать, что отрезок пересекается с окружностью, надо использовать свойства полноты прямой, или строгую теорию вещественных чисел. Это в школьный курс не входит.

Строгая теория вещественных чисел в школьный курс не входит, однако, число $\pi$ спокойно в школе используется, как и всевозможные $\ln 2,\arctg 5$, и т п, и ни кого это не напрягает. Это я к тому, что при построении школьных курсов надо не столько гнаться за абсолютной строгостью, сколько видеть перспективу, а у "школьной" геометрии перспективы нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоровская реформа, учебники и т.д.
Сообщение12.01.2020, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
pogulyat_vyshel в сообщении #1434717 писал(а):
при построении школьных курсов надо не столько гнаться за абсолютной строгостью, сколько видеть перспективу, а у "школьной" геометрии перспективы нет.
Почему-то, когда мне надо поменять стропило или нарисовать фотошаблон для прибора, с помощью школьной геометрии это сделать проще, чем с помощью аналитической.

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоровская реформа, учебники и т.д.
Сообщение12.01.2020, 16:52 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
amon в сообщении #1434722 писал(а):
Почему-то, когда мне надо поменять стропило или нарисовать фотошаблон для прибора, с помощью школьной геометрии это сделать проще, чем с помощью аналитической.

это немного не в кассу

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоровская реформа, учебники и т.д.
Сообщение12.01.2020, 17:04 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
amon
Я думаю, одно дело понятия элементарной геометрии, а другое — всё здание школьной геометрии вместе. Мы вполне можем наверно с какой-то целью представить некоторое расположение фигур и то, как потом начертить его, не используя второе, только первые и знания о них, которые можно получить в принципе разными способами, не обязательно как часть второго. Да и например то, как начерченное воплотить в материале, уже явно далеко от школьной или нешкольной геометрии, так и сам метод начертить кстати не так близок (даже к задачам на построение).

Плюс пользуется ли, скажем, человек школьной химией, занимаясь фотопроцессами с плёнкой? Вряяяд ли. (Мало того, на школьной химии даже реакции-то те не особо рассматривают, ну кроме разве что почернения плёнки на свету, но и то в какой глубине это можно рассмотреть в школе — и как это поможет при фотографии?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоровская реформа, учебники и т.д.
Сообщение12.01.2020, 17:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
5003
ФТИ им. Иоффе СПб
pogulyat_vyshel в сообщении #1434725 писал(а):
это немного не в кассу
Зависит от толкования слова "перспектива".

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоровская реформа, учебники и т.д.
Сообщение12.01.2020, 17:36 
Аватара пользователя


31/08/17
2116
amon в сообщении #1434729 писал(а):
pogulyat_vyshel в сообщении #1434725 писал(а):
это немного не в кассу
Зависит от толкования слова "перспектива".

нет, это зависит от толкования слова "школьная геометрия"

 Профиль  
                  
 
 Re: Колмогоровская реформа, учебники и т.д.
Сообщение12.01.2020, 19:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
amon в сообщении #1434722 писал(а):
Почему-то, когда мне надо поменять стропило или нарисовать фотошаблон для прибора, с помощью школьной геометрии это сделать проще, чем с помощью аналитической.

Фотошаблоны как раз обычно рисуются "в аналитической", как ломаные, вершины которых заданы координатами.

И уж циркулем и линейкой их не размечают.

-- 12.01.2020 19:05:43 --

arseniiv в сообщении #1434727 писал(а):
Плюс пользуется ли, скажем, человек школьной химией, занимаясь фотопроцессами с плёнкой?

Если подразумевать, что он понимает, что не стоит пробовать химреактивы на вкус... :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 89 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group