Будем постить трактат понемногу...
Пожалуй, следует конкретно написать, в чем состоят "ужасы колмогоровщины" (более точно --- недостатки, иногда весьма крупные, его учебника). Будем писать не в порядке важности, а скорее в порядке чтения текста.
1) Отмечу, как уже писал выше, что есть издание 1979 г., а есть более раннее, скажем 1976-1977. Я буду их иногда между собой сравнивать. Справедливости ради, в более позднем издании кое-что лучше, чем в более раннем, но чаще все же наоборот. Книжки за 7 и 8 классы есть в либрусеке, а за 6 нигде нет, только на сайте "fremus" избранные страницы (где-то треть) в режиме предпросмотра.
2) Хочу еще обратить внимание на
статью Неретина.
3) Как известно, колмогоровский учебник и колмогоровская реформа вообще критиковалась за излишнее внедрение теоретико-множественного подхода. Это вопрос сложный. Польза в том, что от теоретико-множественных обозначений несколько сокращается язык, а что еще важнее, в трудных случаях ТМ-понятия помогают мыслить. Будущему студенту-математику оне необходимы (впрочем, сколько таких будущих студентов ?), будущему инженеру могут быть полезны (немного, и то только при изучении математики), и в еще большей степени могут быть полезны программисту. Остальным --- не особо. Вред --- (а) время занимают на овладение собой (немного, впрочем), (б) у некоторых порождают отношение к математике, как к каким-то лингвистическим играм из пустого в порожнее, (в) а у некоторых, которые овладели зачатками
ТМ-языка, могут привести к распуханию ЧСВ --- дескать, "я знаю кое-что из математики". (На форуме видели примеры). Но в целом вреда (потенциального) мало.
4) Неравенство треугольника, которое дается в качестве аксиомы, выглядит подозрительно. Во всех традиционных курсах это теорема. Похоже, что и в колмогоровской аксиоматике (как она дана в конце учебника) тоже, но не уверен (есть тонкие моменты). Во всяком случае, у учителя, прошедшего традиционное обучение, это место может вызвать разрыв шаблона.
5) Предложение 14 (аксиома разбиения плоскости). Разъяснено очень невнятно. В предыдущем издании, и в других книгах, объяснение гораздо яснее.
-- 09.01.2020, 04:49 --6) Предложение 15 (о взаимном расположении двух окружностей). Никакого доказательства того, что при
окружности пересекаются в двух точках, нет. Что пересечение есть, доказать было бы трудно (нужна аксиома полноты, строгая теория измерения углов и т.д.). Но то, что точек пересечения не более двух, в школьном курсе доказать можно легко. Ан нет ! (Ниже вернемся к этому месту).
7) И вот глава 2. Сначала объясняются отображения, обратимые отображения, и отображения, сохраняющие расстояние.
Понять, что такое отображение фигуры на фигуру вообще, особенно учитывая, что в 6 классе в этот же момент проходили отображения и на алгебре, было бы (и было, мне лично) нетрудно. Также можно было понять, что такое "отображения, сохраняющие расстояние", и конгруэнтность фигур. Как-то было понято и то, что конгруэнтность рефлексивна, симметрична и транзитивна.
Но там был более абстрактный момент. Если отображение инъективно и сюръективно, то оно обратимо (в учебнике другие термины используются, но суть такая). Сейчас то это совершенно тривиально, да наверное, и к концу школы было тривиально тоже. Но, хотя это утверждение и тривиально, уразуметь его шестиклассник бы не смог. Во всяком случае у меня ничего подобного в голове не задержалось тогда.
(Должен сказать, что я весьма высокого мнения о своих способностях. Поэтому я считаю, что если мне что-то тогда "не зашло", то вероятность, что оно зашло кому-то другому, очень мала (чуть ли не гомеопатическая).)
(О способностях)
Я подробностей своей "умственной биографии" писать не буду, но читатель может сделать какие-то выводы из некоторых моих постов на форуме по математике.
На самом-то деле это утверждение достаточно сложно (и вытекающее из него утверждение о том, что отображение "на", сохраняющее расстояния, имеет обратное). (Я в этом не так давно убедился, когда пытался объяснять преобразования плоскости (в применении к компьютерной графике) одному человеку, недавно закончившему школу.). А простым оно кажется лишь в силу привычности.
То, что конгруэнтность рефлексивна и т.д., было мне понятно (но не сразу!), но не на уровне логики и множеств, а скорее наглядно. А на уровне логики и множеств, так чтобы это самому можно было изложить, всё стало понятным гораздо позже. Примерно тогда же, когда в 8 классе говорили о поворотах (композиции и обратном повороте), и плюс в заочной школе тоже была тема про симметрии.
И, что характерно, в учебнике этот материал про обратимость изложен (в пар.15, 16) очень кратенько. Я уверен, что это не только ученикам невозможно было понять, но и учителю тоже (разве что если учитель этот вопрос заранее уже знал) ! Потому что на самом деле в математике в этом месте мыслей много, и на страницу их уложить нельзя.
И еще. Чтоб то место понять, надо уже иметь достаточно "разработанную" голову, т.е. определенную привычку к умозрению и рассуждению. А откуда она бы у ученика могла взяться ? В предшествующем материале учебника есть лишь пять очень коротких доказательств (и еще некоторое число задач). То есть материала для развития мышления недостаточно. Прежде чем понимать какие-то абстрактные рассуждения про множества точек и вообще множества, ученик должен был бы долго тренировать мышление на более конкретных вещах, как-то отрезках, прямых, углах, треугольниках и т.д. А этого не было сделано. (Всё то же самое относится не только к тому месту про обратимость, но и вообще к теоретико-множественным рассуждениям).
(Примечание. Из тех книжек, по которым нас учили, в сети есть лишь за 7 класс. А за 6 частично. Строго говоря, мои воспоминания относятся не к изданию 1979 г. Но думаю, разница не так уж велика).
равно 
" и "