Колмогоровская реформа, учебники и т.д.

[vpb]

8) Затем идет конгруэнтность, измерение углов, и вот перпендикуляры (предложение 19). Тут остановимся подробнее.

В разных учебниках перпендикуляр (т.е. утверждения (1) "из любой точки на прямой можно восставить перпендикуляр, причем ровно один", и (2) "из любой точки вне прямой можно опустить перпендикуляр, причем ровно один") трактуется по разному. Рассмотрим в деталях.

(а) Киселев. (1) считается очевидным (каковым и является, т.к. принимается постулат откладывания угла). (2) --- через существование осевой симметрии, по существу. А ее существование ---- частный случай аксиомы подвижности (впрочем, внимание на этом не акцентируется). Таким образом, доказательство не использует аксиому параллельных.

(б) Колмогоров. (1), и (2) --- оба постулируются ("приложим угольник").

(в) Погорелов. (1) --- существование --- из аксиомы откладывания угла. После чего единственность --- "от противного" (что-то бессмысленное, т.к. из той же аксиомы очевидна). (2) --- доказывается позже, с использованием аксиомы параллельных.

(г) Атанасян. (1) --- даже не обсуждается, т.к. очевидно. (2) --- доказывается то ли через первый признак равенства треугольников, то ли через симметрию. (При этом доказательство какое-то путаное, как будто сначала кто-то доказал через треугольники, а потом другому соавтору зазудело вставить свои пять копеек, хотя бы и не совсем по делу, и он написал что-то про симметрию.) (Отметим, что в "пробном учебнике" Атанасяна от 1981 г. доказательство через треугольники, без всякой путаницы, но по другому, и совершенно ясно.) При этом аксиома параллельных не используется.

(д) Мерзляк. (1) --- существование через откладывание, и непонятно зачем --- единственность от противного. (2) --- существование вообще никак (через угольник ?), единственность --- через симметрию. (В общем, что-то непонятное).

(е) Шлыков. (1) --- откладывание. (2) --- существование и единственность --- через признаки равенства треугольников (всё идеально ясно, и аксиома параллельных не используется).

Что видим ? Есть мнение, дескать, учебник Атанасяна --- самый примитивный, Погорелов --- более серьезный, Колмогоров --- круче всех, а Киселев вообще мамонтово гэ. А Шлыков вообще никому не известен.

В общем, просматривается закономерность типа

$$ (\text{польза и понятность})\times (\text{научность (якобы) с понтами}) =\operatorname{const}$$

(Шлыков)

Но в Шлыкове есть удивительное место. Точнее нет как раз. Аксиома подвижности отсутствует напрочь (и ее аналог, аксиома откладывания треугольника). Т.е. не просто пробел или дыра, а черная дыра.

(Оффтоп)

Уфф, ну и накатал... И это пока меньшая часть.

[Munin]

vpb в сообщении #1434072 писал(а):

Понять, что такое отображение фигуры на фигуру вообще, особенно учитывая, что в 6 классе в этот же момент проходили отображения и на алгебре, было бы (и было, мне лично) нетрудно.

Мне кажется, это как раз весьма трудный момент.
В 6 классе (и до конца школы, фактически) школьникам очень трудно даются абстракции. Приходится их давать постепенно и пояснять конкретными практическими примерами.

0. Отображение можно изобразить:
- набором стрелочек от элементов одного множества к элементам другого множества;
- табличкой значений: вот значения $x,$ вот соответствующие им значения $y$;
- графиком (как дискретным - табличка с закрашенными клеточками, так и графиком функции);
Во-первых, требуется время и привычка, чтобы эти способы сопоставить между собой, и чтобы из них возникло некоторое абстрактное "понимание отображения". Во-вторых, сами функции в 6 классе пока известны в небольшом ассортименте. А $\mathbb{R}$ - бесконечное множество, и рассуждать с ним трудно.

Кстати, замечу, что
- не изучается отображение путём перемещения элементов одного множества, чтобы они совместились с элементами второго множества.

1. Отображение фигуры на фигуру - скорее всего, уважаемый vpb понимает здесь фигуру как "множество точек, подмножество множества точек плоскости". Здесь два контринтуитивных момента:
- даже когда школьники рисовали графики функций $\mathbb{R}\to\mathbb{R},$ это были отображения одномерного пространства в одномерное. Здесь потребуется как минимум отображение двумерного пространства в двумерное, что и студентам-то часто сложно;
- от отображения точек в точки надо "подняться" до отображения множеств точек во множества точек.

2. После того, как человеку рассказали про множества и их отображения, ему очень легко представить себе множества $\{\text{треугольник }ABC\}$ и $\{\text{треугольник }DEF\},$ и отображение между ними. Эта идея как раз возникает естественней, когда человек слышит "отображение фигуры на фигуру". И встаёт проблема объяснить, что это не то́.

3. Ещё один вариант неправильной интерпретации: понимать, скажем, треугольник как множество $\{\text{вершина }A,$ $\text{вершина }B,$ $\text{вершина }C,$ $\text{ребро }AB,$ $\text{ребро }BC,$ $\text{ребро }AC\}$ (опционально с внутренностью), и соответственно подразумевать отображение его на другой треугольник. Это даже может подойти к некоторым рассуждениям и теоремам в учебнике. Но это тоже не то́.

Так что, боюсь, уважаемый vpb судит с высоты своего опыта, и не ставит себя на место школьника или школьного учителя.

[arseniiv]

Как раз когда я пытался некогда в школе подложить под математику какой-то такой фундамент, чтобы можно было что-то автоматически доказывать, я понял, что треугольник — это кошмар. (С одной стороны это множество точек. С другой в нём явно выделены специальные подмножества. И иногда он без внутренности, а иногда с, и входят ли вершины в стороны или нет; наконец, у меня в голове не было тогда должной ясности, чтобы даже задать себе вопросы как следует.) В общем даже до алгоритма Тарского я в тот раз не дошёл, хотя может и не из-за путаницы, а из-за недостатка литературы и наведения.

[vpb]

Продолжим.

9) Одно из ярких воспоминаний от учебника Колмогорова --- то, что я там впервые прочитал, что такое определение, аксиома, теорема, доказательство. Я даже помню две первых теоремы: (1) две прямые пересекаются в одной точке, и (2) обратное неравенство треугольника. (Обе находятся в одном и том же пункте 4, кстати). Пожалуй, ни в одном другом учебнике эти понятия столь ярко и выпукло не объясняются. Тут учебник сыграл большую роль в понимании.
Впрочем, я читал и другие книжки.

Но, при таком хорошем начале, дальше в Колмогорове с теоремами и доказательстве весьма неважно. Сплошь и рядом что-то или оставляется без доказательства, или обосновывается наглядностью, или переворачивается, в отношении логического порядка, с ног на голову. В общем, каша. Вот краткий обзор.

(1) Про несколько типов линий (окружность; прямая; объединение двух лучей с общим началом; замкнутая ломаная без самопересечений) утверждается, что они разбивают плоскость на две области. Без доказательств. Но (а) с прямой то, что имеется разбиение на два подмножества, с известным свойством --- аксиома, в любом курсе; а то, что эти подмножества открыты --- вполне можно доказать (и в колмогоровкой аксиоматике тоже). Но почему-то не доказывается. (б) С окружностью примерно то же самое. То, что отрезок с одним концом внутри, а с другим вне пересекает окружность --- в школьном курсе не докажешь, а остальное вполне.
(в) про два луча --- вообще полностью доказуемо. (г) про ломаную --- действительно сложно (но открытость легко).

(2) Предложения $18_1$ -- $18_4$, про углы (тут нельзя упрекнуть за то, что оставлено без доказательства, т.к. в школьном учебнике это невозможно).

(3) Ни существование перпендикуляра, ни то, что осевая симметрия --- движение, не доказывается. На самом деле, существование осевой симметрии --- частный случай аксиомы подвижности, а возможность опустить перпендикуляр отсюда легко выводится. То есть тут переворот рассуждений. (Но можно поступать и по другому, с не меньшим успехом. Как в Атанасяне, например.)

(4) То, что поворот --- движение, не доказывается тоже. Это можно было бы пояснить через признак равенства треугольников по двум сторонам и углу. Но его тоже не доказывают.

(5) Предл. 24, 25, 26. Три признака конгруэнтности треугольников. Справедливость их усматривается из построения (т.е., из наглядности).

(6) Утверждения про пересечение прямой и окружности при разных случах их взаимного
расположения не доказываются, а постулируются. И потом используются неоднократно. А, например, есть теорема 28, о том, что диаметр, перпендикулярный к хорде, делит её и
стягиваемую ею дугу пополам. При этом используется, неявно, то, что прямая, содержащая хорду, пересекает окружность лишь дважды. Но это утверждение формулируется (да и без доказательства!) лишь позднее. Опять же, признак конгруэнтности прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе (т.е. те же яйца сбоку) дается без доказательства (очевидно, считается наглядно ясным из пересечения окружности и прямой).

Это главные художества в составе второй главы. Дальше (в третьей и далее) тоже есть многое, что не доказывается (и доказывается в традиционных курсах), но мне это описывать в деталях утомительно.

[vpb]

10) Есть еще одна характерная черта колмогоровского учебника. Обычный учебник устроен так: сначала из аксиомы подвижности выводятся признаки равенства треугольников (или конгруэнтности, да хоть горшком назови... См. анекдот про одноногого негра. Я имею в виду, что "конгруэнтность" или "равенство" --- это совершенная мелочь, на фоне других проблем. Пожалуй, конгруэнтность даже лучше.)

(Онигдод)

Женщина изменила мужу с негром. Любовь принесла плоды. Ближе к известному
сроку женщина решила мужа морально готовить.

" --- Дорогой, мне снился странный сон ...
--- Какой ?
--- Мне снилось, что у меня родился ребенок негр, и с одной ногой ...
--- Не волнуйся, всё будет в порядке ! "

И вот, счастливый отец приезжает в роддом.

Доктор: " --- Знаете, у вас с ребенком не всё
хорошо ...
--- Что такое ?
--- Понимаете, он черный ...
--- Одноногий ??!
--- Да нет ...
--- Ну, слава богу ! А мы уж с женой боялись... "

А потом уже признаки равенства служат основным орудием для доказательства других
утверждений.

В отличие от этого, в колмогоровском учебнике там и сям используются симметрии и рассуждения с симметриями. Но симметрии --- это довольно сложная сущность, особенно, если ученик с более простыми еще не освоился. Точки, прямые, лучи --- это единичные объекты, или в крайнем случае множества точек. А симметрии --- это отображения множеств, т.е. следующая ступень в лестнице понятий. А человек всегда будет стремиться мыслить более простыми сущностями, до тех пор, пока это возможно. Иное было бы просто расточительно.

Смотрим на примеры: в линейной алгебре, допустим, сначала излагается, что такое пространства, зависимость, базисы и размерность, подпространства и др., и только потом переходят к отображениям. То же самое с группами, топологическими пространствами, многообразиями, категориями, и т.д. Т.е. сначала любые сущности изучаются "в статике", а потом уже "в динамике", т.е. во взаимодействии с другими.

Таким образом, способ изложения в учебнике Колмогорова противоречит объективным закономерностям познавательной деятельности (или как тут лучше выразиться... Короче, всё то же "покорение реальности"). Примеры --- в предыдущем абзаце. А говоря по-русски --- зачем приплетать сложное, когда можно обойтись простым ?

Здесь можно было бы возразить: использование аксиомы подвижности --- это тоже использование утверждений об отображениях. Но на это отвечаем, что (а) это использование производится один раз, глобально, и дальше про него можно не вспоминать, (б) ученик, в крайнем разе, может признаки равенства треугольников принять просто наглядно, и (в) в Погорелове аксиома подвижности вообще дана лишь в крайне ограниченной форме, не как утверждение об отображениях плоскости на себя, а как "аксиома откладывания треугольника".

[Munin]

vpb в сообщении #1434583 писал(а):

То, что отрезок с одним концом внутри, а с другим вне пересекает окружность --- в школьном курсе не докажешь

Вот это меня заинтересовало.

Доказуемо ли в школьном курсе (по любому из учебников) эквивалентное утверждение:
- по двум произвольным сторонам, и произвольному боковому углу, смежному с меньшей стороной, можно отложить треугольник?

[vpb]

Чтобы доказать, что отрезок пересекается с окружностью, надо использовать свойства полноты прямой, или строгую теорию вещественных чисел. Это в школьный курс не входит.

Если принять аксиому параллельных и то, что из каждого положительного числа можно извлечь квадратный корень, тогда доказать можно.

[Munin]

vpb в сообщении #1434649 писал(а):

Если принять аксиому параллельных и то, что из каждого положительного числа можно извлечь квадратный корень, тогда доказать можно.

Ага, спасибо!

А существование квадратного корня где-то в школьной алгебре постулируется, как я понимаю. Явно или неявно.

[pogulyat_vyshel]

vpb в сообщении #1434649 писал(а):

Чтобы доказать, что отрезок пересекается с окружностью, надо использовать свойства полноты прямой, или строгую теорию вещественных чисел. Это в школьный курс не входит.

Строгая теория вещественных чисел в школьный курс не входит, однако, число $\pi$ спокойно в школе используется, как и всевозможные $\ln 2,\arctg 5$, и т п, и ни кого это не напрягает. Это я к тому, что при построении школьных курсов надо не столько гнаться за абсолютной строгостью, сколько видеть перспективу, а у "школьной" геометрии перспективы нет.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1434717 писал(а):

при построении школьных курсов надо не столько гнаться за абсолютной строгостью, сколько видеть перспективу, а у "школьной" геометрии перспективы нет.

Почему-то, когда мне надо поменять стропило или нарисовать фотошаблон для прибора, с помощью школьной геометрии это сделать проще, чем с помощью аналитической.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1434722 писал(а):

Почему-то, когда мне надо поменять стропило или нарисовать фотошаблон для прибора, с помощью школьной геометрии это сделать проще, чем с помощью аналитической.

это немного не в кассу

[arseniiv]

amon
Я думаю, одно дело понятия элементарной геометрии, а другое — всё здание школьной геометрии вместе. Мы вполне можем наверно с какой-то целью представить некоторое расположение фигур и то, как потом начертить его, не используя второе, только первые и знания о них, которые можно получить в принципе разными способами, не обязательно как часть второго. Да и например то, как начерченное воплотить в материале, уже явно далеко от школьной или нешкольной геометрии, так и сам метод начертить кстати не так близок (даже к задачам на построение).

Плюс пользуется ли, скажем, человек школьной химией, занимаясь фотопроцессами с плёнкой? Вряяяд ли. (Мало того, на школьной химии даже реакции-то те не особо рассматривают, ну кроме разве что почернения плёнки на свету, но и то в какой глубине это можно рассмотреть в школе — и как это поможет при фотографии?)

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1434725 писал(а):

это немного не в кассу

Зависит от толкования слова "перспектива".

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1434729 писал(а):

pogulyat_vyshel в сообщении #1434725 писал(а):

это немного не в кассу

Зависит от толкования слова "перспектива".

нет, это зависит от толкования слова "школьная геометрия"

[Munin]

amon в сообщении #1434722 писал(а):

Почему-то, когда мне надо поменять стропило или нарисовать фотошаблон для прибора, с помощью школьной геометрии это сделать проще, чем с помощью аналитической.

Фотошаблоны как раз обычно рисуются "в аналитической", как ломаные, вершины которых заданы координатами.

И уж циркулем и линейкой их не размечают.

-- 12.01.2020 19:05:43 --

arseniiv в сообщении #1434727 писал(а):

Плюс пользуется ли, скажем, человек школьной химией, занимаясь фотопроцессами с плёнкой?

Если подразумевать, что он понимает, что не стоит пробовать химреактивы на вкус... :-)