Гипотеза Римана

[Exp0]

Среди недавних работ по теме этой ветки, выделяется результат Terence Tao
(Tao - матем.феномен с IQ=230, получивший с полсотни наград, включая недавнюю Riemann Prize) $\Lambda \geqslant 0$ :
исследуя поток тепла и соответствующие нули heat-flow-and-zeroes, он подтвердил, что простые нули $P(t,x)$ двигаются при изменении времени $t$,
а после их столкновения (став кратным нулём), сходят с прямой !
Newman Charles M. сконструировал из $\chi$-функции Римана семейство функций $H (t, z)$ с параметром $t$ и доказал, что существует действительное число $\Lambda: -1/8 < \Lambda < \infty$ такое, что $H (t, z)$ имеет только действительные нули когда $t \leqslant \Lambda$ , но появляются комплексные при $t > \Lambda$.
Эту константу $\Lambda$ называют константой де Брёйна-Ньюмана, более того Ньюман доказал существование неулучшаемой постоянной $\Lambda$, для которой выполняется это утверждение.
К 2011 году оценку этой константы с помощью суперкомпов и близких пар корней довели до $\Lambda > -1.1 \cdot 10^{-11}$ и наконец в 2018 году Rodgers B. и Tao T. доказали, что $\Lambda \geqslant 0$ (- русский перевод).
Лучшая же оценка сверху $\Lambda \leqslant 0.22$ - проект D.H.J. POLYMATH 2019,8. Похоже неулучшаемая $\Lambda$ просто равна нулю (верхняя оценка совпадает с нижней),
при $t=0$ функция $H (t, z)$ по определению совпадает с $\chi$-функцией Римана и из работ Ньюмана $H(\Lambda,z)$ имеет только действительные нули,
поэтому $\Lambda \geqslant 0$ подтверждает Гипотезу Римана, а $\Lambda = 0$ докажет ГР !

[Pphantom]

Exp0, замечание за хронически неправильный набор формул (cообщение исправлено после перемещения в Карантин).

[kkapitonets]

У Тао несомненно речь идет о преходе $a_2a_1$,

kkapitonets в сообщении #1419967 писал(а):

Если рассмотреть...

т.е. промежуток $(\beta_n, \beta_{n+1})$ между точками Грама вторго рода $\cos\theta(\beta)=0$, который ограничен слева точкой $\beta$ второго типа (для этих точек нули сдвигаются вправо) и справа точкой $\beta$ первого типа (нули сдвигаются влево), т.е. этот промежуток содержит два нуля дзета-функции Римана, при определенных условиях эти нули становятся "«парами Лехмера» (пары нулей дзета-функции, которые были необычно близки друг к другу)", и рассматривается гипотетический случай, когда $\alpha_n>\alpha_{n+1}$.
Далее приводится попытка использования уравнения теплопроводности и множество оговорок по поводу получения окончательного результата, но результат так и не получен.

При этом, когда заходит речь по пары Лехмера, никто не пытается понять их происхождение - они просто есть и у них такие-то свойства, но никакого анализа.

Хотя ясно, что пары Лехмера происходят из двух типов точек Грама второго рода.

Теперь о том, могут ли эти нули "наскочить" друг на друга, тогда вместо ситуации Рис.1 мы получим ситуацию Рис.2?


Рис.1

Рис.2
У Мозера есть Лемма (http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa31/aa3114.pdf), которая касается функции Харди $Z(t)=e^{i\theta}\zeta(1/2+it)=2\sum_{n=1}^m{\frac{\cos(\theta-t\log{n})}{\sqrt{n}}+O(t^{-1/4})}$ и точек Грама первого рода $\sin\theta(t_{\nu})=0$.

$\sum_{T\le t_{2\nu}\le T+H}{Z(t_{2\nu})}=-\frac{1}{2\pi}H\log{\frac{T}{2\pi}}+O(T^{1/8+\Delta/2}\log{T})$

$\sum_{T\le t_{2\nu+1}\le T+H}{Z(t_{2\nu+1})}= \frac{1}{2\pi}H\log{\frac{T}{2\pi}}+O(T^{1/8+\Delta/2}\log{T})$

где $0<H\le\sqrt[4]T,$ пусть $H=T^{1/8+\Delta/2}\psi(T)$, где $0<\Delta<1/4$ и $\psi(T)$ - очень медленно растущая функция.

Из этой Леммы следует, что "почти все" $Z(t_{2\nu})<0$ и "почти все" $Z(t_{2\nu+1})>0$.

Остается понять, что происходит с остальными $Z(t_{2\nu})$ и $Z(t_{2\nu+1})$.

Я берусь утверждать, что для любого $Z(t_{2\nu})$ найдется такое $\lambda_1$, что $\beta_{2\nu}<t_{2\nu}+\lambda_1<\beta_{2\nu+1}$ и $Z(t_{2\nu}+\lambda_1)<0$ и для любого $Z(t_{2\nu+1})$ - такое $\lambda_2$, что $\beta_{2\nu+1}<t_{2\nu+1}+\lambda_2<\beta_{2\nu+2}$ и $Z(t_{2\nu+1}+\lambda_2)>0$ , а ситуация на Рис.2 может быть получена только искусственным путем.

[maravan]

Коллеги, всем доброго времени суток, я сейчас готовлю публикацию на одном, достаточно известном в рунете сайте, про гипотезу Бернхарда Римана, в публикации будет доказано, почему все комплексные корни с мнимой частью $\neq 0$ имеют действительную равную $\frac{1}{2}$.
Будет показана стратегия решения и применение этой стратегии для решения гипотезы.
Наверняка есть ошибка, но мне интересна тема, и хотелось бы понять, где ошибка.

Хотел уточнить у модераторов, исходя из п. 5.1, после того, как будет опубликована статья, смогу ли я оставить на нее ссылку в этой теме?

[Pphantom]

maravan в сообщении #1429515 писал(а):

Хотел уточнить у модераторов, исходя из п. 5.1, после того, как будет опубликована статья, смогу ли я оставить на нее ссылку в этой теме?

Если вам интересна тема и интересно, где именно ошибка, то излагайте все это прямо на форуме (но, пожалуй, не в этой теме, она и так уже малочитаема). Просто давать ссылку на другой форум не надо.

[Exp0]

Цитата:

ясно, что пары Лехмера происходят из двух типов точек Грама второго рода

, - что это за два типа и как из них происходят пары, хочется пояснений от kkapitonets.
Удачно изменено название "опорные точки" на точки Грама второго рода, но Лемер американский математик и именовать его по немецки Лехмером не стоит: D. H. Lehmer в статье 1956 года изучал нарушения правил Грама и привёл пары близких нулей. Эти нули бесспорно важны и для численных экспериментов я выбрал две такие минимальных пары: [111.02953554 , 111.87465918) и [231.250188700 , 231.987235253) .
В литературе (O. Shanker [2019,1] и др.) встречается утверждение, что найден Грам-интервал с номером 1423302021, содержащий сразу 5 нулей Дзета-функции Римана (с тремя нулями таких интервалов много), поэтому возвращаясь к вопросу от 10.10.2019, 08:39 "А если будет промежуток D - три (или больше!) нетривиальных нулей между базовыми точками?", получаем, что где бы не находилась точка Грама второго рода в этом Грам-интервале от неё справа или слева до соседней точки Грама второго рода будет по крайней мере три нуля!

В следующем воскресном посте поиграем с частичными суммами Дзета-функции Римана :)

[kkapitonets]

Этого не может быть, потому что один ноль соответствует половине оборота оси симметрии, т.е. одному пересечению осью симметрии нуля комплексной плоскости одним из ее концов, ось может обернуться «быстро», но тогда она только два раза успеет пересечь ноль комплексной плоскости между двумя точками Грама второго рода.
Пока ось симметрии делает половину оборота, первый средний вектор делает полный оборот.

Теперь, что такое ось симметрии, первый средний вектор и типы точек Грама второго рода.
Как известно, формула Римана-Зигеля является следствием приближенного уравнения Харди-Литлвуда. Риман вывел приближенное уравнение самостоятельно и, в отличие от Харди и Литлвуда, вывел остаточный член этой формулы в явном виде. Именно явный вид остаточного члена позволяет вычислять, а не только оценивать, значение дзета-функции Римана.
Если представить слагаемые приближенного уравнения Харди-Литлвуда векторами, то первая сумма является частичной суммой рядя Дирихле, а вторая сумма является суммой средних векторов (название мое), т.к. эти вектора соединяют центры спирали Римана (название мое) и образуют обратную спираль Римана (название мое). Если убрать лишние вектора, то между векторами спирали Римана и обратной спирали Римана образуется промежуток, который является остаточным членом приближенного уравнения.
При $\sigma=1/2$ полученная система векторов имеет ось зеркальной симметрии, которая, в силу неподвижности первого вектора спирали Римана, вращается в два раза медленнее первого среднего вектора, т.е. первого вектора обратной спирали Римана. Который в свою очередь, в соответствии с приближенным уравнением, вращается по закону $-\theta(t)=Arg(\chi(1/2+it))/2$.
Соответственно, умножая приближенное уравнение на $e^{i\theta(t)}$, получаем при $\sigma=1/2$ формулу Римана-Зигеля.

Далее все просто, в точках Грама второго рода первый средний вектор занимает положение обратное по направлению первому вектору и, в соответствии с зеркальной симметрией, конец первого среднего вектора в точке Грама второго рода $\beta$ будет находиться на комплексной оси, маловероятно в этом случае будет ноль дзета-функции, но мы это учтем на всякий случай.
Тогда если $\zeta(1/2+i\beta)=|\zeta(1/2+i\beta)|i$ или $\zeta(1/2+i\beta)=0$, то это точка Грама второго рода первого типа, а если $\zeta(1/2+i\beta)=-|\zeta(1/2+i\beta)|i$, то точка Грама второго рода второго типа.
Очевидно, что как при обратном вращении оси симметрии из положения точки Грама второго рода первого типа, так и при прямом вращении из положения точки Грама второго рода второго типа, ось симметрии пересечет ноль комплексной плоскости.

Что касается пяти точек на Грам интервале, то, например, в работе https://pdfs.semanticscholar.org/6eff/62ff5d98e8ad2ad8757c0faf4bac87546f27.pdf?_ga=2.204243152.1524029325.1577009399-1573854374.1576731482Гордона также указывается такой интервал и даже указываются параметры одной точки Грама первого рода, но не указывается численные значения корней, поэтому это сообщение требует проверки расчетом.
К сожалению, я такой расчет не могу выполнить быстро, т.к. требуется приложение, которое поддерживает большие числа.

[kkapitonets]

Немаловажно другое определение типов точек Грама второго рода, которое основано на свойствах функции Харди (см. пост про леммы Мозера). Умножая функцию Римана на $e^{i\theta(t)}$ мы переходим к подвижной системе координат, в которой точки Грама второго рода можно определить следующим образом:
первого типа, если $Z(\beta_{2n})\le 0$ и $Z(\beta_{2n+1})\ge 0$;
второго типа, если $Z(\beta_{2n})>0$ и $Z(\beta_{2n+1})<0$,
где $\beta_{2n}$ -четные точки, а $\beta_{2n+1}$ - нечетные точки Грама второго рода.

Далее все решает производная функции Харди (зеленый график), которая имеет один ноль (с поправкой на Лемму) на каждом промежутке $(\beta_n, \beta_{n+1})$



Лемма I) Для любого $Z(\gamma_{2n})$ найдется такое $\lambda_1$, что $\gamma_{2n}+\lambda_1\in(\beta_{2n}, \beta_{2n+1})$ и $Z(\gamma_{2n}+\lambda_1)>0$ и для любого $Z(\gamma_{2n+1})$ найдется такое $\lambda_2$, что $\gamma_{2n+1}+\lambda_2\in(\beta_{2n+1}, \beta_{2n+2})$ и $Z(\gamma_{2n+1}+\lambda_2)<0$.

II) Для любого $Z'(\beta_{2n})$ найдется такое $\mu_1$, что $\beta_{2n}+\mu_1\in(\gamma_{2n-1}, \gamma_{2n})$ и $Z'(\beta_{2n}+\mu_1)<0$ и для любого $Z'(\beta_{2n+1})$ найдется такое $\mu_2$, что $\beta_{2n+1}+\mu_2\in(\gamma_{2n}, \gamma_{2n+1})$ и $Z'(\beta_{2n+1}+\mu_2)>0$.

где $\gamma$ - точка Грама первого рода, $Z$ - функция Харди, $\beta$ - точка Грама второго рода, $Z'$ - производная функции Харди

PS
Я думаю (уверен), что пять нулей это или неправильная разметка промежутков или колебание погрешности вычислений (так иногда выглядит погрешность при дискретных вычислениях).

[kkapitonets]

гипотетически путём смещения одной "гармоники" расширенной функции Харди можно "столкнуть" пары Лемера, причём ноль второй проекции дзета-функции удивительным образом будет смещаться в сторону касания графиков первой проекции, но что-то мне подсказывает, что в этом случае мы получаем две пары кратных нулей, что противоречит формуле Римана-Мангольдта:)

на самом деле пары не "сталкиваются" $\alpha_{4530}=1/2+5010.811172546i$ и $\alpha_{4531}=1/2+5010.933198106i$

L11 - функция Харди (имеет одну проекцию, вторая тождественно равна нулю)
расширенная функция Харди имеет две проекции:
L9 и L13 проекции на нормаль к оси симметрии
M9 и M13 проекции на ось симметрии
при $\sigma=0.47$ и $\sigma=0.53$ соотвтетсвенно
PS
графики пересекаются не случайно, это точное пересечение в соответствии с функциональным уравнением

[kkapitonets]

kkapitonets в сообщении #1431800 писал(а):

что в этом случае мы получаем две пары кратных нулей, что противоречит формуле Римана-Мангольдта

вот так появляются и уходят в небытие простые решения сложных задач, что никто не заметил - я тоже не сразу, но это единственная аналитическая зацепка, почему-то, когда речь заходит о комплексных нулях, то все предполагают, что если не вышло двух действительных нулей, то должно быть только два комплексных, а на деле два то не получается, если комплексные, то четыре, потому как кратные они (по определению, т.к. производная в этой точке тоже равна нулю)

все пояснения после размещения статьи (я знаю, как показать, что эти два лишних нуля "не приползли" из других промежутков)

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1419457 писал(а):

А как узнать при вычислениях нетривиальных нулей, что это кратный ноль? Ведь в этом случае повторяется старое значение.

Я повторяю старый вопрос, так как не получил на него ответа участников. Имеется в виду вычисление численными методами. Возможно при вычислениях мы уже давно имеем дело с кратными нулями? Производная тоже вычисляется с погрешностью.

[kkapitonets]

vicvolf в сообщении #1432045 писал(а):

Я повторяю старый вопрос

здесь это очевидно, т.к. является косвенным следствием функционального уравнения - три точки сходятся в одну только в точке минимума (в данном случае), а в точке минимума первая производная равна нулю

ничего вычислять не надо - в этом и сила и красота доказательства - просто аналитическое свойство, которое надо было заметить уже давно

PS
в вычислениях мы не имеем такого случая, т.к. все (ну или почти все) пары Лемера идентифицированы

кратный ноль возникает, когда график касается прямой $Z=0$, т.к. касание всегда происходит в точке максимума или минимума, во всех остальных случаях два простых нуля

и в этом случае опять не надо вычислять производную

PS
вычисления действительно все с погрешностью и на них на построишь доказательства гипотезы Римана, нужно было свойство, которое не требует вычислений, я с самого начала искал такое аналитическое решение и нашёл его

PS
графики только для визуализации

[Exp0]

Новогоднее моделирование спиралей ряда Дирихле, пояснения:
cнять галочку в квадратике animation - остановить анимацию, можно изменить параметры или продолжить дальше.
$s = (re,im)$ - действительная и мнимая части точки старта (при $re = 0.5$ идём по критической прямой),
отображается векторная сумма ряда Дирихле от 1 до $N$ - количество точек (по умолчанию $N=200$),
$autoAdjustN$ автоматическая установка $N = \max (200 , [im/3])$ - этого достаточно для графической точности отображения бесконечного ряда (сняв эту галочку можно установить любое натуральное).
Двигаемся по оси $\operatorname{Re}(s)= re$ со скоростью $imRate$ - изменение $im$ за секунду (при $imRate < 0$ движение регулярнее :)
Проход конца спирали через начало координат, показывает что сумма $= 0$, а значение $s$ в этот момент соответствует нулю (Дзета-функции Римана при $re = 0.5$ ) - всё наглядно и в динамике, подробнее о спиралях повествует K.Kapitonels. PS. Готовлю пост о 5 нулях.

[kkapitonets]

посыпаю голову пеплом и удаляюсь (дилетантам не место в математике)

кратные нули у действительной части расширенной функции Харди, а у самой функции производная не равна нулю, поэтому нули простые

поэтому остается один путь, доказать, что

$2>\abs(2\sum_{n=2}^{m}{\frac{\cos(\theta-t\log{n})}{\sqrt{n}}}+R)$

а это практически не возможно

[Exp0]

Исследуем упоминавшийся выше, уникальный случай скопления пяти нулей
(Админу: работающие Wolfram-команды имеют несовпадения с WiKi и TeХ-форматами, например $Pi = \pi$ ):

Объявлен Грам-интервал скопления нулей G5 = (g3680295786520, g3680295786521] , найдём его концы аппроксимируя
Ламбертом ${N[2 Pi Exp[1+LambertW[(8 n+1)/(8 E)]],28]},n = 3680295786520 .. 3680295786521$
$\to$ (935203331168.83376037711094422 , 935203331169.0779937597712719] и уточним их
$FindRoot[RiemannSiegelTheta[x] ==Pi 3680295786520, {x, 935203331168.833760377111},$ $WorkingPrecision \to 32]$
(тоже для правого конца) $\to$ (935203331168.83376037711094248872 , 935203331169.07799375977127012817],
длина интервала L = 0.2442...
Для проверки подставим в $RiemannSiegelTheta[935203331168.833760377111]/ Pi $\to$ 3680295786520.00000000000$ О~K.

Аналогично вычислим три перемежающихся с этими (целыми) точками Грама, точки второго рода,
которые лучше именовать как полуцелые точки Грама:
g3680295786519.5 = 935203331168.71164368578077773926 ,
g3680295786520.5 = 935203331168.95587706844110661836 ,
g3680295786521.5 = 935203331169.20011045110143301815 .

Протабулируем с небольшим шагом $L/100$ исследуемый отрезок и места смены знака дзета-функции Римана-Зигеля,
мельчим методом хорд до получения нужной точности ($FindRoot$ использует метод Ньютона и для нашего случая не сходится часами),
- так были найдены следующие пять нулей в интервале G5 :
если обозначить целую часть первых нулей через x5 = 935203331168 , тогда они с точностью 24 значащие цифры равны
ZG5 = {x5 + 0.844185249430 , x5 + 0.890443154703 , x5 + 0.942043993996 , x5 +1.040638575814 , x5 +1.067788597127} ,
для контроля считаем $RiemannSiegelZ[x]$ в 5 точках Грама и этих 5 нулей, упорядоченных по возрастанию
$= {0.400351, 0.00271045, 0,, 0., 0., -0,000929224, 0., 0., -0.00195496, -0,363137}$ (есть скан счёта с 16 цифрами),
полученные значения подтверждают график в конце статьи X.Gourdon (2004,10).

Таким образом, первые три нуля ZG5 попадают в полуцелый Грам-интервал (g3680295786519.5 , g3680295786520.5]
и утверждение kkapitonels от 10.10.2019 требует доработки.