Парадокс обмена

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1425243 писал(а):

Мне кажется, разница в том, что в этом случае исходы $X/2$ и $2X$ гарантированно равновероятны в каждом раунде. А в исходной постановке случай $2X$ как минимум в некоторых раундах имеет вероятность ниже, чем $X/2$.

Тем, что последнее - вообще не игровая задача. В этой постановке результат не зависит от ведущего (не считая не имеющей отношения к делу величины X).

Только, наверное, Вы хотели сказать не "орел - платишь $X/2$, решка - получаешь $2X$", а "орел - получаешь $X/2$, решка - получаешь $2X$".

В игровой задаче, в отличие от последней, результат зависит от стратегии раскладывания по конвертам. И равновесная стратегия такова, что меняться или не меняться - равноценно.

[sergey zhukov]

epros в сообщении #1425464 писал(а):

Только, наверное, Вы хотели сказать не "орел - платишь $X/2$, решка - получаешь $2X$", а "орел - получаешь $X/2$, решка - получаешь $2X$".

Да.

epros в сообщении #1425464 писал(а):

В игровой задаче, в отличие от последней, результат зависит от стратегии раскладывания по конвертам. И равновесная стратегия такова, что меняться или не меняться - равноценно.

Примерно так: я играю N раз, строю приближенное распределение суммы в своем конверте, приписываю такое же распределение противнику, нахожу медиану этого распределения и меняюсь, когда получаю сумму меньше медианной? Тогда в исходной формулировке игрок считает, что всегда находится слева от медианы, сколько бы он ни получил.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1425823 писал(а):

я играю N раз, строю приближенное распределение суммы в своем конверте, приписываю такое же распределение противнику, нахожу медиану этого распределения и меняюсь, когда получаю сумму меньше медианной?

Нет. Просто, считая противника рациональным, находим равновесную стратегию и действуем в соответствии с ней. Как в игре в чёт-нечет. Остальное - от лукавого.

[EUgeneUS]

epros
"Противник - рационален" - это нулевая гипотеза. Которую можно (и нужно) проверять.
Иначе, если противник не рационален, Вы теряете деньги.

А вот как её проверять - это "от лукавого"

[epros]

EUgeneUS, эта задача полностью аналогична игре в чёт-нечет. Вы с этим согласны? Тогда Ваше замечание относится и к игре в чёт-нечет.

Если Вы будете пытаться "проверять" рациональность противника (очевидно, анализируя историю его ходов), то предоставите более умному чем Вы противнику замечательную возможность стабильно Вас обыгрывать.

[upgrade]

После обмена игроки оставляют конверты себе, то есть сумма денег у каждого накапливается и надо найти стратегию при которой сумма какого-то игрока станет больше.
После очередного обмена сумму на руках у игроков можно записать:
$S=S+x/2$
или
$S=S+2x$

После того как выпал второй вариант, учтём, что количество слагаемых $x/2$ и $2x$ должно быть одинаковое, значит если сделаем количество обменов после выпадения $2x$ четным, то в пределе общая сумма будет больше, чем если сделать нечетное количество обменов.
Таким образом, после выпадения $2x$ на нечетный обмен, либо не надо уже делать никакого обмена либо надо сделать четное количество обменов.
Если же игрок не может подсчитывать сумму выигрыша до окончания игры, то выигрышной стратегии нет.

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1425898 писал(а):

EUgeneUS, эта задача полностью аналогична игре в чёт-нечет. Вы с этим согласны?

Эта задача не полностью аналогична игре в чет-нечет, так как
а) имеется третье лицо, которое готовит конверты, и об интересах которого из условий ничего неизвестно.
б) в условиях не определено, что делать, если один игрок настаивает на обмене, а второй отказывается.

epros в сообщении #1425898 писал(а):

Тогда Ваше замечание относится и к игре в чёт-нечет.

Согласен.

epros в сообщении #1425898 писал(а):

Если Вы будете пытаться "проверять" рациональность противника (очевидно, анализируя историю его ходов), то предоставите более умному чем Вы противнику замечательную возможность стабильно Вас обыгрывать.

1. Вы же сами где-то выше писали, что за нерациональную стратегию игрок может\должен быть наказан.
Вопрос: как наказать противника, если он использует нерациональную стратегию?

2. Что значит "более умному"? Как формализовать величину ума?

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1425903 писал(а):

) имеется третье лицо, которое готовит конверты, и об интересах которого из условий ничего неизвестно.

Это третье лицо на самом деле и есть Ваш противник.

EUgeneUS в сообщении #1425903 писал(а):

б) в условиях не определено, что делать, если один игрок настаивает на обмене, а второй отказывается.

Это некая корявость в условиях. На самом деле этот персонаж ничего для Вас не значит. Максимум, он может помешать Вам меняться, когда Вы этого захотите. Но тут уж ничего не поделаешь.

EUgeneUS в сообщении #1425903 писал(а):

1. Вы же сами где-то выше писали, что за нерациональную стратегию игрок может\должен быть наказан.
Вопрос: как наказать противника, если он использует нерациональную стратегию?

Попытка "спрогнозировать" стратегию противника на основании каких-то сведений, которые только косвенно могут о ней свидетельствовать, это и есть нерациональная стратегия. Другое дело, если у Вас есть достоверное знание о стратегии противника. Тогда рациональным будет его использовать.

EUgeneUS в сообщении #1425903 писал(а):

2. Что значит "более умному"? Как формализовать величину ума?

Тот, кто думает хотя бы на одну мысль дальше Вас. Это значит, что этот человек сможет повторить Ваши рассуждения о том, как Вы будете на основании исторической информации прогнозировать его стратегию, а потом выбрать свой ход исходя из этого.

[Sicker]

epros в сообщении #1425912 писал(а):

Тот, кто думает хотя бы на одну мысль дальше Вас. Это значит, что этот человек сможет повторить Ваши рассуждения о том, как Вы будете на основании исторической информации прогнозировать его стратегию, а потом выбрать свой ход исходя из этого.

А если мы имеем идеально умных оппонентов, то получим бесконечную регрессию мыслей, что в конечном итоге сведется к вероятностному выбору возможных вариантов для обоих игроков

[epros]

Sicker в сообщении #1425915 писал(а):

А если мы имеем идеально умных оппонентов, то получим бесконечную регрессию мыслей, что в конечном итоге сведется к вероятностному выбору возможных вариантов для обоих игроков

А если мы имеем идеально умных оппонентов, то они оба будут применять равновесную стратегию, а не заниматься убогими попытками прогнозировать стратегию противника по истории его ходов.

[EUgeneUS]

А если мы имеем одного идеально умного оппонента с честной монеткой и калькулятором, а второго с кривой монеткой и без калькулятора?

[worm2]

Замечу, что идеально умный ведущий положит в оба конверта 0.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1425918 писал(а):

А если мы имеем одного идеально умного оппонента с честной монеткой и калькулятором, а второго с кривой монеткой и без калькулятора?

Ну я же говорю, если есть достоверное знание о кривости монетки и калькулятора, то нужно его использовать. Но строить предположения на основании косвенных данных не следует, ибо на этом Вас могут подловить.

-- Чт ноя 14, 2019 16:44:35 --

worm2 в сообщении #1425932 писал(а):

Замечу, что идеально умный ведущий положит в оба конверта 0

Если рассматривать сумму в конвертах как вложение в рекламу передачи, то не обязательно.

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1425933 писал(а):

Ну я же говорю, если есть достоверное знание о кривости монетки и калькулятора, то нужно его использовать.

А если у нас нет достоверного знания о кривости монетки.
А есть, например, достоверное знание, что а) оппонент пользуется монеткой, б) монетка может быть кривой, а может и не быть кривой.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1425943 писал(а):

монетка может быть кривой, а может и не быть кривой

Это вообще не знание, а его отсутствие. Вот если достоверно известно, что противник принимает решение по броску монеты, которая орлом выпадает вдвое чаще решки, то это знание.