Парадокс обмена

[EUgeneUS]

epros
Мысль, конечно, интересная.
Не могли бы Вы как-то обосновать первую часть.

[epros]

Первая я часть - это там, где "в условиях отсутствия информации о стратегии противника"? Ну так нерационально потому, что проиграете. Если противник Вашу стратегию разгадает.

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1424075 писал(а):

Ну так нерационально потому, что проиграете. Если противник Вашу стратегию разгадает.

Или противник проиграет, если я разгадаю его стратегию (или обнаружу ошибку в ГСЧ).

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1424058 писал(а):

Если нет никакой дополнительной информации об организаторах и их мотивации (а перед началом первого раунда её нет по условиям),

У нас, по условиям, нет никакой информации также и о мотивации игрока.
Но это и не важно.

Мы только должны понимать, что мотивация организаторов - не превысить некоторый лимит игры,
выделенный, скажем, неким спонсором.

Чтобы реализовать такую цель, организаторы могут реализовать принцип лотереи,
приводящей к Санкт-Петербургскому парадоксу, вывернув его на изнанку.
К известному парадоксу приводит лотерея, в которой игрок угадывает, какой стороной выпадет монетка,
причем с каждым туром сумма выигрыша игрока удваивается.
Если игрок не угадал - игра заканчивается.

Сделаем то же самое, только наоборот.
Пусть у нас имеется призовой фонд в размере $X$ денег.
Для первого тура возьмем от призового фонда $3X/4$ денег,
и разложим их по конвертам: в один - $X/2$ в другой - $X/4$.
Причем процедура раскладки нам здесь не принципиальна.
Если игрок угадывает конверт с большей суммой, не важно, сразу, или после смены конверта,
игра заканчивается. Игрок получает свой приз $X/2$, фанфары и фейерверк за счет заведения.
$X/2$ остается у организаторов.

Если игрок выбрал конверт с меньшей суммой $X/4$ - эти деньги остаются ему, и объявляется "утешительный" раунд.
В этом раунде суммы в двух конвертах в два раза меньше, чем в первом раунде:$X/4$ и $X/8$.
Если игрок выбирает ( опять-таки стратегия игрока не имеет значения) конверт с большей суммой, $X/4$, -
игра заканчивается, общая сумма, полученная игроком, составит $X/4+X/4=X/2$, и $X/2$ остается у организаторов.
Игрок может выиграть свой приз сразу целиком, или забирать его частями,
проигрывая неограниченное количество раз до первого выигрыша,
он может исходить из того, что меняться выгодно всегда, или не выгодно никогда, не важно.
Выигрыш игрока составит в любом случае $X/2$.
Выигрыш организаторов, что характерно, также составит $X/2$,
поскольку сэкономленную часть выигрышного фонда они возвращать спонсору не будут.

[EUgeneUS]

Лукомор
Такая схема раскладывания по конвертам противоречит условию: "игра продолжается многократно".
Ибо игра может окончиться после первого раунда.

-- 05.11.2019, 11:25 --

Лукомор
В общем виде раскладка в одном раунде описывается так:
$X_1 = 2 B Y_1 + (1-B) Y_2$
$X_2 = B Y_1 + 2 (1-B) Y_2$

где, $X_1, X_2$ - случайные величины в первом и втором конверте.
$Y_1$, $Y_2$ - любые случайные величины. Они могут быть зависимы друг от друга, могут быть не зависимы. Более того, могут быть вообще константами.
$B$ - честная монетка.
И, что важно, нам никто не обещал, что в каждом раунде это будут одни и те же случайные величины.

Да, (при бесконечной делимости суммы) можно устроить такую процедуру, которая
а) будет длиться вечно
б) игрок не получит больше некой ограниченной суммы.
Для этого в каждом раунде игрок не должен получить сумму больше $1/2$ от оставшейся.

Если $Y_{1i}$ и $Y_{2i}$ - константы, $i$ - номер раунда. Тогда можно записать ограничение: $Y_{1i}, Y_{2i} \leqslant S_i/4$, где $S_i$ - оставшаяся сумма к $i$-у раунду.

Однако, если $B$ - не честная монетка, и игрок чаще угадывает её значение, чем не угадывает, то он получит в среднем больше, пытаясь угадать $B$, чем если будет использовать другую честную монетку на своей стороне.

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1424080 писал(а):

Такая схема раскладывания по конвертам противоречит условию

Она также противоречит условию, что участвуют два равноправных игрока,
а не игрок и ведущий.

Я, в данном случае, отвечал на ваше:

EUgeneUS в сообщении #1424058 писал(а):

Если нет никакой дополнительной информации об организаторах и их мотивации (а перед началом первого раунда её нет по условиям)...

и продемонстрировал мотивацию организаторов при игре ведущего против игрока.

Ваше сообщение, которое я процитировал выше, также противоречит условию: участвуют два игрока.
Организаторов в такой игре может не быть.
Призовой фонд могут составить сами игроки, поставив на банк по $S/2$ от общей суммы $S$,
которую некий незаинтересованный арбитр разложит по двум конвертам в количествах $S/3$ и $2S/3$.

Если предположить, что играют трое, то в каждом туре двое делают ставки, а третий раскладывает их по конвертам,
причем этот третий в каждом туре будет следующий, по кругу.

Это Вам дополнительная информация об организаторах и их мотивации перед началом первого раунда.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1424077 писал(а):

Или противник проиграет, если я разгадаю его стратегию (или обнаружу ошибку в ГСЧ).

Нет, не так. По указанным условиям у Вас есть только историческая информация, а информации о стратегии противника нет. Вы можете только предполагать что-то о стратегии противника (например, что у него сломался ГСЧ), что не является полностью достоверным знанием. А вот если (тоже в силу условий задачи) противник получит достоверную информацию о том, что Вы стоите свою стратегию на основе обработки статистики (например, разведка донесла), то он Вас обыграет.

[EUgeneUS]

epros
секундочку. С разведками и прочими телепатиями неинтересно.

Есть два игрока. Пусть они играют в чет-нечет. Оба накапливают исторические данные.
Разведок и телепатии нет. Другой информации нет.
Вопрос: должен ли игрок анализировать исторические данные и корректировать свою стратегию в зависимости от них или нет?

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1424080 писал(а):

Однако, если $B$ - не честная монетка, и игрок чаще угадывает её значение, чем не угадывает, то он получит в среднем больше, пытаясь угадать $B$, чем если будет использовать другую честную монетку на своей стороне.

Ну и объясните тогда, чем отличаются, с точки зрения игрока, два случая : $B=0$ и $B=1$?
В первом случае расклад по конвертам будет:
$x_1=Y_2$
$x_2=2Y_2$
Во втором случае:
$x_1=2Y_1$
$x_2=Y_1$

Особенно если учесть, что перед игроком два одинаковых конверта,
и ему неизвестно, который из них $x_1$, а который $x_2$ ?

-- Вт ноя 05, 2019 11:03:17 --

EUgeneUS в сообщении #1424087 писал(а):

Вопрос: должен ли игрок анализировать исторические данные и корректировать свою стратегию в зависимости от них или нет?

Подбрасывается монетка.
Каждый раз новая, в смысле совершенно другая.
Вопрос: должен ли игрок анализировать исторические данные и корректировать свою стратегию в зависимости от них или нет?

[podih]

(Оффтоп)

Будь это шоу реальным, всё свелось бы к вопросу "Много/мало денег это сколько?" - с критически субъективным ответом у каждого.
1. О, здесь 50 000. На путёвку с семьёй хватит".
2. Хм, 50 000. Только на ремонт квартиры. А капремонт авто? А, ладно, была не была".
Разведка здесь вероятнее со стороны ... начал писать - и подумал: разведка желаний трудное дело. Скорее, это обоюдный процесс, однаково опыто-неуспешный. Помните в "Спецназе"?:
- А если он знает, что я знаю, что он знает?
- Тогда ... я тебя уважаю.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1424087 писал(а):

Есть два игрока. Пусть они играют в чет-нечет. Оба накапливают исторические данные.
Разведок и телепатии нет. Другой информации нет.
Вопрос: должен ли игрок анализировать исторические данные и корректировать свою стратегию в зависимости от них или нет

Но хотя бы полная информация о рациональности обоих игроков есть? Тогда Вы уже можете исходить из того, что противник не глупее Вас, а значит если Вы выберете детерминированную стратегию, то Вас просчитают. Анализ исторических данных - это детерминированная стратегия.

Соображения о том, что исторические данные несут какую-то информацию о стратегии противника - весьма мало достоверны, ибо любые методы их обработки основаны на взятых с потолка априорных предположениях.

-- Вт ноя 05, 2019 13:44:49 --

podih в сообщении #1424099 писал(а):

всё свелось бы к вопросу "Много/мало денег это сколько?"

Да это вообще не имеет значения. По-сути, ситуация ничем не отличается от игры в чёт-нечет.

[Лукомор]

(Оффтоп)

epros в сообщении #1424102 писал(а):

Тогда Вы уже можете исходить из того, что противник не глупее Вас, а значит если Вы выберете детерминированную стратегию, то Вас просчитают.

Цитата:

Чемпион мира по шахматам норвежский гроссмейстер Магнус Карлсен:
"Мой стандартный процесс мышления такой:
мой соперник – идиот, до тех пор,
пока не доказано обратное"

-- Вт ноя 05, 2019 11:58:31 --

(Оффтоп)

podih в сообщении #1424099 писал(а):

А, ладно, была не была

... и забрать себе оба конверта.

Кстати, это единственная выигрышная стратегия в такой игре.

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1424102 писал(а):

Но хотя бы полная информация о рациональности обоих игроков есть?

Если информация о рациональности обоих игроков полная, это означает, другими словами, что априорная вероятность, что игрок рационален равна ровно единице.
И никакая последовательность исторических данных не изменит эту единицу.
Если мы положим априорную вероятность, что игрок не рационален, не ровно единицу (но сколько угодно близко к ней), то, например, при какой-то длине последовательности четов или нечетов апостеорная вероятность, что игрок рационален станет меньше $1/2$.

epros в сообщении #1424102 писал(а):

Анализ исторических данных - это детерминированная стратегия.

Нет же. Стратегия - это чет или нечет. Смешанная стратегия - это с вероятностью $p$ чет, а с вероятностью $1-p$ - нечет.
А анализ исторических данных - это способ определения $p$.

epros в сообщении #1424102 писал(а):

ибо любые методы их обработки основаны на взятых с потолка априорных предположениях.

Все верно. Многое зависит от априорной вероятности, что противник рационален. Есть два принципиально отличающихся случая:
а) $p=1$, и она всегда останется единицей
б) $p = 1 - \varepsilon$, и если противник не рационален, апостеорная вероятность рано или поздно, окажется меньше $1/2$. Если же противник рационален, то будет очень маловероятно, что апостеорную вероятность "мотнет" к $1/2$.

-- 05.11.2019, 13:15 --

Лукомор в сообщении #1424093 писал(а):

Особенно если учесть, что перед игроком два одинаковых конверта,
и ему неизвестно, который из них $x_1$, а который $x_2$ ?

$X_1$ и $X_2$ с точки зрения игрока различаются.
Например, $X_1$ - это в конверте справа, а $X_2$ - в конверте слева.

[epros]

EUgeneUS в сообщении #1424108 писал(а):

Если информация о рациональности обоих игроков полная, это означает, другими словами, что априорная вероятность, что игрок рационален равна ровно единице.

Кроме того, об этом знает его противник,
кроме того, его противник знает, что игрок знает, что противник рационален,
кроме того, его противник знает, что игрок знает, что противник знает, что игрок рационален
...

EUgeneUS в сообщении #1424108 писал(а):

Стратегия - это чет или нечет.

Я называю это "ход". Страгегия - это способ выбора хода. Детерминированная стратегия - это когда ход рассчитывается исходя из некоторой информации детерминированным образом, т.е. без использования генератора случайных чисел. Например, рассчитав, что апостериорная вероятность выбора "чёт" противником равна 51% (а Вы должны угадать его ход), Вы выбираете "чёт". Недетерминированная (смешанная) стратегия - это если Вы в такой ситуации выбираете ход с помощью генератора случайных чисел. Например, с вероятностью 51% выберете "чёт", а с вероятностью 49% - "нечет".

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1424117 писал(а):

Например, рассчитав, что апостериорная вероятность выбора "чёт" противником равна 51% (а Вы должны угадать его ход), Вы выбираете "чёт". Недетерминированная (смешанная) стратегия - это если Вы в такой ситуации выбираете ход с помощью генератора случайных чисел. Например, с вероятностью 51% выберете "чёт", а с вероятностью 49% - "нечет".

Видите ли, если я рассчитал апостеорную вероятность "51% что противник сыграет "чет"", то это условная вероятность: "противник играет в 51% случаев "чет", при условии, что я придерживаюсь той стратегии (смешанной), которой придерживался до этого". Что будет, если я изменю стратегию - неизвестно ничего.
Поэтому не факт, что резкое изменение стратегии в детерминированную "всегда играть "чет"", будет лучшим выбором.
ИМХО, лучше аккуратно исследовать, что будет при небольших перекосах в сторону "чета", то есть:

epros в сообщении #1424117 писал(а):

Например, с вероятностью 51% выберете "чёт", а с вероятностью 49% - "нечет".