Парадокс обмена

[sergey zhukov]

Если других мнений нет, то подытожу, что я отсюда вынес.

Ведущий может распределить деньги за два случайных шага так:
1 - Случайно выбрать величину общей суммы;
2 - Случайно разделить ее между игроками.

Здесь общая сумма определена до начала раздела.
На первом шаге ведущий столкнется с тем, что бесконечного равномерного случайного распределения не существует, поэтому большие суммы неизбежно будут разыгрываться реже маленьких. Тогда рассуждение игрока неверно как минимум для достаточно больших $x$, т.к. фактически он говорит "разыгрываемая сумма равновероятно равна либо $x+x/2$, либо $x+2x$ независимо от $x$". Здесь игрок ошибается не в свою пользу для достаточно больших $x$.

Ведущий может распределить деньги за три случайных шага так:
1 - Случайно выбрать сумму $x$, которую получит один из игроков;
2 - Случайно выбрать этого игрока;
3 - Случайно выбрать, что получит второй - $x/2$ или $2x$.

Здесь общая сумма определена уже после раздела.
В этом случае рассуждения игрока верны только в половине случаев, когда на втором шаге монетка указала на него. Если же на втором шаге монетка указала на оппонента, то его рассуждения будут неверны. Здесь игрок ошибается не в свою пользу просто в половине случаев независимо от $x$.

Вывод: рассуждения игрока ошибочны всегда, но объяснить ошибку можно по разному в зависимости от того, как мы представляем себе способ раздачи денег.

[EUgeneUS]

sergey zhukov в сообщении #1428862 писал(а):

Если других мнений нет, то подытожу, что я отсюда вынес.

Н-да. Каждый выносит, что хочет.

ИМХО. Имеет смысл вынести следующее:

Первое:

DeBill в сообщении #1427980 писал(а):

Вот уже 11 страниц народ дружно занимается фигней, обсуждая, в терминах теории вероятности, задачу, которая не является задачей по теории вероятностей (а является задачей философской, в духе известного анекдота про шестой этаж борделя для женщин). Фишка в чем: нет вероятностного пространства (каковое и является математической моделью случайного эксперимента) - нет и никакой науки, и никаких вероятностей. А использование вероятностной терминологии при этом - это просто вешание лапши на уши..

Второе:
Но так и подмывает записать:
$X_2 = 2 P X_1 + (1-P) X_1/2$
Причем никакой ошибки мы тут не сделали

(Оффтоп)

Запись говорит следующее:
а) в каждом опыте сумма во втором конверте (значение случайной величины $X_2$) либо в два раза больше, либо в два раза больше суммы в первом конверте (значения случайной величины $X_1$), либо в два раза меньше.
б) больше, или меньше - определяется значением случайной величины $P$, имеющей распределение Бернулли, с параметром $p=0.5$
То есть просто переписали то, что известно о правилах игры

Но дальше-то очень хочется сделать так:

$$M[X_2] = M[2 P X_1 + (1-P) X_1/2] = \frac{3}{2} M[PX_1] + \frac{1}{2}M[X_1] \boldsymbol{=}(!) \frac{3}{2} M[P]M[X_1] + \frac{1}{2}M[X_1] = \frac{5}{4}M[X_1]$$

Что и делают игроки, приходя к противоречию друг с другом.
Но переход, отмеченный восклицательным знаком, незаконный. Его можно делать только, если случайные величины $P$ и $X_1$ независимы. А этого никто не обещал.

[sergey zhukov]

Да, короче и точнее математики еще пока ничего не придумали.

Действительно. Допустим, каждый игрок подсчитывает статистику и убеждается, что на самом деле в половине случаев у оппонента вдвое больше ($2x$), а в половине - вдвое меньше ($x/2$) денег, чем у него. Выгодно ли меняться и действительно ли в каждом отдельном случае $P(x)=0.5$? Легко показать, что ответ может быть каким угодно.

Ведущий определяет и $x$ и $P(x)$. Он легко может скореллировать две эти случайные величины так, чтобы случаи $2x$ и $x/2$ всегда выпадали с равной частотой, и при этом игрок или проигрывал, или выигрывал, или оставался на одном уровне. Существует бесконечное количество пар "(распределение $x$) / ($P=P(x)$)" с такими свойствами.

В рассматриваемом случае такая корреляция существует, а игрок предполагает, что ее нет. Когда он говорит "если у меня $x$, то с вероятностью $0.5$ у оппонента $2x$ или $x/2$", то фактически он говорит "при любом $x$ Р=0.5". Это все же не так.

[Lia]

Содержание темы чем далее, тем больше противоречит целям и названию раздела «Помогите решить / разобраться (М)».
Последняя страница - вся без исключений.

Закрыто.
Объяснения по существу были, но утонули в болоте бреда.