2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 15  След.
 
 Re: Парадокс обмена
Сообщение29.10.2019, 13:43 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
Mikhail_K в сообщении #1422878 писал(а):
А есть ли у Вас хотя бы что-то похожее, кроме общих слов, что приводило бы к рассмотрению среднего геометрического?

Ничего нет.
Более того, я сразу сказал, что рассматривать среднее геометрическое - это не правильно.
Хотя и приводит к правильному выводу: от обмена конвертами средний результат не меняется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс обмена
Сообщение29.10.2019, 13:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4845
Лукомор в сообщении #1422881 писал(а):
Хотя и приводит к правильному выводу: от обмена конвертами средний результат не меняется.
Так это неправильный вывод.
Если про распределение сумм вообще ничего не известно, то вопрос некорректен, и правильного ответа на него нет.
Если распределение известно, то это зависит от $x$, улучшает ли средний результат обмен конвертами. При одних $x$ улучшает, при других $x$ ухудшает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс обмена
Сообщение29.10.2019, 14:24 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
Mikhail_K в сообщении #1422878 писал(а):
В нахождении среднего геометрического нет смысла.

А можете прокомментировать вот это утверждение
из (извиняюсь!) Википедии (статья "Среднее Колмогорова"):
Цитата:
В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.

В два раза больше, и в два раза меньше - это ведь шкала отношений или нет?

-- Вт окт 29, 2019 13:29:51 --

Mikhail_K в сообщении #1422885 писал(а):
При одних $x$ улучшает, при других $x$ ухудшает.

Да.
При одних - улучшает, при других - ухудшает.
В среднем - не улучшает и не ухудшает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс обмена
Сообщение29.10.2019, 14:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1422839 писал(а):
Решающее правило сведётся к "Если в конверте меньше определённой величины, то меняй, если нет - то нет".
Далеко не для всех распределений.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс обмена
Сообщение29.10.2019, 15:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4845
Лукомор в сообщении #1422887 писал(а):
А можете прокомментировать вот это утверждение
из (извиняюсь!) Википедии (статья "Среднее Колмогорова"):
Но деньги-то в конвертах (то самое $x$) измеряются не в "разах", а в рублях. То как они между собой соотносятся - другой разговор.
Лукомор в сообщении #1422887 писал(а):
В среднем - не улучшает и не ухудшает.
Попытайтесь придать строгий смысл этому утверждению, чтобы можно было его комментировать.
Замечу, что среднее геометрическое между $x/2$ и $2x$ Вы находите не "в среднем", а для каждого конкретного $x$. Какой, по-Вашему, имеет смысл это среднее геометрическое для конкретного, фиксированного значения $x$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс обмена
Сообщение29.10.2019, 16:13 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
Mikhail_K в сообщении #1422894 писал(а):
Но деньги-то в конвертах (то самое $x$) измеряются не в "разах", а в рублях. То как они между собой соотносятся - другой разговор.

Деньги измеряются в рублях.
Но отношение количества денег в одном конверте к количеству денег в другом конверте
есть величина постоянная, не меняющаяся от одного расклада к другому.
Это задано условием.
Количество денег в конверте, величина переменная, и если в одном раскладе $100$ рублей - это большая из двух сумм, то в следующем раскладе $ 500$ рублей может оказаться меньшей из двух сумм.
Когда мы говорим что открытые в первом конверте $x$ рублей могут быть большей или меньшей суммой,
мы не должны забывать, что меньшей суммой она будет в раскладе
$ \left\lbrace x; 2x  \right\rbrace$, а большей - в раскладе $\left\lbrace x/2; x \right\rbrace$.
Для двух раскладов возможны всего четыре варианта выбора первого конверта и обмена его на второй:

$x/2 \to x$

$x    \to x/2$

$x   \to 2x $

$2x  \to x$

Суммируя, находим что до обмена эти четыре варианта дают $9x/2$, после обмена $9x/2$.
Мы же формулой "два раза плюс пол раза пополам" выбираем из четырех вариантов два более выгодных,
и теряем два менее выгодных, за счет чего получаем мнимый "выигрыш".

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс обмена
Сообщение29.10.2019, 16:23 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
Mikhail_K в сообщении #1422894 писал(а):
Какой, по-Вашему, имеет смысл это среднее геометрическое для конкретного, фиксированного значения $x$?

Никакого. Я же, еще не произнеся слова "среднее геометрическое", сразу предупредил, что это будет не правильно!

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс обмена
Сообщение29.10.2019, 22:18 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
Интересно, что обмен "выгоден" только в том случае, когда вскрываем конверт, смотрим, сколько в нем денег,
приходим к выводу, что в случае обмена получим в среднем $5x/4$ и после этого меняемся.
Если сделать наоборот, выбрать конверт, подержать его в руках, не вскрывая, и поменять его на второй,
а затем вскрыть этот второй, полученный в результате обмена конверт,
то можно убедиться, что такой обмен не выгоден.
Поскольку в конверте мы найдем $y$ рублей, а это значит, что в конверте,
который мы выбрали сперва, и отдали при обмене,
было либо $2y$, либо $y/2$ рублей, то-есть, в среднем, $5y/4$.
На каждом таком обмене мы теряем в среднем 20%, причем, если конвертами меняются между собой два игрока,
то теряют, в среднем, по 20% оба. :D

Тут главное, что при любом способе обмена вскрывать можно только один конверт.
В случае двух игроков, в каждом туре вскрывает конверт только один из двух игроков, а второй складывает себе не вскрытые конверты.
Если вскрывать оба конверта, то каждый из двух игроков получит в среднем $S/2$ рублей, где $S$ общая сумма разыгранных во всех раскладах денег, и никакого выигрыша не получится.

Последнее замечание относится только к двум чистым стратегиям:
либо менять конверты всегда, либо никогда не менять.

-- Вт окт 29, 2019 21:40:30 --

Mikhail_K в сообщении #1422894 писал(а):
Какой, по-Вашему, имеет смысл это среднее геометрическое для конкретного, фиксированного значения $x$?

Для любого расклада условием задано отношение:

$\frac{x}{x_1} = \frac{x_2}{x}$ ,

где $x$ - количество денег в одном из конвертов,
$x_1$ и $x_2$ - возможные значения количества денег в другом конверте.
Из этой пропорции получаем:
$x^2 = x_1\cdot x_2$ или

$x = \sqrt{x_1\cdot x_2}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс обмена
Сообщение30.10.2019, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10851
sergey zhukov в сообщении #1422517 писал(а):
Я вижу только такое объяснение: такая логика предполагает, что общая разыгрываемая сумма - это случайная величина, равномерно распределенная на бесконечном интервале.
Нет. На самом деле такая логика предполагает, что события "у противника вдвое больше" и "у противника вдвое меньше" равновероятны при условии, что у меня $x$. А вот почему это предположение неверно при любом распределении $x$, это уже второй вопрос к топикстартеру.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс обмена
Сообщение30.10.2019, 14:28 
Аватара пользователя


11/12/16
13850
уездный город Н
epros в сообщении #1422993 писал(а):
Нет. На самом деле такая логика предполагает, что события "у противника вдвое больше" и "у противника вдвое меньше" равновероятны при условии, что у меня $x$. А вот почему это предположение неверно при любом распределении $x$, это уже второй вопрос к топикстартеру.


Почему же неверно?
Суммы в конвертах величины зависимые.
Если нет ограничений на минимальную и максимальную сумму во втором конверте, то работает такая процедура:

1. Выбираем сумму в первом конверте $x$. Для её генерации можно использовать любое распределение.
2. Бросаем честную монетку, если орел удваиваем, если решка уполовиниваем $x$, получившуюся сумму кладем во второй конверт.
3. Игроку отдаем первый конверт.
4. Обменивать или не обменивать решает игрок.

Тогда для игрока
а) "события "у противника вдвое больше" и "у противника вдвое меньше" равновероятны при условии, что у меня $x$"
б) и это верно при любом распределении $x$
в) надо меняться.
UPD: г) рассуждения, приведенные в стартовом посте верны. Но их в праве делать только игрок, а не ведущий!

Модифицируем процедуру для двух игроков.
..
3. Перетусуем конверты (опять с помощью честной монетки) и раздадим их игрокам.

Тогда:
а. Вероятность что у первого игрока в два раза больше чем у второго - ровно половина. И наоборот. Вроде бы также, как и в первом варианте.
б. Опять же, как и в первом варианте, распределение $x$ может быть любым.
в. Однако, рассуждения, приведенные в стартовом посте, оказываются неверными для обоих игроков.

Вывод: знания, что в одном конверте в два раза больше, чем в другом, и даже знания, что события "у противника вдвое больше" и "у противника вдвое меньше" равновероятны, не хватает, чтобы принять решение: нужно меняться, не нужно, или всё равно. Нужны уточнения по процедуре подготовки конвертов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс обмена
Сообщение30.10.2019, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9149
Цюрих
EUgeneUS в сообщении #1422998 писал(а):
Тогда для игрока
а) "события "у противника вдвое больше" и "у противника вдвое меньше" равновероятны при условии, что у меня $x$"
б) и это верно при любом распределении $x$
Неправда. Для примера возьмите распределение $x \equiv 1$ и посчитайте вероятности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс обмена
Сообщение30.10.2019, 15:41 
Аватара пользователя


11/12/16
13850
уездный город Н
mihaild в сообщении #1423007 писал(а):
Неправда. Для примера возьмите распределение $x \equiv 1$ и посчитайте вероятности.


"50 на 50", монетка же честная.
В данном варианте процедуры $x$ - это сумма "в моем (в первом) конверте".

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс обмена
Сообщение30.10.2019, 16:15 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
EUgeneUS в сообщении #1422998 писал(а):
Тогда для игрока
а) "события "у противника вдвое больше" и "у противника вдвое меньше" равновероятны при условии, что у меня $x$"
б) и это верно при любом распределении $x$
в) надо меняться.

Надо меняться это при условии что игрок вскрыл конверт до обмена.
Если игрок поменял конверт "в тёмную", то, вскрыв второй конверт, он ровно также придет к выводу,
что меняться было не надо.
Потому что найдя во втором конверте $y$ рублей он сразу сообразит,
что в первом конверте, который он отдал не глядя, могло быть $2y$ или $y/2$, в среднем $5y/4$ рублей.
То-есть, до обмена ясно, что меняться выгодно, а после обмена ясно, что меняться было не выгодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс обмена
Сообщение30.10.2019, 17:53 
Аватара пользователя


11/12/16
13850
уездный город Н
Лукомор в сообщении #1423031 писал(а):
Надо меняться это при условии что игрок вскрыл конверт до обмена


Нет. В первой процедуре (в моем посте) игрок должен меняться, не вскрывая конверты. При этом распределение $x$ никакой роли не играет.

Если до обмена игрок вскрывает конверт, то должен он меняться или нет, зависит от той суммы, которую он нашел, и какие предположения он может делать относительно распределения $x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Парадокс обмена
Сообщение30.10.2019, 17:59 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
EUgeneUS в сообщении #1423042 писал(а):
В первой процедуре (в моем посте) игрок должен меняться, не вскрывая конверты. При этом распределение $x$ никакой роли не играет.

Если не вскрывать, то то же самое.
Взял конверт - меняться выгодно.
Поменялся - меняться было не выгодно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 214 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6 ... 15  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: sergey zhukov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group