Парадокс обмена

[Лукомор]

Mikhail_K в сообщении #1422878 писал(а):

А есть ли у Вас хотя бы что-то похожее, кроме общих слов, что приводило бы к рассмотрению среднего геометрического?

Ничего нет.
Более того, я сразу сказал, что рассматривать среднее геометрическое - это не правильно.
Хотя и приводит к правильному выводу: от обмена конвертами средний результат не меняется.

[Mikhail_K]

Лукомор в сообщении #1422881 писал(а):

Хотя и приводит к правильному выводу: от обмена конвертами средний результат не меняется.

Так это неправильный вывод.
Если про распределение сумм вообще ничего не известно, то вопрос некорректен, и правильного ответа на него нет.
Если распределение известно, то это зависит от $x$, улучшает ли средний результат обмен конвертами. При одних $x$ улучшает, при других $x$ ухудшает.

[Лукомор]

Mikhail_K в сообщении #1422878 писал(а):

В нахождении среднего геометрического нет смысла.

А можете прокомментировать вот это утверждение
из (извиняюсь!) Википедии (статья "Среднее Колмогорова"):

Цитата:

В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.

В два раза больше, и в два раза меньше - это ведь шкала отношений или нет?

-- Вт окт 29, 2019 13:29:51 --

Mikhail_K в сообщении #1422885 писал(а):

При одних $x$ улучшает, при других $x$ ухудшает.

Да.
При одних - улучшает, при других - ухудшает.
В среднем - не улучшает и не ухудшает.

[mihaild]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #1422839 писал(а):

Решающее правило сведётся к "Если в конверте меньше определённой величины, то меняй, если нет - то нет".

Далеко не для всех распределений.

[Mikhail_K]

Лукомор в сообщении #1422887 писал(а):

А можете прокомментировать вот это утверждение
из (извиняюсь!) Википедии (статья "Среднее Колмогорова"):

Но деньги-то в конвертах (то самое $x$) измеряются не в "разах", а в рублях. То как они между собой соотносятся - другой разговор.

Лукомор в сообщении #1422887 писал(а):

В среднем - не улучшает и не ухудшает.

Попытайтесь придать строгий смысл этому утверждению, чтобы можно было его комментировать.
Замечу, что среднее геометрическое между $x/2$ и $2x$ Вы находите не "в среднем", а для каждого конкретного $x$. Какой, по-Вашему, имеет смысл это среднее геометрическое для конкретного, фиксированного значения $x$?

[Лукомор]

Mikhail_K в сообщении #1422894 писал(а):

Но деньги-то в конвертах (то самое $x$) измеряются не в "разах", а в рублях. То как они между собой соотносятся - другой разговор.

Деньги измеряются в рублях.
Но отношение количества денег в одном конверте к количеству денег в другом конверте
есть величина постоянная, не меняющаяся от одного расклада к другому.
Это задано условием.
Количество денег в конверте, величина переменная, и если в одном раскладе $100$ рублей - это большая из двух сумм, то в следующем раскладе $ 500$ рублей может оказаться меньшей из двух сумм.
Когда мы говорим что открытые в первом конверте $x$ рублей могут быть большей или меньшей суммой,
мы не должны забывать, что меньшей суммой она будет в раскладе
$ \left\lbrace x; 2x \right\rbrace$, а большей - в раскладе $\left\lbrace x/2; x \right\rbrace$.
Для двух раскладов возможны всего четыре варианта выбора первого конверта и обмена его на второй:

$x/2 \to x$

$x \to x/2$

$x \to 2x $

$2x \to x$

Суммируя, находим что до обмена эти четыре варианта дают $9x/2$, после обмена $9x/2$.
Мы же формулой "два раза плюс пол раза пополам" выбираем из четырех вариантов два более выгодных,
и теряем два менее выгодных, за счет чего получаем мнимый "выигрыш".

[Лукомор]

Mikhail_K в сообщении #1422894 писал(а):

Какой, по-Вашему, имеет смысл это среднее геометрическое для конкретного, фиксированного значения $x$?

Никакого. Я же, еще не произнеся слова "среднее геометрическое", сразу предупредил, что это будет не правильно!

[Лукомор]

Интересно, что обмен "выгоден" только в том случае, когда вскрываем конверт, смотрим, сколько в нем денег,
приходим к выводу, что в случае обмена получим в среднем $5x/4$ и после этого меняемся.
Если сделать наоборот, выбрать конверт, подержать его в руках, не вскрывая, и поменять его на второй,
а затем вскрыть этот второй, полученный в результате обмена конверт,
то можно убедиться, что такой обмен не выгоден.
Поскольку в конверте мы найдем $y$ рублей, а это значит, что в конверте,
который мы выбрали сперва, и отдали при обмене,
было либо $2y$, либо $y/2$ рублей, то-есть, в среднем, $5y/4$.
На каждом таком обмене мы теряем в среднем 20%, причем, если конвертами меняются между собой два игрока,
то теряют, в среднем, по 20% оба.

Тут главное, что при любом способе обмена вскрывать можно только один конверт.
В случае двух игроков, в каждом туре вскрывает конверт только один из двух игроков, а второй складывает себе не вскрытые конверты.
Если вскрывать оба конверта, то каждый из двух игроков получит в среднем $S/2$ рублей, где $S$ общая сумма разыгранных во всех раскладах денег, и никакого выигрыша не получится.

Последнее замечание относится только к двум чистым стратегиям:
либо менять конверты всегда, либо никогда не менять.

-- Вт окт 29, 2019 21:40:30 --

Mikhail_K в сообщении #1422894 писал(а):

Какой, по-Вашему, имеет смысл это среднее геометрическое для конкретного, фиксированного значения $x$?

Для любого расклада условием задано отношение:

$\frac{x}{x_1} = \frac{x_2}{x}$ ,

где $x$ - количество денег в одном из конвертов,
$x_1$ и $x_2$ - возможные значения количества денег в другом конверте.
Из этой пропорции получаем:
$x^2 = x_1\cdot x_2$ или

$x = \sqrt{x_1\cdot x_2}$

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1422517 писал(а):

Я вижу только такое объяснение: такая логика предполагает, что общая разыгрываемая сумма - это случайная величина, равномерно распределенная на бесконечном интервале.

Нет. На самом деле такая логика предполагает, что события "у противника вдвое больше" и "у противника вдвое меньше" равновероятны при условии, что у меня $x$. А вот почему это предположение неверно при любом распределении $x$, это уже второй вопрос к топикстартеру.

[EUgeneUS]

epros в сообщении #1422993 писал(а):

Нет. На самом деле такая логика предполагает, что события "у противника вдвое больше" и "у противника вдвое меньше" равновероятны при условии, что у меня $x$. А вот почему это предположение неверно при любом распределении $x$, это уже второй вопрос к топикстартеру.

Почему же неверно?
Суммы в конвертах величины зависимые.
Если нет ограничений на минимальную и максимальную сумму во втором конверте, то работает такая процедура:

1. Выбираем сумму в первом конверте $x$. Для её генерации можно использовать любое распределение.
2. Бросаем честную монетку, если орел удваиваем, если решка уполовиниваем $x$, получившуюся сумму кладем во второй конверт.
3. Игроку отдаем первый конверт.
4. Обменивать или не обменивать решает игрок.

Тогда для игрока
а) "события "у противника вдвое больше" и "у противника вдвое меньше" равновероятны при условии, что у меня $x$"
б) и это верно при любом распределении $x$
в) надо меняться.
UPD: г) рассуждения, приведенные в стартовом посте верны. Но их в праве делать только игрок, а не ведущий!

Модифицируем процедуру для двух игроков.
..
3. Перетусуем конверты (опять с помощью честной монетки) и раздадим их игрокам.

Тогда:
а. Вероятность что у первого игрока в два раза больше чем у второго - ровно половина. И наоборот. Вроде бы также, как и в первом варианте.
б. Опять же, как и в первом варианте, распределение $x$ может быть любым.
в. Однако, рассуждения, приведенные в стартовом посте, оказываются неверными для обоих игроков.

Вывод: знания, что в одном конверте в два раза больше, чем в другом, и даже знания, что события "у противника вдвое больше" и "у противника вдвое меньше" равновероятны, не хватает, чтобы принять решение: нужно меняться, не нужно, или всё равно. Нужны уточнения по процедуре подготовки конвертов.

[mihaild]

EUgeneUS в сообщении #1422998 писал(а):

Тогда для игрока
а) "события "у противника вдвое больше" и "у противника вдвое меньше" равновероятны при условии, что у меня $x$"
б) и это верно при любом распределении $x$

Неправда. Для примера возьмите распределение $x \equiv 1$ и посчитайте вероятности.

[EUgeneUS]

mihaild в сообщении #1423007 писал(а):

Неправда. Для примера возьмите распределение $x \equiv 1$ и посчитайте вероятности.

"50 на 50", монетка же честная.
В данном варианте процедуры $x$ - это сумма "в моем (в первом) конверте".

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1422998 писал(а):

Тогда для игрока
а) "события "у противника вдвое больше" и "у противника вдвое меньше" равновероятны при условии, что у меня $x$"
б) и это верно при любом распределении $x$
в) надо меняться.

Надо меняться это при условии что игрок вскрыл конверт до обмена.
Если игрок поменял конверт "в тёмную", то, вскрыв второй конверт, он ровно также придет к выводу,
что меняться было не надо.
Потому что найдя во втором конверте $y$ рублей он сразу сообразит,
что в первом конверте, который он отдал не глядя, могло быть $2y$ или $y/2$, в среднем $5y/4$ рублей.
То-есть, до обмена ясно, что меняться выгодно, а после обмена ясно, что меняться было не выгодно.

[EUgeneUS]

Лукомор в сообщении #1423031 писал(а):

Надо меняться это при условии что игрок вскрыл конверт до обмена

Нет. В первой процедуре (в моем посте) игрок должен меняться, не вскрывая конверты. При этом распределение $x$ никакой роли не играет.

Если до обмена игрок вскрывает конверт, то должен он меняться или нет, зависит от той суммы, которую он нашел, и какие предположения он может делать относительно распределения $x$.

[Лукомор]

EUgeneUS в сообщении #1423042 писал(а):

В первой процедуре (в моем посте) игрок должен меняться, не вскрывая конверты. При этом распределение $x$ никакой роли не играет.

Если не вскрывать, то то же самое.
Взял конверт - меняться выгодно.
Поменялся - меняться было не выгодно.