Парадокс обмена

[Евгений Машеров]

Ну, во-первых, это не парадокс, а софизм. В парадоксе выглядит всё неправильным, а когда разобрались - именно так и есть. В софизме вроде бы правильные рассуждения, приводящие к ошибочному выводу. В силу того, что где-то затесалось ложное допущение, оставшееся незамеченным. А "изо лжи следует всё, что угодно".
А, во-вторых, ложное допущение в том, что существует равновероятный выбор из бесконечного числа вариантов. А бесконечность и равновероятность позволили бы сделать вывод, что если конверты, больший по деньгам и меньший, выдаются с равной вероятностью, то, значит, одинакова вероятность получить после обмена $2X$ и $0.5X$, какова бы ни была сумма в конверте на руках, равная X. Однако если эта ситуация невозможна, бывают либо равномерные на конечном отрезке, либо на бесконечном отрезке, но неравномерные, распределения сумм в конвертах, то вероятность того, что в другом больше, зависит от суммы в конверте, что на руках. Если она неизвестна (конверты не вскрываются), то никакой тактики обмена быть не может, если известна, вместе с распределением общей суммы призов $p(x)$, то может быть тактика игры.
Напрашивается "статистическая игрушка". Ведущий выбирает распределение $p(x)$, не сообщая его игрокам (или сообщая часть информации - скажем, вид распределения, но не параметры), согласно нему распределяются суммы в конвертах, игроки вскрывают и принимают решения, менять ли. При взаимном согласии обмен, при несогласии нет обмена, если несогласен один, второй может предложить ему денег за согласие. В ходе игры игроки уточняют распределение $p(x)$ и свою стратегию.

[podih]

Евгений Машеров в сообщении #1422740 писал(а):

Напрашивается "статистическая игрушка".

Даже закавыченный, термин "статистический" в ваш вариант игры не вхож. Разве что игра состоит из многих однородных туров.
Но для интереса ведущий будет менять распределение. В пределе оно должно получиться нормальным. Но зритель просто уснёт на таком продолжительном шоу. И телеэфира никто столько не выделит.

[Евгений Машеров]

Разумеется, туров много. Задача игроков - оценить распределение по данным о суммах в конвертах.
И да, это не "телеигра". Можно, скажем, реализовать, как игрушку на смартфоне или компьютере. Для развлечения или как вспомогательное пособие по курсу статистики или оптимальных решений.

[sergey zhukov]

Лукомор в сообщении #1422682 писал(а):

Выгоднее - не получается!

Разумеется, вы правы. Тут никаких недоразумений нет. Нетрудно показать, что если рассуждать правильно, то никто от обмена не выигрывает, игрок рассуждает неверно. Но это и не нужно доказывать, это очевидно с самого начала. Мы знаем, что в его рассуждениях ошибка, т.к. они приводят к абсурду. Нужно показать, в каком именно месте ошибка в рассуждениях игрока. Раскрытие софизма (да, это софизм, согласен) сводится к этому, я полагаю.

[Лукомор]

sergey zhukov в сообщении #1422806 писал(а):

Нужно показать, в каком именно месте ошибка в рассуждениях игрока.

Для этого Вы выбрали неправильный раздел,
потому что если я скажу, в каком месте ошибка в рассуждениях игрока,
то для раздела ПРР это будет ересь ересная,
за которую гореть мне на кострах модерации.

Но я все равно скажу...

Если бы в одном конверте было бы по условию НА $x$ долларов больше, чем в другом,
парадокс бы не возник, поскольку при обмене конвертами каждый участник
с равной вероятностью мог бы получить либо на $x$ долларов больше,
либо на $x$ долларов меньше, и средняя ожидаемая в результате обмена сумма ,
вычисленная каждым участником, была бы в точности такой, которую он нашел в своем конверте.
При таком раскладе каждому участнику безразлично, менять или не менять.

Так вот, хотя это и не правильно, я знаю,
сдается мне, что уж если мы выбрали такую нелинейную шкалу,
с единицей измерения "РАЗЫ", вместо привычных долларов, то и среднюю ожидаемую в результате обмена сумму
лучше находить не как среднее арифметическое (два раза плюс пол раза пополам),
а как среднее геометрическое двух возможных в результате обмена сумм:
$\sqrt{2x\cdot x/2} = x$.
Очевидно, что при таком "неправильном" рассуждении приходим к правильному выводу:

обмен конвертами не приводит ни к увеличению, ни к уменьшению среднего возможного выигрыша
по сравнению с отказом от обмена.

[sergey zhukov]

Лукомор в сообщении #1422814 писал(а):

Если бы в одном конверте было бы по условию НА $x$ долларов больше, чем в другом, парадокс бы не возник

Интересное замечание. Допустим, что ведущий говорит, что в одном конверте денег на $y$ больше, чем в другом. По моей логике и в этом случае вроде бы варианты $x+y$ и $x-y$ не могут быть равновероятны при любом $x$, но раз игрок считает их равновероятными, то он должен ошибаться и делать неверный вывод. Однако на этот раз он делает верный вывод.

Хотя из неверных посылок может следовать в том числе и верный вывод, я думаю, объяснение тут другое. Варианты $x+y$ и $x-y$ действительно равновероятны, потому что общая сумма теперь ограничена еще и снизу. Она не может быть меньше $y$.
Рассмотрим равномерное распределение общей суммы на участке $y...M$. Если игрок получил сумму в интервале $M-y...M$, то у него на руках точно большая из двух сумм. Но если он получил меньше $y$, то у него точно меньшая из двух сумм. В обоих случаях игрок ошибается в своем рассуждении о равновероятности $x+y$ и $x-y$, но эти ошибки противоположны. Вероятность возникновения этих двух типов ошибок "на краях" распределения одинаковая, а "в середине" равновероятность верна. Это и дает в среднем правильное рассуждение о том, что $x+y$ и $x-y$ равновероятны при любом $x$, хотя в интервале $0...y$ и $M-y...M$ это неверно.
В случае $x/2$ и $2x$ нижнего предела не было, поэтому некомпенсированная ошибка возникала только на правом конце распределения.

[Евгений Машеров]

Тем не менее экономическая практика требует максимизации среднего дохода. Так что отказаться от матожидания в пользу матожидания логарифма в данном случае вряд ли можно. И софизм остаётся.
Полагаю, избавление от противоречия в другом. Пусть сумма, ассигнуемая на выплату премий игрокам, является случайной величиной с (в начале предположим, что известным игроку) распределением $p(x)$. Тогда игрок получит Х долларов с вероятностью $p(1.5X)+p(3X)$. Если он может посмотреть содержимое конверта, то оценка вероятности того, что у него меньшая сумма и обмен целесообразен, является простой задачей байесовского оценивания. Решающее правило сведётся к "Если в конверте меньше определённой величины, то меняй, если нет - то нет". Если же посмотреть он не может, но знает распределение вероятностей сумм, то должен ориентироваться на вероятность получить в конверте данную сумму. После соответствующих выкладок (оправдаю свою лень тем, что это ПРР и точное решение давать воспрещено) получится, что вероятность получить в конверте достаточно малую сумму, обменять и извлечь выгоду компенсируется вероятностью получить много в конверте и убыток при обмене, так что матожидание остаётся 0. Причём точного знания распределения не нужно, достаточно, чтобы это было распределение вероятностей. Но если вместо распределения зададим псевдораспределение с равными исходами от нуля до бесконечности, возникает иллюзия существования выигрышной стратегии. Чтобы её опровергнуть, можно "бесконечное распределение" ввести, как устремление к бесконечности верхней границы равномерного распределения. Для каждого значения будет матожидание выигрыша 0, то есть и в пределе 0.

[Лукомор]

sergey zhukov в сообщении #1422824 писал(а):

В случае $x/2$ и $2x$ нижнего предела не было,

Это не важно!
Нижний предел можно установить, положив, что в конверте могут быть только банкноты,
и не может оказаться, допустим, 50- центовая монетка.
Тогда нижний предел "естественным образом" будет равен 1 доллару.
Вероятность того, что в конверте можно найти минимальную сумму и вероятность найти максимальную сумму равны,
но $2x_\min$ существенно меньше, чем ${x_\max}/2$,
и убытки от обмена максимальной суммы на ее половину
с лихвой перекрывают прибыль от обмена минимальной суммы на ее удвоенную.

-- Вт окт 29, 2019 09:59:37 --

Евгений Машеров в сообщении #1422839 писал(а):

Тем не менее экономическая практика требует максимизации среднего дохода.

Экономическая практика не работает с "разами".

[Евгений Машеров]

Отчего же не работает? Работает.

[podih]

(Оффтоп)

Знаменитое леонидаркадьевское "Я даю вам 3 млн. рублей, и мы не открываем этот ящик" добавляет понимание важности априорного знания $\sup$.

[Лукомор]

Евгений Машеров в сообщении #1422848 писал(а):

Отчего же не работает? Работает.

Виноват!
Конечно работает.
Но их перемножают, а не складывают.
Формула "два раза плюс пол раза пополам" для ожидания суммы при обмене не верна,
поскольку "два раза" применено к меньшей сумме, которая составляет $1/3$ общей cуммы в двух конвертах, "пол раза" - к большей из двух сумм, которая равна $2/3$ этой общей суммы.
Если об этом не забывать, то можно и складывать, но аккуратненько, например, вот так:
$(2\frac{S}{3}+\frac{1}{2}\frac{2S}{3})/2=\frac{S}{2}$,
где S - сумма денег в двух конвертах.
Получилось средняя ожидаемая сумма после обмена.
А средняя ожидаемая сумма при вскрытии первого конверта равна
$\frac{S}{3}+\frac{2S}{3}/2=\frac{S}{2}$.
Ничего мы не выиграли от обмена...

-- Вт окт 29, 2019 11:28:53 --

sergey zhukov в сообщении #1422824 писал(а):

Интересное замечание

Вот еще одно интересное замечание.
Изменим условие игры так, что два игрока - это команда, которая играет против ведущего.
Ведущий выкладывает два конверта,
в одном х денег, в другом 2х.
Всего 3х денег.
Два игрока берут эти два конверта, не вскрывая их.
У них на двоих 3х денег, в среднем 3х/2 на каждого.
Это выигрыш этой команды.
Вопрос: Можно ли теперь увеличить выигрыш, путем обмена конвертами между игроками,
и какая при этом должна быть стратегия игроков?

[sergey zhukov]

Евгений Машеров в сообщении #1422839 писал(а):

Полагаю, избавление от противоречия в другом.

Да, все нижеследующее я тоже так представляю.

Лукомор в сообщении #1422845 писал(а):

Это не важно!
Нижний предел можно установить, положив, что в конверте могут быть только банкноты

Это не совсем то же. Рассмотрим случай $x/2$ и $2x$ и распределение $y...M$, т.е. имеющее нижний ненулевой предел. Тогда имеем следующее:

Вероятность того, что я получу любую сумму из диапазона "синий-белый-красный" одинаковая, но вероятность моей ошибки типа "я думаю, что, равновероятно, а на самом деле у него $x/2$" больше, чем вероятность ошибки "я думаю, что равновероятно, а на самом деле у него $2x$". Моя мнимая выгода от обмена компенсируется тем, что я чаще завышаю сумму у другого, чем занижаю ее.

[DeBill]

Евгений Машеров в сообщении #1422740 писал(а):

Ведущий выбирает распределение $p(x)$, не сообщая его игрокам (или сообщая часть информации - скажем, вид распределения, но не параметры),

Софизм приподнялся на следующий уровень. Теперь мы должны описать, как ведущий "выбирает" распределение (или параметры)....

[Лукомор]

sergey zhukov в сообщении #1422870 писал(а):

распределение $y...M$

У Вас на диаграмме, вообще-то, $2/3y \dots 3/2M$.
Поясните, пожалуйста, что здесь обозначено этими $y$ и $M$?

-- Вт окт 29, 2019 12:14:59 --

DeBill в сообщении #1422872 писал(а):

Теперь мы должны описать, как ведущий "выбирает" распределение (или параметры)....

И найти оптимальную стратегию ведущего...

[Mikhail_K]

Лукомор в сообщении #1422814 писал(а):

сдается мне, что уж если мы выбрали такую нелинейную шкалу,
с единицей измерения "РАЗЫ", вместо привычных долларов, то и среднюю ожидаемую в результате обмена сумму
лучше находить не как среднее арифметическое (два раза плюс пол раза пополам),
а как среднее геометрическое двух возможных в результате обмена сумм:
$\sqrt{2x\cdot x/2} = x$.
Очевидно, что при таком "неправильном" рассуждении приходим к правильному выводу:

обмен конвертами не приводит ни к увеличению, ни к уменьшению среднего возможного выигрыша
по сравнению с отказом от обмена.

В нахождении среднего геометрического нет смысла.
И мне кажется, что Вы не понимаете, в чём смысл нахождения среднего арифметического.
Тот, кто находит среднее арифметическое, рассуждает примерно так.
Предположим, я буду играть в эту игру очень-очень много раз.
Иногда мне будет попадаться, вот как сейчас, $x$ в конверте (или сумма, близкая к $x$ - не буду сейчас развивать эту тему).
Пусть всего таких случаев, когда мне попадётся $x$, будет $N$.
Каждый такой раз, в другом конверте может находиться или $x/2$, или $2x$.
Так как по этому поводу у меня нет никакой информации, то в $N/2$ случаев в другом конверте будет сумма $x/2$, а в $N/2$ случаев будет сумма $2x$. (Вот здесь в рассуждении ошибка.)
Значит, если я буду каждый раз, когда мне в конверте попадается $x$, отказываться от обмена и забирать $x$, то в сумме получу $N\cdot x$.
А если я буду каждый раз меняться, то в сумме получу $\frac{N}{2}\cdot \frac{x}{2}+\frac{N}{2}\cdot 2x=N\cdot\frac{x/2+2x}{2}$.
Так как $\frac{x/2+2x}{2}$ (это самое среднее арифметическое!) больше, чем $x$, - значит во втором случае я получу больше, чем в первом. Значит, если в конверте мне попадается $x$, то меняться выгодно. А так как рассуждение справедливо для любого конкретного $x$, значит, меняться выгодно всегда.

Вот такое (неверное!) рассуждение приводит к рассмотрению среднего арифметического.
Заметьте, что "шкала - разы", как Вы говорите, здесь не важна. $x$ измеряется не в "разах", а например в рублях.
А есть ли у Вас хотя бы что-то похожее, кроме общих слов, что приводило бы к рассмотрению среднего геометрического?
Или к "среднему с весами", как Вы тоже предлагаете.