Нормированная волновая функция свободной частицы

[realeugene]

g______d в сообщении #1420616 писал(а):

разложения единицы

Интересно, много ли в современной физике уже не получится посчитать без использования обобщённых функций?

[Munin]

Soshnikov_Serg в сообщении #1420614 писал(а):

Это Вы типа намекаете, что Вам известны решения УШ для водорода, когда ВФ ненормированные, а спектр - дискретен? И пример (или ссылку) можно в студию?

А в чём проблема? Берёте нормированные решения, и умножаете их на любую константу. Хоть даже на 0.

Soshnikov_Serg в сообщении #1420614 писал(а):

Ну да, сначала мы ловим кайф от НЕнормируемых функций базиса, а потом "лечим" "гемор" ПЕРЕнормировками.

Сначала разберитесь с азбукой, а потом юморите. "Перенормировка" от другого понятия.

-- 14.10.2019 16:20:42 --

realeugene в сообщении #1420683 писал(а):

Интересно, много ли в современной физике уже не получится посчитать без использования обобщённых функций?

Возникает скорее вопрос, многое ли можно посчитать без использования обобщённых функций.

[g______d]

realeugene в сообщении #1420683 писал(а):

Интересно, много ли в современной физике уже не получится посчитать без использования обобщённых функций?

Слишком размыто сформулированный вопрос. Но в любом случае лучше сначала сюда:

«Нужен ликбез по обобщённым функциям»

[Soshnikov_Serg]

g______d в сообщении #1420616 писал(а):

Какая именно часть моего сообщения наводит на это?

А что я должен был подумать, прочитав следующее:

g______d в сообщении #1420302 писал(а):

Например, энергетический спектр (физически наблюдаемая величина). В этом случае нужно искать не просто волновые функции, а стационарные состояния, которые по переменной $x$ будут собственными функциями оператора энергии. И с их нормируемостью уже как получится.

Чувствуете последовательность действий?
1. Получили стационарные состояния.
2. Определились с энергетическим спектром.
3. Проверили возможность нормировки.

Munin в сообщении #1420695 писал(а):

А в чём проблема? Берёте нормированные решения, и умножаете их на любую константу. Хоть даже на 0.

Точно... Вот я тупой... До такой банальщины не догадался. Придется воспользоваться умным советом:

Munin в сообщении #1420695 писал(а):

Сначала разберитесь с азбукой

[g______d]

Soshnikov_Serg в сообщении #1420804 писал(а):

А что я должен был подумать, прочитав следующее:

Ну уж точно не это:

Soshnikov_Serg в сообщении #1420614 писал(а):

Это Вы типа намекаете, что Вам известны решения УШ для водорода, когда ВФ ненормированные, а спектр - дискретен? И пример (или ссылку) можно в студию?

Ниже энергии ионизации -- дискретен, выше -- абсолютно непрерывен. В первом случае ВФ стационарных состояний нормируемые, во втором нет. Это и означает "как получится": в зависимости от типа спектральной меры, если говорить на математическом языке.

Конечно, вы можете искать какие-то другие состояния, не являющиеся стационарными. Как я уже объяснил выше, нормируемых по пространственным переменным волновых функций для любого гамильтониана великое множество.

[Munin]

Soshnikov_Serg в сообщении #1420804 писал(а):

Чувствуете последовательность действий?
1. Получили стационарные состояния.
2. Определились с энергетическим спектром.
3. Проверили возможность нормировки.

Это не последовательность.

Вам надо вернуться в линейную алгебру. Поиск стационарных состояний / собственных функций (eigenfunctions, eigenstates), и спектра, - это на более абстрактном языке линейной алгебры задача нахождения собственных векторов (eigenvectors) и собственных значений (чисел; eigenvalues) оператора. (В английском языке используется приставка eigen- [aigen], заимствованная из немецкого в начале 20 века, во времена Гильберта.)

Собственные векторы и собственные значения ищутся совместно. Это одна задача, неделимая на части. Иногда можно искать отдельно собственные значения "перед" собственными векторами, но никак не наоборот.

Собственные векторы образуют линейные подпространства (собственные пространства) в том пространстве, на котором действует линейный оператор. И если это то пространство, с которого мы начинали решать задачу (например, пространство $L^2$ квадратично интегрируемых функций, то есть функций, для которых $\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi|^2 dx$ существует и конечен), то исследовать нормируемость не надо - она и так есть. Однако может оказаться, что в этом пространстве исследуемый оператор не имеет собственных векторов. Тогда пространство иногда можно расширить, и найти собственные векторы в другом пространстве. Но для него уже не будет определено никакой нормировки. Таким образом, выяснение нормируемости также происходит одновременно с решением задачи на собственные векторы.

[Soshnikov_Serg]

g______d в сообщении #1420809 писал(а):

Ниже энергии ионизации -- дискретен, выше -- абсолютно непрерывен

Ну давайте проверим. Вот Вам уравнение Шредингера (простейший случай, S - состояние)
$i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2 m r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial \Psi}{\partial r}-\frac{m c \alpha}{r} \Psi$
Вот Вам его решение:
$\Psi = \exp(-\frac{m c \alpha}{\hbar (1+\nu)}r + i \frac{m c^2 \alpha^2}{2 \hbar (1+\nu)^2}t) Kummer(-\nu,2,\frac{2 m c \alpha r}{\hbar (1+\nu)})$
Вот Вам оператор Гамильтона
$-\frac{\hbar^2}{2 m r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r}-\frac{m c \alpha}{r}$
Вот его собственные функции
$\exp(-\frac{m c \alpha}{\hbar (1+\nu)}r) Kummer(-\nu,2,\frac{2 m c \alpha r}{\hbar (1+\nu)})$
Вот его собственные значения
$E=\frac{m c^2 \alpha^2}{2 \hbar (1+\nu)^2}$
И все вроде как найдено

Munin в сообщении #1420895 писал(а):

совместно

Сможете теперь убедить меня в том, что $\nu$ обязательно должно быть целым числом? Думаю, что - нет. Пока не произнесете сакральное: что из всех $\Psi$ следует рассматривать только те

Munin в сообщении #1420895 писал(а):

для которых $\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi|^2 dx$ существует и конечен

И, благо, такая возможность есть. При целых $\nu$ бесконечный и расходящийся быстрее экспоненты ряд ф-ции Куммера обрезается до полинома конечной степени. И дальше еще одна удача: полученные дискретные значения в принципе позволяют объяснить спектр излучения (поглощения) атомарного водорода.

Или я не прав?

Вернемся к свободной частице. Нормированная ВФ, которую я рисовал, хоть какой-то наблюдаемой ситуации соответствует. Да, там энергия и и импульс "размазаны". Ну так это же квантовый объект. А какой ситуации соответствует плоская волна? Или гауссов пакет? Он, конечно, нормируется, но "расплывается" со временем. И как на все это можно "взгянуть"?

[g______d]

Soshnikov_Serg в сообщении #1421042 писал(а):

Сможете теперь убедить меня в том, что $\nu$ обязательно должно быть целым числом? Думаю, что - нет. Пока не произнесете сакральное: что из всех $\Psi$ следует рассматривать только те

Нет (потому что это "сакральное" неверно; точнее, верно только ниже энергии ионизации потому что нам так повезло).

На самом деле, даже стационарное УШ можно решить при любой энергии, в том числе и той, которая не на спектре, и далеко не единственным образом. ВФ получится ненормируемой.

Предположим, что $E_1$ находится между двумя собственными числами дискретной части спектра. Другими словами, эта энергия $E_1$ не является разрешённой. И пусть $E_2$ находится выше энергии ионизации (то есть принадлежит непрерывному спектру).

В этом случае возникает естественный вопрос: мы можем решить стационарное уравнение $H\psi_1=E_1\psi_1$ и $H\psi_2 =E_2 \psi_2$. Оба решения окажутся ненормируемыми. С какого перепугу мы считаем, что одна энергия принадлежит энергетическому спектру, а другая нет?

Есть как минимум три ответа.

1) $\psi_1$ окажется экспоненциально растущей на бесконечности (ну или по крайней мере, суперполиномиально). А $\psi_2$ будет расти не быстрее полинома. Хотя и те и другие не нормируемы, $\psi_2$ ближе к нормируемым и более "физична".

2) Есть определение спектра самосопряжённого оператора, явно не использующее решений уравнения на собственные функции. Ключевые слова "спектральная теорема для самосопряжённых операторов". Ссылку на литературу я уже давал. Можно доказать, что спектр оператора $H$ в строгом математическом смысле содержит $E_2$ и не содержит $E_1$.

3) Более-менее точный ответ именно на указанный вопрос даёт теорема Шноля. См., например, Цикон, Фрёзе, Кирш, Саймон "Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии", раздел 2.4. С точностью до множества спектральной меры нуль, спектральная мера сосредоточена на множестве тех энергий $E$, для которых существует полиномиально ограниченное решение уравнения стационарного Шрёдингера $H\psi=E\psi$. Ваши функции, если вы правильно их сосчитали, таковыми не являются (кроме специальных значений $\nu$). Если на каком-то интервале $[E_1-\varepsilon,E_1+\varepsilon]$ все решения стационарного УШ имеют экспоненциальный рост, то у оператора на этом интервале нет спектра (в точном математическом смысле этого слова: для любого $E\in (E_1-\varepsilon,E_1+\varepsilon)$ оператор $H-E$ является ограниченно обратимым в $L^2$).

4) С помощью оснащённых ГП это тоже можно сформулировать, но мне сейчас лень уточнять детали.

К сожалению, чтобы понять формулировку и доказательство этого факта, придётся читать учебники (несколько). В качестве альтернативы можно поверить физикам в том, что экспоненциально растущие на бесконечности ВФ не физичны.

[Munin]

g______d
Интересно, а какие функции, растущие не быстрее полинома, физики признаю́т физичными?

Я видел только функции, которые или не растут (и только с оговорками типа "нормировки на поток"), или даже должны убывать не медленнее каких-то конкретных полиномов.

[Soshnikov_Serg]

g______d в сообщении #1421044 писал(а):

потому что это "сакральное" неверно; точнее, верно

Я, признаться, в шоке. Понятно, математики вложили многое в решение задач по квантам. Но скажите мне пожалуйста: кто, когда, где и как наблюдал эту самую энергию, которая

g______d в сообщении #1421044 писал(а):

не является разрешённой

А как Вам критерий "физичности"? Физична только та $\Psi$, для которой

Munin в сообщении #1420895 писал(а):

$\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi|^2 dx$ существует и конечен

А иначе и в самом деле получается:

Munin в сообщении #1420306 писал(а):

Хосподи, избави нас от математиков

[g______d]

Soshnikov_Serg в сообщении #1421203 писал(а):

пожалуйста: кто, когда, где и как наблюдал эту самую энергию, которая

Если вы про $E_1$, то никто. Она не принадлежит спектру. Мне казалось, что я достаточно аккуратно это написал, и я ожидал, что читатель это тоже будет читать аккуратно.

Soshnikov_Serg в сообщении #1421203 писал(а):

А как Вам критерий "физичности"? Физична только та $\Psi$, для которой

Это не критерий «физичности», а критерий принадлежности энергии точечному спектру. Кроме него, бывает ещё непрерывный спектр, который вполне наблюдаем.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: тематика.

[realeugene]

g______d в сообщении #1421206 писал(а):

Кроме него, бывает ещё непрерывный спектр, который вполне наблюдаем.

Он удобен в качестве инструмента разложения по плоским волнам, и, поэтому, считается физичным, но, всё же, вероятность наблюдения частицы, описываемой плоской волной, нулевая.

[g______d]

realeugene в сообщении #1421246 писал(а):

вероятность наблюдения частицы, описываемой плоской волной, нулевая.

Это означает, что вероятностное распределение имеет непрерывную компоненту. Само распределение при этом наблюдаемо.

realeugene в сообщении #1421246 писал(а):

Он удобен в качестве инструмента разложения по плоским волнам

Плоские волны в качестве (обобщённых) собственных функций являются частным случаем непрерывного спектра, но вовсе не исчерпывающим. Например, в кристаллах с периодической структурой непрерывный спектр описывается блоховскими решениями, и другого спектра там просто нет (в идеальных кристаллах). Сам спектр (объединение зон проводимости) имеет прямой физический смысл.

С некоторой натяжкой можно сказать, что разложение по плоским волнам (в тех моделях, где они действительно являются собственными состояниями гамильтониана -- то есть в основном для свободной частицы) является инструментом описания непрерывного спектра, но не наоборот.

realeugene в сообщении #1421246 писал(а):

поэтому, считается физичным

Не поэтому. Пусть есть какое-то состояние $\psi\in L^2$ (не являющееся собственным), $\int|\psi|^2\,dx=1$. Тогда можно разложить его по спектральной мере/обобщённым собственным функциям и получить вероятностное распределение, описывающее возможные значения энергии в результате её измерения. Без учёта непрерывного спектра гамильтониана полная вероятность не будет равна единице. А там, где нет спектра (в моём примере это окрестность энергии $E_1$), вероятность найти энергию будет "настоящим" нулём (носитель плотности распределения не содержит окрестности $E_1$).

[realeugene]

g______d в сообщении #1421278 писал(а):

А там, где нет спектра (в моём примере это окрестность энергии $E_1$), вероятность найти энергию будет "настоящим" нулём (носитель плотности распределения не содержит окрестности $E_1$).

Настоящим? Ну а как быть с неизбежной конечностью времени измерения системы?

g______d в сообщении #1421278 писал(а):

в идеальных кристаллах

Бесконечного размера?

g______d в сообщении #1421278 писал(а):

Это означает, что вероятностное распределение имеет непрерывную компоненту. Само распределение при этом наблюдаемо.

Наблюдаемо через апертуру прибора и только в виде конечного набора координат пролетевших частиц. Если рассчитанный спектр позволяет хорошо предсказывать распределения этих пойманных точек - то он физичный. И эту наблюдаемую через апертуру прибора волновую функцию, корошо предсказывающую координаты пойманных частиц, можно нормировать. А удобную в качестве базисной плоскую волну мы нормировать не можем, но её и наблюдать прибором затруднительно. Так что же заставляет нас думать, что плоские волны "физичны"? Подчеркну: не сами непрерывные распределения, а именно плоские волны как удобный базис для разложения непрерывных распределений.