Нормированная волновая функция свободной частицы

[g______d]

realeugene в сообщении #1421287 писал(а):

Бесконечного размера?

Разумеется. См. Ашкрофт, Мермин, "Физика твёрдого тела", глава 8.

realeugene в сообщении #1421287 писал(а):

Настоящим?

В рамках описанной выше модели атома водорода и идеального процесса измерения -- да.

realeugene в сообщении #1421287 писал(а):

а именно плоские волны как удобный базис для разложения непрерывных распределений.

Ещё раз: спектральное разложение идёт не по плоским волнам, а по (обобщённым) собственным функциям того оператора, чью наблюдаемую мы измеряем (в данном случае, гамильтониана). Они могут быть плоскими волнами (для свободной частицы), а могут и не быть (атом водорода, кристалл). Как получится. В выборе этих обобщённых собственных функций есть некоторый произвол в связи с бесконечной кратностью спектра, но его недостаточно, чтобы утверждать, что всё сведётся к плоским волнам.

realeugene в сообщении #1421287 писал(а):

Так что же заставляет нас думать, что плоские волны "физичны"?

Я утверждал, что они (не плоские волны, а собственные функции непрерывного спектра) более "физичны", чем экспоненциально растущие решения вне спектра, поскольку им можно придать смысл стационарных состояний, по которым потом пойдёт разложение, и коэффициенты этого разложения войдут в плотность вероятностного распределения.

В реальности, да, любое нормируемое (и видимо любое наблюдаемое) состояние будет не плоской волной, а волновым пакетом. В его разложении эти стационарные состояния будут, а собственных функций вне спектра не будет.

Скажем, даже у свободной частицы во всём пространстве (гамильтониан $H=-\Delta$) есть решения УШ $H\psi=E\psi$ с $E<0$. Например, $\psi(x,y,z)=e^{\sqrt{-E}x}$. Тем не менее, общеизвестно, что энергетический спектр идеальной квантовой частицы с таким гамильтонианом неотрицателен. Математически это означает, что спектр оператора $H$ содержится в неотрицательной полуоси. Любое нормируемое состояние может быть разложено по обобщённым собственным функциям с неотрицательной энергией (в данном случае плоским волнам).

В этом смысле ещё более "физичны" спектральные проекторы, но для этого нужно читать учебники/монографии, ссылки на которые я привёл выше, или аккуратно написанную литературу по КМ (кажется, Мессиа был неплох, когда я последний раз смотрел).

Я не уверен, что хочу далее обсуждать словесные определения. Точный смысл тому, что я сказал, я придал ссылками на теоремы (в частности, отличие $E_1$ от $E_2$). Если вы готовы вести дискуссию на уровне теорем или хотя бы математических моделей, я готов далее пытаться произнести что-то содержательное. Если нет -- ждите, пока Munin разбанят.

[realeugene]

g______d в сообщении #1421294 писал(а):

Я не уверен, что хочу далее обсуждать словесные определения.

Спасибо за обсуждение. По поводу теорем вопросов у меня нет, на том уровне, на котором я хочу закапываться в эту тему. Вопрос был только о смысле термина "физичность", использованного для отбора решений.

[g______d]

realeugene в сообщении #1421295 писал(а):

Вопрос был только о смысле термина "физичность", использованного для отбора решений.

А, ок, ну тогда я вроде ответил в последнем сообщении. Кавычки в данном случае действительно нужны. Кстати говоря, в матфизике есть терминология "физический/нефизический лист". Грубо говоря, когда мы извлекаем корень из $E$, мы получаем два значения разных знаков, одно даёт экспоненциально растущие решения, второе экспоненциально убывающие, и соответственно два листа римановой поверхности корня. После этого экспоненциально растущее откидывается (по тем же причинам), а экспоненциально убывающее становится собственной функцией.

[Red_Herring]

g______d в сообщении #1421294 писал(а):

Я утверждал, что они (не плоские волны, а собственные функции непрерывного спектра) более "физичны", чем экспоненциально растущие решения вне спектра, поскольку им можно придать смысл стационарных состояний, по которым потом пойдёт разложение, и коэффициенты этого разложения войдут в плотность вероятностного распределения.

Добавлю, что в работе
V. Bach, J. Fr¨ohlich, and I. M. Sigal. Spectral analysis for systems of atoms and molecules
coupled to the quantized radiation field. Commun. Math. Phys., 207(2):249–290, 1999

показано, что в указанной модели только нижнее состояние сохраняется как собственное значение, а все остальные превращаются в резонансы (невещественные собственные значения некоего родственного несамосопряженного оператора) которые интерпретируются как метастабильные состояния.

[realeugene]

g______d в сообщении #1421298 писал(а):

А, ок, ну тогда я вроде ответил в последнем сообщении. Кавычки в данном случае действительно нужны. Кстати говоря, в матфизике есть терминология "физический/нефизический лист".

В принципе, да. Т. е. "физичные" решения в матфизике - это удобные идеализированные, но не слишком безумные решения моделируемой физической задачи. Абстрагироваться от апертуры прибора удобно, а вот то же экспоненциально растущее решение для атома, наверное, выглядит безумно, хоть я с ним и не знаком: наверное, согласно нему вероятность обнаружить электрон в единице объёма неограниченно возрастает с удалением в бесконечность.

С решениями уравнений Максвелла (как уравнения Гельмгольца) в сферических координатах, ведь, похожая ситуация? Для внешности шара отбираются из физических соображений экспоненциально убывающие решения, а внутри - конечные в нуле.

Условие на бесконечности (нуль ВФ или нормировка на поток) - это не краевое условие для УШ, откидывающее экспоненциально растущие решения?

-- 17.10.2019, 20:31 --

Red_Herring в сообщении #1421301 писал(а):

показано, что в указанной модели только нижнее состояние сохраняется как собственное значение, а все остальные превращаются в резонансы (невещественные собственные значения некоего родственного несамосопряженного оператора) которые интерпретируются как метастабильные состояния.

Физически это означает, что при отсутствии окружающего теплового излучения система в конце концов обязательно падает на свой нижний энергетический уровень, излучив в бесконечность фотоны?

[g______d]

realeugene в сообщении #1421302 писал(а):

Т. е. "физичные" решения в матфизике - это удобные идеализированные, но не слишком безумные решения моделируемой физической задачи. Абстрагироваться от апертуры прибора удобно, а вот то же экспоненциально растущее решение для атома, наверное, выглядит безумно, хоть я с ним и не знаком: наверное, согласно нему вероятность обнаружить электрон в единице объёма неограниченно возрастает с удалением в бесконечность.

Я не знаю, насколько удачно я использовал терминологию. Во всяком случае, экспоненциально растущие решения заведомо нефизичны (думаю, что даже можно без кавычек). Про остальные нужно говорить более аккуратно. Теорема Шноля, указанная выше, запрещает экспоненциальный рост на спектре, но не запрещает полиномиальный рост (в котором вероятность обнаружить частицу растёт на бесконечности, но не так быстро).

В классических моделях, описанных в учебниках КМ/ФТТ, такого не бывает (в смысле не бывает роста на бесконечности, или бывает, но на множестве спектральной меры нуль, которые можно откинуть без ущерба для разложения). Но есть модели (простейшие модели квазикристаллов, про которые можно что-то доказать), в которых все обобщённые собственные функции гамильтониана растут на бесконечности (не очень быстро, но растут). Если мы их запретим, то нарушится свойство полноты и вообще никаких собственных состояний не будет.

Причём эти модели не были придуманы специально чтобы продемонстрировать патологию, а появились чуть ли не в физических работах.

-- Чт, 17 окт 2019 10:48:05 --

realeugene в сообщении #1421302 писал(а):

Условие на бесконечности (нуль ВФ или нормировка на поток) - это не краевое условие для УШ, откидывающее экспоненциально растущие решения?

В самом операторе Шрёдингера нет никаких явно заданных краевых условий на бесконечности. Это самосопряжённый неограниченный оператор $H=-\Delta+V(x,y,z)$ в $L^2(\mathbb R^3)$, область определения которого (в большинстве нормальных случаев) состоит из таких функций $\psi\in L^2(\mathbb R^3)$, для которых $H\psi=-\Delta\psi+V\psi$, где первое слагаемое понимается в смысле теории распределений, принадлежит $L^2(\mathbb R^3)$ (в частности, является регулярным распределением).

Можно говорить о том, что сам факт рассмотрения оператора в $L^2$ задаёт какие-то краевые условия на бесконечности, но этому не так просто придать точный смысл, потому что обобщённые собственные функции не обязаны принадлежать его области определения (и в принципе могут даже расти на бесконечности).

[realeugene]

g______d в сообщении #1421307 писал(а):

Но есть модели (простейшие модели квазикристаллов, про которые можно что-то доказать), в которых все обобщённые собственные функции гамильтониана растут на бесконечности (не очень быстро, но растут). Если мы их запретим, то нарушится свойство полноты и вообще никаких собственных состояний не будет.

Звучит безумно, но верю, что такая идеализация, действительно, является необходимой и, более того, будет "физичной" для человека, который понимает, какой именно эксперимент она аппроксимирует.

-- 17.10.2019, 20:54 --

g______d в сообщении #1421307 писал(а):

Можно говорить о том, что сам факт рассмотрения оператора в $L^2$ задаёт какие-то краевые условия на бесконечности

А не просто как следствие решаемой физической задачи? Именно потому, что всё-таки в $L^2$ есть норма, а мы хотим рассматривать обобщённые решения вне этого пространства. Причём, решения, удобные для разложения ВФ, существенно отличной от нуля в интересной нам области пространства-времени.

-- 17.10.2019, 21:01 --

g______d в сообщении #1421307 писал(а):

Но есть модели (простейшие модели квазикристаллов, про которые можно что-то доказать), в которых все обобщённые собственные функции гамильтониана растут на бесконечности (не очень быстро, но растут). Если мы их запретим, то нарушится свойство полноты и вообще никаких собственных состояний не будет.

А по этому базису без чрезмерных проблем раскладываются ограниченные в какой-то момент времени решения? Как там со сходимостью?

[g______d]

realeugene в сообщении #1421310 писал(а):

А не просто как следствие решаемой физической задачи? Именно потому, что всё-таки в $L^2$ есть норма, а мы хотим рассматривать обобщённые решения вне этого пространства. Причём, решения, удобные для разложения ВФ, существенно отличной от нуля в интересной нам области пространства-времени.

Я бы сказал, нет. Для начала, мы рассматриваем стационарное УШ, так что о времени пока можно забыть (предполагаем, что гамильтониан явно не зависит от времени). Как только задан гамильтониан, работает спектральная теорема и выдаёт набор собственных функций (на самом деле она выдаёт не это, а нечто эквивалентное -- спектральную меру и разложение единицы). После этого по ним можно разложить любое состояние и решить полное УШ (нестационарное).

Если ВФ, которую мы раскладываем, локализована в области пространства, то скорее всего в её разложении будет присутствовать вообще все собственные функции.

-- Чт, 17 окт 2019 11:10:18 --

realeugene в сообщении #1421310 писал(а):

А по этому базису без чрезмерных проблем раскладываются ограниченные в какой-то момент времени решения? Как там со сходимостью?

В правильной формулировке это общий факт (спектральная теорема) для любого самосопряжённого оператора.

На языке собственных функций ссылка на соответствующие теоремы есть здесь:

«Дельта-функция для физиков и математиков»

[realeugene]

realeugene в сообщении #1421312 писал(а):

В правильной формулировке это общий факт (спектральная теорема) для любого самосопряжённого оператора.

Но ограниченное нестационарное решение, при этом, со временем утекает в бесконечность? Но каким же удивительным образом сохраняется его нормировка!

[g______d]

realeugene в сообщении #1421312 писал(а):

Но такое ограниченное нестационарное решение, при этом, со временем утекает в бесконечность? Но каким же удивительным образом сохраняется его нормировка!

О каком решении идёт речь? Если о неограниченном стационарном, то оно изначально не нормировано (поскольку не принадлежит $L^2$). Но само решение нестационарного УШ для него будет выглядеть просто как умножение на $e^{iEt}$, поэтому хуже оно не станет.

Если разложить по этим решениям какую-то функцию $\psi\in L^2$ и для неё решить УШ, то у неё нормировка сохраняться будет.

-- Чт, 17 окт 2019 11:36:18 --

realeugene в сообщении #1421312 писал(а):

Но каким же удивительным образом сохраняется его нормировка!

Ну или если этот вопрос понимать по-другому -- по тем же причинам, по которым из плоских волн, не убывающих на бесконечности, можно составить функцию из $L^2$ с помощью преобразования Фурье.

[realeugene]

g______d в сообщении #1421313 писал(а):

О каком решении идёт речь?

Для стёкол, когда базис состоит из возрастающих на бесконечности решений. Впрочем, это не более удивительно, чем разложение летящего ограниченнного в пространстве волнового пакета по плоским волнам. Со временем расплывается, но остаётся ограниченным, и энергия сохраняется.

Да, прочитал вторую часть вашего ответа. Спасибо.

[g______d]

realeugene в сообщении #1421317 писал(а):

Со временем расплывается, но остаётся ограниченным, и энергия сохраняется.

Да, так и есть.

[realeugene]

g______d в сообщении #1421313 писал(а):

Если разложить по этим решениям какую-то функцию $\psi\in L^2$

Для $L^2$, разумеется, понятно. Можно ли по спектральному базису разложить произвольную $\psi\in \mathcal{D}'(\mathbb R^3)$, т. е. любую обобщённую функцию?

[g______d]

realeugene в сообщении #1421320 писал(а):

Можно ли по спектральному базису разложить произвольную $\psi\in \mathcal{D}'(\mathbb R^3)$, т. е. любую обобщённую функцию?

$\mathcal{D}'(\mathbb R^3)$ точно нет. $\mathcal{S}'(\mathbb R^3)$ возможно, но нужно аккуратно читать для начала Гельфанда и Шилова. $\mathcal{H}^{-s}$ (в который для достаточно большого $s$ войдёт любая разумная ОФ, по крайней мере с носителем локализованным в пространстве) можно, но коэффициенты разложения будет расти при больших $E$. Последнее неудивительно: если функция не из $L^2$, её "обобщённое преобразование Фурье" тоже будет не из $L^2$.

[realeugene]

Но, при этом, экспоненциально растущие стационарные решения гарантированно разложимы?