2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Нормированная волновая функция свободной частицы
Сообщение14.10.2019, 14:40 


27/08/16
9426
g______d в сообщении #1420616 писал(а):
разложения единицы
Интересно, много ли в современной физике уже не получится посчитать без использования обобщённых функций?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированная волновая функция свободной частицы
Сообщение14.10.2019, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Soshnikov_Serg в сообщении #1420614 писал(а):
Это Вы типа намекаете, что Вам известны решения УШ для водорода, когда ВФ ненормированные, а спектр - дискретен? И пример (или ссылку) можно в студию?

А в чём проблема? Берёте нормированные решения, и умножаете их на любую константу. Хоть даже на 0.

Soshnikov_Serg в сообщении #1420614 писал(а):
Ну да, сначала мы ловим кайф от НЕнормируемых функций базиса, а потом "лечим" "гемор" ПЕРЕнормировками.

Сначала разберитесь с азбукой, а потом юморите. "Перенормировка" от другого понятия.

-- 14.10.2019 16:20:42 --

realeugene в сообщении #1420683 писал(а):
Интересно, много ли в современной физике уже не получится посчитать без использования обобщённых функций?

Возникает скорее вопрос, многое ли можно посчитать без использования обобщённых функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированная волновая функция свободной частицы
Сообщение15.10.2019, 01:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
realeugene в сообщении #1420683 писал(а):
Интересно, много ли в современной физике уже не получится посчитать без использования обобщённых функций?


Слишком размыто сформулированный вопрос. Но в любом случае лучше сначала сюда:

«Нужен ликбез по обобщённым функциям»

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированная волновая функция свободной частицы
Сообщение15.10.2019, 06:37 


30/11/07
213
g______d в сообщении #1420616 писал(а):
Какая именно часть моего сообщения наводит на это?
А что я должен был подумать, прочитав следующее:
g______d в сообщении #1420302 писал(а):
Например, энергетический спектр (физически наблюдаемая величина). В этом случае нужно искать не просто волновые функции, а стационарные состояния, которые по переменной $x$ будут собственными функциями оператора энергии. И с их нормируемостью уже как получится.
Чувствуете последовательность действий?
1. Получили стационарные состояния.
2. Определились с энергетическим спектром.
3. Проверили возможность нормировки.
Munin в сообщении #1420695 писал(а):
А в чём проблема? Берёте нормированные решения, и умножаете их на любую константу. Хоть даже на 0.
Точно... Вот я тупой... До такой банальщины не догадался. Придется воспользоваться умным советом:
Munin в сообщении #1420695 писал(а):
Сначала разберитесь с азбукой

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированная волновая функция свободной частицы
Сообщение15.10.2019, 07:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Soshnikov_Serg в сообщении #1420804 писал(а):
А что я должен был подумать, прочитав следующее:


Ну уж точно не это:

Soshnikov_Serg в сообщении #1420614 писал(а):
Это Вы типа намекаете, что Вам известны решения УШ для водорода, когда ВФ ненормированные, а спектр - дискретен? И пример (или ссылку) можно в студию?


Ниже энергии ионизации -- дискретен, выше -- абсолютно непрерывен. В первом случае ВФ стационарных состояний нормируемые, во втором нет. Это и означает "как получится": в зависимости от типа спектральной меры, если говорить на математическом языке.

Конечно, вы можете искать какие-то другие состояния, не являющиеся стационарными. Как я уже объяснил выше, нормируемых по пространственным переменным волновых функций для любого гамильтониана великое множество.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированная волновая функция свободной частицы
Сообщение15.10.2019, 16:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Soshnikov_Serg в сообщении #1420804 писал(а):
Чувствуете последовательность действий?
1. Получили стационарные состояния.
2. Определились с энергетическим спектром.
3. Проверили возможность нормировки.

Это не последовательность.

Вам надо вернуться в линейную алгебру. Поиск стационарных состояний / собственных функций (eigenfunctions, eigenstates), и спектра, - это на более абстрактном языке линейной алгебры задача нахождения собственных векторов (eigenvectors) и собственных значений (чисел; eigenvalues) оператора. (В английском языке используется приставка eigen- [aigen], заимствованная из немецкого в начале 20 века, во времена Гильберта.)

Собственные векторы и собственные значения ищутся совместно. Это одна задача, неделимая на части. Иногда можно искать отдельно собственные значения "перед" собственными векторами, но никак не наоборот.

Собственные векторы образуют линейные подпространства (собственные пространства) в том пространстве, на котором действует линейный оператор. И если это то пространство, с которого мы начинали решать задачу (например, пространство $L^2$ квадратично интегрируемых функций, то есть функций, для которых $\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi|^2 dx$ существует и конечен), то исследовать нормируемость не надо - она и так есть. Однако может оказаться, что в этом пространстве исследуемый оператор не имеет собственных векторов. Тогда пространство иногда можно расширить, и найти собственные векторы в другом пространстве. Но для него уже не будет определено никакой нормировки. Таким образом, выяснение нормируемости также происходит одновременно с решением задачи на собственные векторы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированная волновая функция свободной частицы
Сообщение16.10.2019, 07:17 


30/11/07
213
g______d в сообщении #1420809 писал(а):
Ниже энергии ионизации -- дискретен, выше -- абсолютно непрерывен
Ну давайте проверим. Вот Вам уравнение Шредингера (простейший случай, S - состояние)
$i \hbar \frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2 m r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial \Psi}{\partial r}-\frac{m c \alpha}{r} \Psi$
Вот Вам его решение:
$\Psi = \exp(-\frac{m c \alpha}{\hbar (1+\nu)}r + i \frac{m c^2 \alpha^2}{2 \hbar (1+\nu)^2}t) Kummer(-\nu,2,\frac{2 m c \alpha r}{\hbar (1+\nu)})$
Вот Вам оператор Гамильтона
$-\frac{\hbar^2}{2 m r^2}\frac{\partial}{\partial r}r^2\frac{\partial}{\partial r}-\frac{m c \alpha}{r}$
Вот его собственные функции
$\exp(-\frac{m c \alpha}{\hbar (1+\nu)}r) Kummer(-\nu,2,\frac{2 m c \alpha r}{\hbar (1+\nu)})$
Вот его собственные значения
$E=\frac{m c^2 \alpha^2}{2 \hbar (1+\nu)^2}$
И все вроде как найдено
Munin в сообщении #1420895 писал(а):
совместно
Сможете теперь убедить меня в том, что $\nu$ обязательно должно быть целым числом? Думаю, что - нет. Пока не произнесете сакральное: что из всех $\Psi$ следует рассматривать только те
Munin в сообщении #1420895 писал(а):
для которых $\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi|^2 dx$ существует и конечен
И, благо, такая возможность есть. При целых $\nu$ бесконечный и расходящийся быстрее экспоненты ряд ф-ции Куммера обрезается до полинома конечной степени. И дальше еще одна удача: полученные дискретные значения в принципе позволяют объяснить спектр излучения (поглощения) атомарного водорода.

Или я не прав?

Вернемся к свободной частице. Нормированная ВФ, которую я рисовал, хоть какой-то наблюдаемой ситуации соответствует. Да, там энергия и и импульс "размазаны". Ну так это же квантовый объект. А какой ситуации соответствует плоская волна? Или гауссов пакет? Он, конечно, нормируется, но "расплывается" со временем. И как на все это можно "взгянуть"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированная волновая функция свободной частицы
Сообщение16.10.2019, 08:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Soshnikov_Serg в сообщении #1421042 писал(а):
Сможете теперь убедить меня в том, что $\nu$ обязательно должно быть целым числом? Думаю, что - нет. Пока не произнесете сакральное: что из всех $\Psi$ следует рассматривать только те


Нет (потому что это "сакральное" неверно; точнее, верно только ниже энергии ионизации потому что нам так повезло).

На самом деле, даже стационарное УШ можно решить при любой энергии, в том числе и той, которая не на спектре, и далеко не единственным образом. ВФ получится ненормируемой.

Предположим, что $E_1$ находится между двумя собственными числами дискретной части спектра. Другими словами, эта энергия $E_1$ не является разрешённой. И пусть $E_2$ находится выше энергии ионизации (то есть принадлежит непрерывному спектру).

В этом случае возникает естественный вопрос: мы можем решить стационарное уравнение $H\psi_1=E_1\psi_1$ и $H\psi_2 =E_2 \psi_2$. Оба решения окажутся ненормируемыми. С какого перепугу мы считаем, что одна энергия принадлежит энергетическому спектру, а другая нет?

Есть как минимум три ответа.

1) $\psi_1$ окажется экспоненциально растущей на бесконечности (ну или по крайней мере, суперполиномиально). А $\psi_2$ будет расти не быстрее полинома. Хотя и те и другие не нормируемы, $\psi_2$ ближе к нормируемым и более "физична".

2) Есть определение спектра самосопряжённого оператора, явно не использующее решений уравнения на собственные функции. Ключевые слова "спектральная теорема для самосопряжённых операторов". Ссылку на литературу я уже давал. Можно доказать, что спектр оператора $H$ в строгом математическом смысле содержит $E_2$ и не содержит $E_1$.

3) Более-менее точный ответ именно на указанный вопрос даёт теорема Шноля. См., например, Цикон, Фрёзе, Кирш, Саймон "Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии", раздел 2.4. С точностью до множества спектральной меры нуль, спектральная мера сосредоточена на множестве тех энергий $E$, для которых существует полиномиально ограниченное решение уравнения стационарного Шрёдингера $H\psi=E\psi$. Ваши функции, если вы правильно их сосчитали, таковыми не являются (кроме специальных значений $\nu$). Если на каком-то интервале $[E_1-\varepsilon,E_1+\varepsilon]$ все решения стационарного УШ имеют экспоненциальный рост, то у оператора на этом интервале нет спектра (в точном математическом смысле этого слова: для любого $E\in (E_1-\varepsilon,E_1+\varepsilon)$ оператор $H-E$ является ограниченно обратимым в $L^2$).

4) С помощью оснащённых ГП это тоже можно сформулировать, но мне сейчас лень уточнять детали.

К сожалению, чтобы понять формулировку и доказательство этого факта, придётся читать учебники (несколько). В качестве альтернативы можно поверить физикам в том, что экспоненциально растущие на бесконечности ВФ не физичны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированная волновая функция свободной частицы
Сообщение16.10.2019, 13:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
g______d
Интересно, а какие функции, растущие не быстрее полинома, физики признаю́т физичными?

Я видел только функции, которые или не растут (и только с оговорками типа "нормировки на поток"), или даже должны убывать не медленнее каких-то конкретных полиномов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированная волновая функция свободной частицы
Сообщение17.10.2019, 07:58 


30/11/07
213
g______d в сообщении #1421044 писал(а):
потому что это "сакральное" неверно; точнее, верно
Я, признаться, в шоке. Понятно, математики вложили многое в решение задач по квантам. Но скажите мне пожалуйста: кто, когда, где и как наблюдал эту самую энергию, которая
g______d в сообщении #1421044 писал(а):
не является разрешённой

А как Вам критерий "физичности"? Физична только та $\Psi$, для которой
Munin в сообщении #1420895 писал(а):
$\int_{-\infty}^{+\infty}|\Psi|^2 dx$ существует и конечен
А иначе и в самом деле получается:
Munin в сообщении #1420306 писал(а):
Хосподи, избави нас от математиков

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированная волновая функция свободной частицы
Сообщение17.10.2019, 08:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Soshnikov_Serg в сообщении #1421203 писал(а):
пожалуйста: кто, когда, где и как наблюдал эту самую энергию, которая


Если вы про $E_1$, то никто. Она не принадлежит спектру. Мне казалось, что я достаточно аккуратно это написал, и я ожидал, что читатель это тоже будет читать аккуратно.

Soshnikov_Serg в сообщении #1421203 писал(а):
А как Вам критерий "физичности"? Физична только та $\Psi$, для которой


Это не критерий «физичности», а критерий принадлежности энергии точечному спектру. Кроме него, бывает ещё непрерывный спектр, который вполне наблюдаем.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение17.10.2019, 09:38 
Заслуженный участник


09/05/12
25179
 i  Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (Ф)» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: тематика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированная волновая функция свободной частицы
Сообщение17.10.2019, 13:35 


27/08/16
9426
g______d в сообщении #1421206 писал(а):
Кроме него, бывает ещё непрерывный спектр, который вполне наблюдаем.
Он удобен в качестве инструмента разложения по плоским волнам, и, поэтому, считается физичным, но, всё же, вероятность наблюдения частицы, описываемой плоской волной, нулевая.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированная волновая функция свободной частицы
Сообщение17.10.2019, 17:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
realeugene в сообщении #1421246 писал(а):
вероятность наблюдения частицы, описываемой плоской волной, нулевая.


Это означает, что вероятностное распределение имеет непрерывную компоненту. Само распределение при этом наблюдаемо.

realeugene в сообщении #1421246 писал(а):
Он удобен в качестве инструмента разложения по плоским волнам


Плоские волны в качестве (обобщённых) собственных функций являются частным случаем непрерывного спектра, но вовсе не исчерпывающим. Например, в кристаллах с периодической структурой непрерывный спектр описывается блоховскими решениями, и другого спектра там просто нет (в идеальных кристаллах). Сам спектр (объединение зон проводимости) имеет прямой физический смысл.

С некоторой натяжкой можно сказать, что разложение по плоским волнам (в тех моделях, где они действительно являются собственными состояниями гамильтониана -- то есть в основном для свободной частицы) является инструментом описания непрерывного спектра, но не наоборот.

realeugene в сообщении #1421246 писал(а):
поэтому, считается физичным


Не поэтому. Пусть есть какое-то состояние $\psi\in L^2$ (не являющееся собственным), $\int|\psi|^2\,dx=1$. Тогда можно разложить его по спектральной мере/обобщённым собственным функциям и получить вероятностное распределение, описывающее возможные значения энергии в результате её измерения. Без учёта непрерывного спектра гамильтониана полная вероятность не будет равна единице. А там, где нет спектра (в моём примере это окрестность энергии $E_1$), вероятность найти энергию будет "настоящим" нулём (носитель плотности распределения не содержит окрестности $E_1$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Нормированная волновая функция свободной частицы
Сообщение17.10.2019, 18:43 


27/08/16
9426
g______d в сообщении #1421278 писал(а):
А там, где нет спектра (в моём примере это окрестность энергии $E_1$), вероятность найти энергию будет "настоящим" нулём (носитель плотности распределения не содержит окрестности $E_1$).
Настоящим? Ну а как быть с неизбежной конечностью времени измерения системы?

g______d в сообщении #1421278 писал(а):
в идеальных кристаллах
Бесконечного размера?

g______d в сообщении #1421278 писал(а):
Это означает, что вероятностное распределение имеет непрерывную компоненту. Само распределение при этом наблюдаемо.
Наблюдаемо через апертуру прибора и только в виде конечного набора координат пролетевших частиц. Если рассчитанный спектр позволяет хорошо предсказывать распределения этих пойманных точек - то он физичный. И эту наблюдаемую через апертуру прибора волновую функцию, корошо предсказывающую координаты пойманных частиц, можно нормировать. А удобную в качестве базисной плоскую волну мы нормировать не можем, но её и наблюдать прибором затруднительно. Так что же заставляет нас думать, что плоские волны "физичны"? Подчеркну: не сами непрерывные распределения, а именно плоские волны как удобный базис для разложения непрерывных распределений.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 60 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group