Нормированная волновая функция свободной частицы

[g______d]

realeugene в сообщении #1421327 писал(а):

Но, при этом, экспоненциально растущие стационарные решения гарантированно разложимы?

Нет. Как раз они неразложимы, по-видимому.

-- Чт, 17 окт 2019 12:45:36 --

Да, я тут говорю какие-то сложные слова, но наверное стоит произнести, что конечная цель всех этих разложений -- диагонализовать оператор $H$, чтобы потом тривиальным образом вычислить $e^{itH}$ и решить нестационарное УШ таким образом.

[realeugene]

g______d в сообщении #1421328 писал(а):

Нет. Как раз они неразложимы, по-видимому.

Если они не разложимы, то что мешает пополнить ими базис, чтобы получить базис в более широком функциональном пространстве?

-- 17.10.2019, 22:57 --

g______d в сообщении #1421328 писал(а):

диагонализовать оператор $H$, чтобы потом тривиальным образом вычислить $e^{itH}$ и решить нестационарное УШ таким образом.

Но физически начальные условия для УШ, конечно, всегда финитны, в крайнем случае, это поток через границу рассматриваемой области, экстраполируемый на бесконечность. Но интересно, ведь, не только решение УШ, а уравнений с самосопряженными операторами вообще. Того же уравнения Гельмгольца, которое эффективно решается через спектральный базис. И если внутри дискретного спектра для УШ существуют стационарные решения, которые неразложимы по спектральному базису - то как-то всё, что я знал раньше, немного шатается.

[g______d]

realeugene в сообщении #1421332 писал(а):

Но физически начальные условия для УШ, конечно, всегда финитны, в крайнем случае, это поток через границу рассматриваемой области, экстраполируемый на бесконечность.

Да, именно поэтому достаточно ограничиться пространством $L^2$. Но раскладывать их нужно по тому, по чему получится. Разговоры про "обобщённые собственные функции" на самом деле довольно нетривиальны и малопопулярны, см. ниже

realeugene в сообщении #1421332 писал(а):

Но интересно, ведь, не только решение УШ, а уравнений с самосопряженными операторами вообще.

Тогда, возможно, стоит прочитать о спектральной теореме для самосопряжённых операторов в общей формулировке. Думаю, что многие вопросы тогда отпадут. Поскольку она для абстрактных ГП, никаких разговоров про решения там вообще нет, только про спектральные проекторы, которые можно интерпретировать физически как волновые пакеты. Потом уже, если эти проекторы хочется выписать явно, решения вылезут в каких-то формулах, но не по отдельности, а внутри интеграла.

realeugene в сообщении #1421332 писал(а):

И если внутри дискретного спектра для УШ существуют стационарные решения, которые неразложимы по спектральному базису - то как-то всё, что я знал раньше, немного шатается.

Рассмотрите более простой пример со свободной частицей и $E<0$. Это ровно тот же эффект. Мне всё сложнее махать руками и пытаться сформулировать на человеческом языке. Грубо говоря, "условно физических" решений достаточно, чтобы диагонализовать весь оператор в $L^2$. Квантовая механика тоже происходит в этом $L^2$, это одно из её основных положений.

[realeugene]

g______d в сообщении #1421334 писал(а):

Да, именно поэтому достаточно ограничиться пространством $L^2$.

Даже без дельта-функции?

-- 17.10.2019, 23:24 --

g______d в сообщении #1421334 писал(а):

Мне всё сложнее махать руками и пытаться сформулировать на человеческом языке.

Спасибо, перевод на человеческий язык - это, конечено, полезно, но не всегда обязательно. Правильная терминология даёт нужные зацепки, куда копать, если не хочется перекапывать всё в этой области со всеми тонкостями.

[g______d]

realeugene в сообщении #1421338 писал(а):

Даже без дельта-функции?

В принципе, да: пространству состояний она не принадлежит, и существует только в контексте некоторых конкретных ГП и конкретных гамильтонианов на них как дополнительный объект. В конце концов, не все квантовомеханические модели происходят в $\mathbb R^n$, бывают конечномерные и решёточные модели (например).

[realeugene]

g______d в сообщении #1421307 писал(а):

Можно говорить о том, что сам факт рассмотрения оператора в $L^2$ задаёт какие-то краевые условия на бесконечности, но этому не так просто придать точный смысл, потому что обобщённые собственные функции не обязаны принадлежать его области определения (и в принципе могут даже расти на бесконечности).

С другой стороны, можно, наоборот, говорить, что краевые условия ограничивают функциональное пространство, на котором рассматривается оператор. И, как следствие, базис в этом пространстве оказывается другим.

Обобщённые решения, которыми пополняется $L^2$, это какое-то подмножество пространства обобщённых функций медленного роста, как я понял. Оно, возможно, не обязано быть плотным в $\mathcal S'(\mathbb R^3)$.

Тем более, если мы рассматриваем самосопряженный оператор на конечной области, его собственные вектора заведомо не могут быть плотными в $\mathcal S'(\mathbb R^3)$.

[g______d]

realeugene в сообщении #1421540 писал(а):

Тем более, если мы рассматриваем самосопряженный оператор на конечной области, его собственные вектора заведомо не могут быть плотными в $\mathcal S'(\mathbb R^3)$.

Если оператор рассматривается в конечной области, то ни о каком $\mathbb R^3$ речи не идёт вообще, всё происходит в этой области.

Вообще, прошу прощения, но я не готов продолжать разговор в таком виде. У основных положений КМ есть математически строгая формулировка (настолько же строгая, насколько у классической механики), принимаемая большинством экспертов в математической физике. Её можно описывать по-разному, но она есть. Спекулировать на тему того, какой она могла бы быть, я не готов (а именно к этому всё сведётся, если я не могу полноценно пользоваться аппаратом спектральной теории).

Я готов ответить на конкретные вопросы на уровне теорем, или возникающие в результате чтения литературы о математических основах КМ. Но, кстати, даже это может быть уходом в сторону от темы (впрочем, ТС всё равно исчез).

[realeugene]

g______d в сообщении #1421547 писал(а):

Если оператор рассматривается в конечной области, то ни о каком $\mathbb R^3$ речи не идёт вообще, всё происходит в этой области.

Кто мешает форрмально потребовать равенства нулю решения на внешности рассматриваемой области, вложив её в $R^3$, где оператор, формально, не рассматривается?

УШ на областях в КМ рассматривается, если потенциал кусочно-постоянный, и мы хотим сшить решение из нескольких кусков. Кстати, в этом случае экспоненциально возрастающие собственные решения, незаконные на $R^3$, соответствующие отрицательным энергиям, могут стать необходимыми для построения базиса на более узкой пространственной области. Уже на полупространстве, не говоря об отрезке. Без этого не будет ни отражения от стенки конечной высоты, ни туннелирования частицы сквозь потенциальный барьер.

Стоп. Но полный базис на отрезке - это обычный гармонический ряд Фурье. Что же происходит на нём с остальными стационарными решениями УШ?

[Red_Herring]

realeugene в сообщении #1421584 писал(а):

Стоп. Но полный базис на отрезке - это обычный гармонический ряд Фурье

Ряд это ряд, а базис это базис. Разложение в обычный ряд Фурье это разложение по базису очень конкретного оператора: $-\dfrac{d^2}{dx^2}$ с периодическими граничными условиями.

[realeugene]

Red_Herring в сообщении #1421593 писал(а):

Разложение в обычный ряд Фурье это разложение по базису очень конкретного оператора: $-\dfrac{d^2}{dx^2}$ с периодическими граничными условиями.

Ага, спасибо, понятно. То есть, именно граничные условия отбирают решения в спектральный базис из всех возможных стационарных решений, а не из базисных решений на $\mathbb R^3$. С непериодическими граничными условиями для этого оператора может появиться экспонента в качестве базисной на отрезке функции.

[Red_Herring]

realeugene в сообщении #1421598 писал(а):

непериодическими граничными условиями для этого оператора может появиться экспонента в качестве базисной на отрезке функции.

А что, синусы да косинусы--не экспоненты (комплексные)? И чем вам не угодила не чисто мнимая экспонента в ограниченной области? Там же бесконечности просто нет

[realeugene]

Мне она всем угодили кроме отсутствия в базисе для всего пространства, которое, казалось, содержит всё. Было не очень понятно почему при разложении плоской волны по решениям уравнения Гельмгольца в циллиндрияеских координатах берут только конечные в нуле бесселя, а вне цилиндрв требуется базис из всех бесселей. Теперь понятно.

[realeugene]

g______d в сообщении #1421044 писал(а):

Более-менее точный ответ именно на указанный вопрос даёт теорема Шноля. См., например, Цикон, Фрёзе, Кирш, Саймон "Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии", раздел 2.4. С точностью до множества спектральной меры нуль, спектральная мера сосредоточена на множестве тех энергий $E$, для которых существует полиномиально ограниченное решение уравнения стационарного Шрёдингера $H\psi=E\psi$.

В лекциях Richard S. Laugesen "Spectral Theory of Partial Differential Equations - Lecture Notes" https://arxiv.org/abs/1203.2344 в теореме 18.6 на странице 111 утверждается, то спектрум оператора Шрёдингера равен замыканию множества собственных чисел, для которых собственная функция полиноминально ограничена. Верно ли:

1. Что в непрерывном спектре оператора Шрёдингера могут существовать собственные значения с полиноминально неограниченными собственными функциями?
2. Что этот критерий не универсален и относится только к УШ?

[g______d]

realeugene в сообщении #1421811 писал(а):

равен замыканию множества собственных чисел, для которых собственная функция полиноминально ограничена

В статье слова «собственные числа» не используются. То, что там сформулировано, принято называть «обобщённые собственные числа» (generalized eigenvalues). По определению, generalized eigenvalue — это такое $\lambda$, что у уравнения $H\psi=\lambda\psi$ есть ненулевое полиномиально ограниченное решение. Просто eigenvalue — это такое $\lambda$, что у уравнения есть ненулевое решение $\psi\in L^2$.

Да, в такой формулировке эта теорема верна. Это более слабая версия теоремы Шноля.

1. Если речь про обобщённые собственные значения — примеры мне не известны, но ни одна из общих теорем этого не исключает. Но если и существуют, то спектральная мера множества соответствующих обобщённых собственных значений равна нулю. Это означает, что соответствующие обобщённые СФ можно выкинуть, не нарушая полноты (в том смысле, в котором полнота имела место для обобщённых СФ).

2. Мне известны версии этой теоремы для операторов Шрёдингера на $\mathbb R^n$ и $\mathbb Z^n$. Её можно обобщить на более широкие классы операторов, что-то на эту тему написано в книге Березанского «Разложение по собственным функциям самосопряжённых операторов», но её довольно сложно читать. Для читателя, знакомого со спектральной теоремой, наиболее простым способом будет разобрать доказательство теоремы Шноля и проверить самостоятельно, что оно работает в нужном частном случае.

[realeugene]

g______d в сообщении #1421812 писал(а):

1. Если речь про обобщённые собственные значения — примеры мне не известны, но ни одна из общих теорем этого не исключает. Но если и существуют, то спектральная мера множества соответствующих обобщённых собственных значений равна нулю. Это означает, что соответствующие обобщённые СФ можно выкинуть, не нарушая полноты (в том смысле, в котором полнота имела место для обобщённых СФ).

2. Мне известны версии этой теоремы для операторов Шрёдингера на $\mathbb R^n$ и $\mathbb Z^n$. Её можно обобщить на более широкие классы операторов, что-то на эту тему написано в книге Березанского «Разложение по собственным функциям самосопряжённых операторов», но её довольно сложно читать. Для читателя, знакомого со спектральной теоремой, наиболее простым способом будет разобрать доказательство теоремы Шноля и проверить самостоятельно, что оно работает в нужном частном случае.

Спасибо, понятно.