Сможете теперь убедить меня в том, что

обязательно должно быть целым числом? Думаю, что - нет. Пока не произнесете сакральное: что из всех

следует рассматривать только те
Нет (потому что это "сакральное" неверно; точнее, верно только ниже энергии ионизации потому что нам так повезло).
На самом деле, даже стационарное УШ можно решить при любой энергии, в том числе и той, которая не на спектре, и далеко не единственным образом. ВФ получится ненормируемой.
Предположим, что

находится между двумя собственными числами дискретной части спектра. Другими словами, эта энергия

не является разрешённой. И пусть

находится выше энергии ионизации (то есть принадлежит непрерывному спектру).
В этом случае возникает естественный вопрос: мы можем решить стационарное уравнение

и

. Оба решения окажутся ненормируемыми. С какого перепугу мы считаем, что одна энергия принадлежит энергетическому спектру, а другая нет?
Есть как минимум три ответа.
1)

окажется экспоненциально растущей на бесконечности (ну или по крайней мере, суперполиномиально). А

будет расти не быстрее полинома. Хотя и те и другие не нормируемы,

ближе к нормируемым и более "физична".
2) Есть определение спектра самосопряжённого оператора, явно не использующее решений уравнения на собственные функции. Ключевые слова "спектральная теорема для самосопряжённых операторов". Ссылку на литературу я уже давал. Можно доказать, что спектр оператора

в строгом математическом смысле содержит

и не содержит

.
3) Более-менее точный ответ именно на указанный вопрос даёт теорема Шноля. См., например, Цикон, Фрёзе, Кирш, Саймон "Операторы Шрёдингера с приложениями к квантовой механике и глобальной геометрии", раздел 2.4. С точностью до множества спектральной меры нуль, спектральная мера сосредоточена на множестве тех энергий

, для которых существует полиномиально ограниченное решение уравнения стационарного Шрёдингера

. Ваши функции, если вы правильно их сосчитали, таковыми не являются (кроме специальных значений

). Если на каком-то интервале
![$[E_1-\varepsilon,E_1+\varepsilon]$ $[E_1-\varepsilon,E_1+\varepsilon]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/6/9/069923b5b2634d76fcc950b1fdcaef4282.png)
все решения стационарного УШ имеют экспоненциальный рост, то у оператора на этом интервале нет спектра (в точном математическом смысле этого слова: для любого

оператор

является ограниченно обратимым в

).
4) С помощью оснащённых ГП это тоже можно сформулировать, но мне сейчас лень уточнять детали.
К сожалению, чтобы понять формулировку и доказательство этого факта, придётся читать учебники (несколько). В качестве альтернативы можно поверить физикам в том, что экспоненциально растущие на бесконечности ВФ не физичны.