Нормированная волновая функция свободной частицы

[Soshnikov_Serg]

Вопрос, наверное, известный. Но никак не могу найти что-либо толкового в учебниках или интернете. Кто знает, дайте ссылку.
А вопрос вот в чем: почему в квантовой механике для описания поведения свободной частицы используют волновую функция (ВФ) в виде плоской волны:
$\Psi=\exp(i \vec{k}\vec{r}-i\frac{\hbar k^2}{2m}t)$
Вот что в ней физического? На каком основании параметр k связывают с импульсом частицы? Для чего нужна ВФ, плотность вероятности которой всюду равна нулю? Или ВФ, которая с одинаковой вероятностью позволяет обнаружить частицу в моем кабинете, в Кремле у Путина, на Луне или в соседней галактике? Резвее в пузырьковой камере или камере Вильсона не наблюдается конкретный след от частицы? Там же не весь объем камеры взрывается от ее присутствия.
Почему нельзя потребовать нормированность ВФ для свободной частицы?
Порешав уравнение Шредингера, я нашел несколько таких решений. Вот одно из них, которое мне больше всего понравилось:
$\Psi = \frac{\exp(-k \sqrt{(\vec{r}-\vec{V} t)^2} + i \frac{m \vec{V} \vec{r}}{\hbar} - i \frac{m V^2}{2 \hbar} t +i\frac{\hbar k^2}{2m}t)}{\sqrt{(\vec{r}-\vec{V} t)^2}}$
Мне скажут:
- Ну тоже мне, деятель. Объявил kкомплексной величиной и выполнил преобразования Галилея.
Ну-у, не только Галилея. Но сколько плюсов получаем от такого решения:
1. волновая функция - нормирована
2. волновая функция непрерывна и не имеет особенностей
3. в системе отсчета, связанной с частицей плотность вероятности сферически симметрична, что вполне естественно
4. максимум плотности вероятности движется по классической траектории
5. волновые свойства связаны со вполне конкретной скоростью ( ну и импульсом, соответственно) частицы
6. принцип неопределенности вполне демонстрируем
7. вид волновой функции вполне пригоден для оценки степени квантовости частицы
Вопрос: а что тогда такое k? С чем ее следует связать?
В приведенном решении k представляет собой свободный параметр. Никого же не смущает, что функцию Лагранжа для свободной точечной частицы определена с точностью до полной производной по времени. Вот и тут фаза ВФ является неопределенной.
Если частица приходит во взаимодействие с другими частицами, то k «сваливается» во вполне определенное значение. Например, для электрона в водороде в основном состоянии $k=\frac{m c \alpha}{\hbar}$.
Кстати, если альфа – отношение классической скорости электрона к скорости света, то и k можно связать со скоростью свободной частицы: $k = \frac{mV}{\hbar}$
Тогда ВФ принимает вид:
$\Psi = \frac{\exp(-\frac{mV}{\hbar}\sqrt{(\vec{r}-\vec{V} t)^2} + i \frac{m \vec{V} \vec{r}}{\hbar})}{\sqrt{(\vec{r}-\vec{V} t)^2}}$
А в теории возмущений использование таких ВФ может помочь в решении проблем с перенормировками?
Замечу, что для уравнений Клейна-Гордона и Дирака такие решения тоже можно построить.

И еще вопрос. В третьем томе ЛЛ в задачке с параграфом про уравнение Шредингера говориться, что после преобразования Галилея ВФ она "уже не содержит величин, характеризующих свободное движение частицы".
А почему?

[Утундрий]

Меня спросят, а я отвечу. Но если перед этим я спрошу, то не того кто меня спросил, а другого. Мне скажут - это и так очевидно, но я всё равно напишу об этом на форуме. Почему нет? В шестой книге пятикнижия есть наскальная гравюра с изображением птенца, выклёвывающего пси-функцию из вялотекущего бытия. И только им будет даровано...

[Guvertod]

Нет просто волновой функции свободной частицы. Свободная частица - это конкретный гамильтониан, а решения могут быть разные. Решение с определенным значением импульса (приведенная вами плоская волна) ничем не хуже собственной функции координаты или какого-либо другого.

[Soshnikov_Serg]

Утундрий в сообщении #1420281 писал(а):

Мне скажут - это и так очевидно, но я всё равно напишу об этом на форуме

Ну, ожидаемый ответ. Правда, не для всех это очевидно...

Guvertod в сообщении #1420283 писал(а):

Решение с определенным значением импульса (приведенная вами плоская волна) ничем не хуже...

Хуже. Оно - не нормировано. Давайте отменим требование нормированности для водорода, например. Что будет с квантованием?

[Munin]

Soshnikov_Serg в сообщении #1420280 писал(а):

А вопрос вот в чем: почему в квантовой механике для описания поведения свободной частицы используют волновую функция (ВФ) в виде плоской волны:
$\Psi=\exp(i \vec{k}\vec{r}-i\frac{\hbar k^2}{2m}t)$
Вот что в ней физического? На каком основании параметр k связывают с импульсом частицы? Для чего нужна ВФ, плотность вероятности которой всюду равна нулю?

1. Гуглите "нормировка на поток".
2. Такие базисные состояния позволяют получить другие, более реалистические, например, волновой пакет, например, гауссов. И они уже очень хорошо объясняют физический смысл $\vec{k},$ плотности вероятности, фазы, нормировки и прочего, для этих плоских волн. (Например, если такая волна понимается как предел гауссова волнового пакета бесконечной ширины.)
3. Не ограничивайтесь ЛЛ-3. Это книжка с несколькими хорошо проговоренными определениями. Но для знания и понимания КМ стоит смотреть и в другие. В вашем случае, откройте Мессиа. Там много ответов на вопросы такого сорта.

[Guvertod]

Ненормируемость (в смысле нормировании суммарной вероятности на 1) вполне обыденное дело, нигде в постулатах обратное не закладывается. Да, есть некоторая контринтуитивность и, что такое состояние на практике является лишь предельным и пр. Но при дальнейшем изучении все должно стать привычным.

[g______d]

Свободная частица -- это, как Guvertod отметил выше, гамильтониан, а не какая-то конкретная функция. Уравнение Шрёдингера, описывающее свободную частицу в пространстве

$$ i \partial_t \psi(t,x)=-\Delta \psi(t,x), $$

где $-\Delta$ -- оператор Лапласа по переменным $x$ (с точностью до констант).

У этого уравнения полно нормируемых решений (каждое из которых, в принципе, можно называть волновой функцией свободной частицы). Например, рассмотрим любою функцию $\psi_0=\psi_0(x)$ переменных $x$, суммируемую с квадратом. Тогда у УШ есть (единственное) решение с $\psi(0,x)=\psi_0(x)$. Это решение будет нормированным при любом значении $t$ в силу унитарности эволюции. Соответственно, нормируемых решений можно наплодить сколько угодно: ровно столько же, сколько есть нормируемых функций переменной $x$.

Soshnikov_Serg в сообщении #1420285 писал(а):

Хуже. Оно - не нормировано. Давайте отменим требование нормированности для водорода, например. Что будет с квантованием?

С водородом та же самая ситуация (предположим для простоты, что спина нет):

$$ i \partial_t \psi(t,x)=(-\Delta+V(x)) \psi(t,x), $$

опять же существует такое же большое количество нормированных решений.

Содержательные разговоры про нормируемость начинаются, когда мы про этот атом водорода хотим что-то подсчитать или предсказать. Например, энергетический спектр (физически наблюдаемая величина). В этом случае нужно искать не просто волновые функции, а стационарные состояния, которые по переменной $x$ будут собственными функциями оператора энергии. И с их нормируемостью уже как получится.

В ситуации свободной частицы, впрочем, если мы ищем собственные состояния оператора энергии, они бесконечно вырождены (кратность спектра равна бесконечности). Но даже из этого бесконечного набора разных состояний с одной и той же энергией составить нормируемую волновую функцию не получится. Все примеры из первой части моего сообщения "размазаны" по энергии.

[Munin]

g______d в сообщении #1420302 писал(а):

Свободная частица -- это, как Guvertod отметил выше, гамильтониан, а не какая-то конкретная функция.

Хосподи, избави нас от математиков.

Свободная частица - это частица. Есть соответствующая система ("гамильтониан"), а есть её состояние ("конкретная функция"). И то и другое есть, понимаете? А ещё есть частица в вакуумной камере у экспериментатора. Он вообще знать не знает про гамильтониан, у него есть электронная пушка, система фокусирования, детекторы и всякое такое.

И тут приходит математик, и начинает безапелляционно заявлять "свободная частица - это не функция, а гамильтониан". Бесит, знаете ли.

(Товарищ Guvertod высказался в другом контексте и аккуратней.)

g______d в сообщении #1420302 писал(а):

Это решение будет нормированным при любом значении $t$ в силу унитарности эволюции. Соответственно, нормируемых решений можно наплодить сколько угодно: ровно столько же, сколько есть нормируемых функций переменной $x$.

Ну, на самом деле, нас интересуют не просто нормированные решения, а ортонормированные, то есть базис.

Есть ли хорошие базисы решений данного УШ?

g______d в сообщении #1420302 писал(а):

$$i \partial_t \Psi(t,x)=-\dfrac{\hbar^2}{2m}\Delta \Psi(t,x)$$

(константы я восстановил, уж извините, физики к ним привязаны странной привязанностью; и ещё по странной прихоти физиков, в данном случае они пишут $\Psi,$ а $\psi$ обозначают функцию в стационарном УШ).

Самые лучшие - это те, которые являются собственными функциями операторов энергии $-(\hbar^2/2m)\Delta$ и импульса $-i\hbar\nabla.$

[g______d]

В данном случае содержательная часть моего ответа только в том, откуда берутся решения наподобие приведённого ТС и как полностью описать их множество. Что с этим делать дальше -- дело ТС. Можно и проигнорировать.

Munin в сообщении #1420306 писал(а):

Хосподи, избави нас от математиков.

Свободная частица - это частица. Есть соответствующая система ("гамильтониан"), а есть её состояние ("конкретная функция"). И то и другое есть, понимаете? А ещё есть частица в вакуумной камере у экспериментатора. Он вообще знать не знает про гамильтониан, у него есть электронная пушка, система фокусирования, детекторы и всякое такое.

И тут приходит математик, и начинает безапелляционно заявлять "свободная частица - это не функция, а гамильтониан". Бесит, знаете ли.

Да, я не точно выразился. Я думаю, что мог бы написать точнее, если бы потратил больше времени на ответ.

Munin в сообщении #1420306 писал(а):

Ну, на самом деле, нас интересуют не просто нормированные решения, а ортонормированные, то есть базис.

Есть ли хорошие базисы решений данного УШ?

Munin в сообщении #1420306 писал(а):

(константы я восстановил, уж извините, физики к ним привязаны странной привязанностью; и ещё по странной прихоти физиков, в данном случае они пишут $\Psi,$ а $\psi$ обозначают функцию в стационарном УШ).

Самые лучшие - это те, которые являются собственными функциями операторов энергии $-(\hbar^2/2m)\Delta$ и импульса $-i\hbar\nabla.$

Употребление слова "базис" в данном контексте требует довольно большого количества оговорок (скажем так, больше, чем встречается в обычном университетском курсе функционального анализа). Мне кажется, они более серьёзные, чем ваше замечание к моему посту. Но в сто первый раз мне уже не хочется повторять эти оговорки.

[Red_Herring]

Soshnikov_Serg в сообщении #1420280 писал(а):

Порешав уравнение Шредингера, я нашел несколько таких решений. Вот одно из них, которое мне больше всего понравилось:

Ну, не только вам. Называются такие решения когерентными состояниями или гауссовыми пучками. Но у них импульс и энергия "размазаны". А те решения, которые вам не нравятся, имеют строго определенные импульс и энергию, но поэтому не могут иметь конечную норму, и потому математики их называют обобщенными собственными функциями (а физики просто собственными функциями).

[Munin]

g______d в сообщении #1420323 писал(а):

В данном случае содержательная часть моего ответа

Да, огромное вам спасибо за него!

g______d в сообщении #1420323 писал(а):

Употребление слова "базис" в данном контексте требует довольно большого количества оговорок

Готов от него отказаться. Меня интересуют не оговорки, а ответ. И кажется, его не будет.

Red_Herring в сообщении #1420325 писал(а):

Называются такие решения когерентными состояниями или гауссовыми пучками.

Вроде, это более узкие термины. Существенно.

[g______d]

Munin в сообщении #1420327 писал(а):

Готов от него отказаться. Меня интересуют не оговорки, а ответ. И кажется, его не будет.

Из фразы не ясно, от чего именно вы отказались, а от чего нет. Я могу попробовать дать ответ, если вопрос будет сформулирован в "self-contained" виде.

[Munin]

Я даже не знаю, как это сделать. Вопрос-то неформальный, подразумевает "удобство".
Формально: существуют ли системы ортонормированных в.функций, таких что любую в.ф. можно разложить в (хотя бы формальную) линейную комбинацию по такой системе?
Ответ очевидно "да", можно хотя бы поделить $\mathbb{R}$ на отрезки, а на каждом разложить в ряд Фурье. Но толку-то с такого ответа.
Существуют ли собственные функции операторов энергии или импульса?
Ответ очевидно "нет".
А что в такой ситуации делать? Вот это и есть неформальный вопрос...

[Soshnikov_Serg]

g______d в сообщении #1420302 писал(а):

С водородом та же самая ситуация

Это Вы типа намекаете, что Вам известны решения УШ для водорода, когда ВФ ненормированные, а спектр - дискретен? И пример (или ссылку) можно в студию?

Munin в сообщении #1420306 писал(а):

Самые лучшие - это те, которые являются собственными функциями операторов энергии $-(\hbar^2/2m)\Delta$ и импульса $-i\hbar\nabla.$

Ну да, сначала мы ловим кайф от НЕнормируемых функций базиса, а потом "лечим" "гемор" ПЕРЕнормировками.

Red_Herring в сообщении #1420325 писал(а):

Но у них импульс и энергия "размазаны"

Согласен. Но ведь и в классической механике они не всегда могут быть определены строго.

[g______d]

Soshnikov_Serg в сообщении #1420614 писал(а):

Это Вы типа намекаете, что Вам известны решения УШ для водорода, когда ВФ ненормированные, а спектр - дискретен?

Нет. Какая именно часть моего сообщения наводит на это?

-- Вс, 13 окт 2019 21:34:28 --

Munin в сообщении #1420341 писал(а):

Существуют ли собственные функции операторов энергии или импульса?
Ответ очевидно "нет".
А что в такой ситуации делать? Вот это и есть неформальный вопрос...

Можно рассматривать оснащённые гильбертовы пространства (не очень популярный подход в настоящее время).

topic117034.html

Можно отказаться от рассмотрения отдельных "собственных функций" и рассматривать только "волновые пакеты". Это естественно приводит к понятию спектральной меры и разложения единицы, это наиболее популярный подход среди математиков, занимающимися математическими задачами, изначально приходящих из квантовой механики. Один из стандартных учебников на эту тему Рид и Саймон, уже неоднократно упоминавшийся в контексте аналогичных вопросов.