Уравнение (x^3+y+1)(y^3+x+1)=z^2

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1411258 писал(а):

количество целых решений в данном случае это удвоенное количество решений в натуральных числах

Разумеется, нет.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1411265 писал(а):

vicvolf в сообщении #1411258 писал(а):

количество целых решений в данном случае это удвоенное количество решений в натуральных числах

Разумеется, нет.

Уточню - умноженное на $2^3$. Не в этом суть, а в том, что в уравнении $x_1^k+...+x_s^k=a$, где $k$ - четно, асимптотическая оценка количества натуральных и целых решений совпадает. А асимптотическая оценка количества натуральных решений данного уравнения в зависимости от $a$ известна.

[vicvolf]

scwec в сообщении #1411063 писал(а):

Пусть $F(x,y)$ - однородный полином третьей степени и для него найдется целое $N$ такое, что кривая с уравнением $F(x,y)=N$ имеет род $1$ и ранг больше нуля.

Можно ли привести пример полинома $F(x,y)$ третьей степени, чтобы уравнение $F(x,y)=a$ при любом значении $a$ имела бы количество целых решений меньше некоторого $n$?

[scwec]

vicvolf в сообщении #1411434 писал(а):

Можно ли привести пример полинома $F(x,y)$ третьей степени, чтобы уравнение $F(x,y)=a$ при любом значении $a$ имела бы количество целых решений меньше некоторого $n$?

Если такой 3-однородный полином вдруг существует ,то ранг эллиптической кривой $F(x,y)=a$ равен нулю для любого целого $a$.
О существовании такого полинома мне неизвестно.
Но легко привести примеры эллиптических кривых, у которых ранг нулевой при любом целом (а также и рациональном) $N$, например, $y^2=x^3-N^4{x}$. И таким примерам несть числа.
И пожалуйста, vicvolf, не заставляйте отвечать на Ваш вопрос, тратить моё время, а затем вопрос удалять и заменять его другим.

[scwec]

Разберу ещё один пример для 4-х степеней по схеме для 3-х степеней.
Уравнение $x^4+x^3{y}+y^3{x}+y^4=a$ при подходящем $a$ имеет сколько угодно много целых решений.
Выберем $a=4$. Соответствующая кривая является эллиптической и в Вейерштрассовой форме запишется так:
$w^2=u^3-24^2{u}$. Число $24$ является конгруэнтным (т.е. площадью прямоугольного треугольника с рациональными, в данном случае даже целыми длинами сторон $6,8,10$), поэтому ранг этой кривой больше нуля.
Сл-но, на ней, а также и на исходной кривой имеется бесконечно много рациональных точек. Далее всё как в случае $x^3+y^3=N$, только произведение знаменателей рациональных точек при определении $a$ возводится в 4-ю степень.
Теперь по поводу задачи с уравнением $x^4+y^4+z^4=a$.
Она решается элементарными методами без привлечения эллиптических кривых.
Если это решение никто не придумает, позже выложу своё.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1411270 писал(а):

в уравнении $x_1^k+...+x_s^k=a$, где $k$ - четно, асимптотическая оценка количества натуральных и целых решений совпадает. А асимптотическая оценка количества натуральных решений данного уравнения в зависимости от $a$ известна.

На стр. 32 Вон. Р. "Метод Харди Литтлвуда", 1985, 184 с. дается асимптотическая оценка снизу количества натуральных решений данного уравнения при $s \geq 2$:

$R^{+}_s>> max (N^{s-k},N^{s/2})$, где $N=[a^{1/k}]$.

Для нашего уравнения $k=4,s=3$, поэтому $R^{+}_3>>a^{3/8}$.

Поэтому для того, чтобы количество натуральных (целых) решений уравнения $x^4+y^4+z^4=a$ было не менее $n$ достаточно взять $a=n^{8/3}$.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1411597 писал(а):

Для нашего уравнения $k=4,s=3$, поэтому $R^{+}_3>>a^{3/8}$.

Вы понимаете, что уравнение $x^4+y^4+z^4=a$ при некоторых $a$ может вообще не иметь решений?

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1411615 писал(а):

vicvolf в сообщении #1411597 писал(а):

Для нашего уравнения $k=4,s=3$, поэтому $R^{+}_3>>a^{3/8}$.

Вы понимаете, что уравнение $x^4+y^4+z^4=a$ при некоторых $a$ может вообще не иметь решений?

Конечно. Данный метод находит асимптотику количества натуральных решений с учетом только случаев, когда решение существует.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1411620 писал(а):

Данный метод находит асимптотику количества натуральных решений с учетом только случаев, когда решение существует.

vicvolf в сообщении #1411597 писал(а):

Поэтому для того, чтобы количество натуральных (целых) решений уравнения $x^4+y^4+z^4=a$ было не менее $n$ достаточно взять $a=n^{8/3}$.

Вот теперь объясните, почему при таком $a$ (ничего, что оно не всегда целое?) есть решения.

[vicvolf]

Уточню. Имеется в виду асимптотическое неравенство $a<<n^{8/3}$.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1411630 писал(а):

Уточню. Имеется в виду асимптотическое неравенство $a<<n^{8/3}$.

Сформулируйте утверждение полностью.

[scwec]

Присоединяюсь к nnosipov.
Доказательство vicvolf состоялось бы, если после ссылки на стр.32 книжки Вон и каких-то прочих слов последовала фраза -
поэтому для такого-то определенного $a$ уравнение $x^4+y^4+z^4=a$ имеет не менее $n$ натуральных решений.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1411620 писал(а):

Данный метод находит асимптотику количества натуральных решений с учетом только случаев, когда решение существует.

Это Ваши измышления. В итоговой теореме 2.6 на стр. 31 ничего про ограничения на $n$ не говорится.

vicvolf в сообщении #1411597 писал(а):

На стр. 32 Вон. Р. "Метод Харди Литтлвуда", 1985, 184 с. дается асимптотическая оценка снизу количества натуральных решений данного уравнения при $s \geq 2$:

$R^{+}_s>> max (N^{s-k},N^{s/2})$, где $N=[a^{1/k}]$.

А здесь, скорее всего, пропущено ограничение $s>2^k$. В любом случае с Вас доказательство этого утверждения.

Upd. Хотя какое тут может быть доказательство: при $k=s=2$ имеем для числа решений оценку снизу порядка $a^{1/2}$, что, конечно же, полный бред.

[vicvolf]

nnosipov в сообщении #1411633 писал(а):

Сформулируйте утверждение полностью.

Пусть задано сколь угодно большое натуральное число $n$, тогда имеется натуральное $a$, удовлетворяющее асимптотическому соотношению $a<<n^{3/8}$, что уравнение $x^3+y^3+z^3=a$ имеет не менее $n$ натуральных (целых) решений.

[nnosipov]

vicvolf в сообщении #1411687 писал(а):

удовлетворяющее асимптотическому соотношению $a<<n^{3/8}$

Расшифруйте, что Вы под этим понимаете.

vicvolf в сообщении #1411687 писал(а):

уравнение $x^3+y^3+z^3=a$

Речь шла об уравнении $x^4+y^4+z^4=a$.