Задача о движении жидкости во вращающейся трубе 2

[reterty]

Бесконечно длинный вертикальный цилиндр радиуса $R$ заполнен жидкостью с кинематической вязкостью $\nu$. В некоторый начальный момент времени $t=0$ цилиндр внезапно начинает вращаться вокруг своей вертикальной оси симметрии с постоянной угловой скоростью $\Omega$. Определить поле угловых скоростей $\omega(r, t)$, где $r$-расстояние от оси вращения.
Частное дифференциальное уравнение, описывающее данное поле имеет следующий вид:

$$\frac{1}{\nu}\frac{\partial \omega}{\partial t}= \frac{\partial^2 \omega}{\partial r^2}+\frac{3}{r}\frac{\partial \omega}{\partial r}. (1)$$

Это уравнение правильное; оно обсуждалось и выводилось детально в топике topic122103.html. Ниже я привожу свой вывод решения этого уравнения (уж не обессудьте за мой английский).
We solve Eq. (1) applying separation of variables method. Let us represent $\omega(r, t)$ in the form: $\omega(r, t)=f(r)q(t)$. Substituting this expression into Eq. (1), we have:

$$\frac{1}{\nu q}\frac{\partial q}{\partial t}=\frac{1}{f} \left( \frac{\partial^2 f}{\partial r^2}+\frac{3}{r}\frac{\partial f}{\partial r}\right) =-C, (2)$$

where $C$ is the constant of integration. From Eq. (2) we get:

$$q(t)=\exp(-C\nu t). (3)$$

If we denote $f(r)=\Phi(r)/r$, then using Eq. (2) we obtain:

$$r^2\frac{\partial^2 \Phi}{\partial r^2}+r\frac{\partial \Phi}{\partial r}\right)+\Phi(Cr^2-1) =0. (4)$$

Now, one can introduce new variable $\xi=\sqrt{C}r$. Then Eq. (4) transforms to the following form:

$$ \xi^2\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \xi^2}+\xi\frac{\partial \Phi}{\partial \xi}\right)+\Phi(\xi^2-1) =0. (5)$$

Eq. (5) is the Bessel differential equation . Its solution $\Phi(\xi)=AJ_1 (\xi)$, where $A$ is the constant of integration; $J_1 (\xi)$ is the Bessel function of the first kind of order 1.
Математика вроде как тут правильная. Но с физической точки зрения мое решение "ни в какие ворота не лезет". Как я качественно представляю себе эволюцию "профиля скоростей" $\omega(r)$? В начальный момент времени скорость везде нуль , за исключением точки $r=R$, где она (в любой момент времени) равна $\Omega$. С течением времени скорость в каждой точке возрастает (быть может лишь за исключением точки $r=0$, где она все время равна нулю), асимптотически стремясь к значению $\Omega$. В каждый момент времени профиль $\omega(r)$ должен быть возрастающей функцией аргумента $r$.
Что же мы имеем на самом деле? Временная часть моего решения описывает экспоненциальное "затухание" (или "разростание") профиля скоростей (!??) Координатная часть решения $J_1 (\sqrt{C}r)/r$ (конечная в нуле) является убывающей (!!!??) функцией $r$.
Помогите мне развязать мой "гордиев узел"!!!

[Утундрий]

reterty в сообщении #1406784 писал(а):

$$\frac{1}{\nu}\frac{\partial \omega}{\partial t}= \frac{\partial^2 \omega}{\partial r^2}+\frac{3}{r}\frac{\partial \omega}{\partial r}. (1)$$

Тройки там быть не должно. Пардон, принял $\omega$ за скорость.

[reterty]

Утундрий в сообщении #1406791 писал(а):

reterty в сообщении #1406784 писал(а):

$$\frac{1}{\nu}\frac{\partial \omega}{\partial t}= \frac{\partial^2 \omega}{\partial r^2}+\frac{3}{r}\frac{\partial \omega}{\partial r}. (1)$$

Тройки там быть не должно.

В топике topic122103-15.html как раз доказали, что должна быть тройка!

svv в сообщении #1260681 писал(а):

reterty в сообщении #1260659 писал(а):

fred1996
Мое теперешнее уравнение верно?

Думаю, Вы ошиблись в пространственных дифференцированиях. Там действительно очень легко ошибиться.

Для сверки можно взять уравнения (15.18) «Гидродинамики» Ландау-Лифшица. Они уже записаны в цилиндрических координатах. Нам нужно только второе уравнение. Выбросив всё лишнее (и опуская индекс $\varphi$ у единственной ненулевой компоненты скорости), получим
$\frac 1 {\nu}\frac{\partial v}{\partial t}=\Delta v-\frac{v}{r^2}$
Правую часть можно также записать как $\frac{\partial }{\partial r}\left(\frac 1 r \frac{\partial (rv)}{\partial r}\right)$.

Если сюда подставить $v=\omega r$, получится $\frac 1 {\nu}\frac{\partial \omega}{\partial t}=\frac{\partial^2 \omega}{\partial r^2}+\frac 3 r\frac{\partial \omega}{\partial r}$. У Вас вместо тройки единица.

[mihiv]

Может быть, нужно учесть, что при $C=0$ уравнение (2) имеет решение: $q(t)=q_0, f(r)=f_0$.

[reterty]

Проблема решена (см. https://www.c-o-k.ru/library/document/12349 стр. 261-262)