Как понимать вычисления в квантовых вычислениях?

[LenskyM]

Доброго всем дня!

Учусь на бакалавра по computer science. Научный руководитель сказал, что планирует со мной заняться квантовыми вычислениями. Это, говорят, сейчас очень модно, актуально и я в это верю. Поскольку я не на физической специальности, мне трудновато въезжать в тему. Но он говорит 'прорвемся'. Немного посмотрел обсуждения на разных форумах. Впечатления не из легких. Многие, не только я, жалуются, что так и не понимают до сих пор как все-таки там оно работает. В физику вникать нам вряд ли ридется. Да я и не потяну наверно. Для этого нужно полноценное физическое образование. Но научрук уверяет, что квантовая криптография и компьютинг самостоятельные почти математические науки. Я более енее знаком с линейной алгеброй и дифурами. Начинаю прорабатывать литературу. Научрук дал почитать толстую книгу: Нильсен-Чанг 'Квантовые вычисления и квантовая информация' и сказал, что помимо прочего следует хорошо проработать электронные препринты:

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0009124
https://arxiv.org/abs/quant-ph/0210211
а также
https://arxiv.org/abs/1807.06894

Все эти работы про числа. С комплексными числами я нормально, работать привык. Но в первой из этих работ, и у этого автора вообще, все очень как-то сурово абстрактно и много тензорных произведений. Не понимаю, с какой стороны к ней подходить. Все квантовое идет через суровую математику. Пытаюсь смотреть по ссылкам его другие работы, но вместо облегчения только хуже. В третью работу я вообще не въехал, так как она очень большая и там много физики, чего я не могу понять. Но научрук сказал мне 'надо разобраться' (ему самому некогда, он у нас занятый всегда) и написать нечто вроде реферата про середину этой работы. А именно, про п.7 'Числа'. Мне трудно понять, с какой стати там среди физического текста про квантовую механику начинает излагается арифметика чисел. Или я чего-то не знаю принципиального? А у первого автора совсем по-другому, хотя тоже про числа и арифметические операции. Подскажите пожалуйста, кто может. В чем общий замысел третьей работы и параграфа 7 в ней. Где можно еще про это прочитать в книгах? В конце концов, должно же где-то про это быть написано в учебниках. У меня, правда, не очень с английским, поэтому решил попросить здесь помощь. Хотя бы с какой колокольни начать. Примерная тема моей работы-реферата 'числа в квантовом компьютинге'.

Заранее большое спасибо.

[Munin]

LenskyM в сообщении #1405737 писал(а):

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0210211

Выглядит как бред.

LenskyM в сообщении #1405737 писал(а):

https://arxiv.org/abs/1807.06894

Выглядит как пустышка.

В общем, вам стоило бы потратить силы и время на что-нибудь более стоящее.

LenskyM в сообщении #1405737 писал(а):

все очень как-то сурово абстрактно и много тензорных произведений.

Тензорные произведения штука простая, и с ними надо научиться работать бегло. Без них квантовые формулы и тем более квантовый компьютинг читать невозможно будет.

[muspellsson]

Не знаю, насколько Вам позволяет Ваша подготовка, но можете аккуратно начать читать Чанга-Нильсена. Книга объемная, слегка устаревшая (в переводе), но вся база там есть. Если слишком сложно, есть книга Кайе-Лафламм-Моска Введения в квантовые вычисления, мне она в свое время показалась чуть полегче Чанга-Нильсена. Конечно, стоит сразу же начать присматриваться к двухтомнику Прескилла "Квантовая информация и квантовые вычисления". Текст, с которого сделан перевод, конечно, вышел довольно давно, но Прескилл один из столпов этой области, поэтому книга очень полезная.

В собственно квантовую теорию информации предлагаю не лезть. Знакомство с линейной алгеброй крайне обязательно, знакомство с диффурами для Ваших задач может и полезно, но при большом желании его можно заменить тем же самым отличным знакомством с линейной алгеброй.

[LenskyM]

В квантовую теорию информации мы не погружаемся, а Нильсена-Чанга я основательно изучаю и уже вошел в курс дела. Но мне не понятно то, что я выше спрашивал. Ни у них, ни в других книгах я не нашел то, что меня интересует больше всего. Как происходит процесс квантовых вычислений на языке чисел? То есть как после унитарной эволюции происходит переход от кубитов к числовым величинам? Научрук упоминал, что надо понять как работает квантовый ассемблер. А если его не существует, то 'будем его создавать' (он так пошутил). В первом из препринтов, на которые я сослался выше, автор строит модели чисел на основе квантовых состояний. В других его препринтах строятся уже и комплексные числа. Но в третьем препринте все по-другому. Там число объявляется оператором и даже один параграф так и называется. Я так догадываюсь, это эрмитов оператор наблюдаемой, но не уверен. Но я не вижу никакой связи между этими работами. Одна противоречит другой. В одной, числа рождаются из состояний, а в другой они уже операторы. Кто-нибудь помогите разобраться хоть немного. В конце концов, как я уже спрашивал в первом своем посте, должны же эти базовые вещи где-то быть описаны в учебниках. Квантовые компьютеры ведь уже строят и они уже выполняют простейшие вычисления. Где-то читал, что они уже обогнали классические компьютеры в специальных задачах. Вот я с шефом и пытаюсь понять досконально, как происходит хотя бы простейшее сложение 2 + 3 или умножение чисел в квантовых вычислениях. То есть как число закладывается в кубиты, унитарно преобразуется как состояние, после чего возникает новое число. Я понимаю, что там всегда присутствует элемент непредсказуемости, потому что вероятность в квантовой теории неизбежное явление. Но сами эти арифметические операции как-то материализуются (кубит в суперпозиции превращается в числа) до того, как квантовые программисты создали язык Q#.

[Munin]

LenskyM в сообщении #1407819 писал(а):

Ни у них, ни в других книгах я не нашел то, что меня интересует больше всего. Как происходит процесс квантовых вычислений на языке чисел? То есть как после унитарной эволюции происходит переход от кубитов к числовым величинам?

Ой, это в любом букваре по квантовой механике должно быть. Кубиты коллапсируют в обычные биты.

LenskyM в сообщении #1407819 писал(а):

Но я не вижу никакой связи между этими работами. Одна противоречит другой.

Я подозреваю, просто существует несколько концепций, в одной работе изложена одна, в другой - другая. Проблема в том, что никто ещё не решил задачи "как сделать на квантовом компьютере вычисления общего вида". И вот эти концепции - конкурирующие предложения на это место.

Посмотрите, какие существуют уже разработанные квантовые алгоритмы (например, Шора). И как числа представлены в них. Это, по крайней мере, то, что работает.

LenskyM в сообщении #1407819 писал(а):

В конце концов, как я уже спрашивал в первом своем посте, должны же эти базовые вещи где-то быть описаны в учебниках.

Да их ещё не придумали, как же их описать? :-)

LenskyM в сообщении #1407819 писал(а):

Вот я с шефом и пытаюсь понять досконально, как происходит хотя бы простейшее сложение 2 + 3 или умножение чисел в квантовых вычислениях.

Для этого надо взять какой-то один конкретный "квантовый сумматор". И возможно, существуют несколько конструкций квантовых сумматоров, выполняющих эту операцию по-разному, и соответственно, по-разному представляющих числа.

[Pavia]

LenskyM
Первые три ваши публикации комментировать не буду. Во-первых знаний у меня недостаточно. Однако как по мне они имеют очень малое отношение к тому, что сейчас принято называть квантовыми вычислениями.

Пока что Вы не продемонстрировали своих знаний. Соответственно согласно правилам прямых ответов не ждите.

Munin в сообщении #1407842 писал(а):

Да их ещё не придумали, как же их описать?

Ну вот совсем не придумали.
Если не считать кучи статей в интернете, публикаций на Хабре. И книг от таких издательств таких как O'Relly.

Munin в сообщении #1407842 писал(а):

"квантовый сумматор".

Это называется квантовый вентиль.

LenskyM в сообщении #1407819 писал(а):

Но сами эти арифметические операции как-то материализуются (кубит в суперпозиции превращается в числа) до того, как квантовые программисты

Конкретнее в чём проблема? Материализация это надо смотреть как какой gate сделан в конкретном квантовом компьютере или симуляторе.
Если гуглить по названиям, то в статьях есть реализации всех или почти всех квантовых вентелей.

Если вам нужна математика, то надо читать книги по квантовой математике.

Что касается начать с алгоритм Шора. То тут вы скорее всего попадёте на исторические работы. Тут стоит сравнить старые материализую с реализации на Q# и дальнейшей материализацией через вентили.

Munin в сообщении #1407842 писал(а):

Проблема в том, что никто ещё не решил задачи "как сделать на квантовом компьютере вычисления общего вида".

А зачем? Квантовые вычисления это некоммутативные вычисления классические вычисления это коммутативные и последние реализуются в аналоговых компьютерах.

[Munin]

Pavia в сообщении #1408146 писал(а):

Это называется квантовый вентиль.

Я думал, это более широкое название.

Pavia в сообщении #1408146 писал(а):

Квантовые вычисления это некоммутативные вычисления

Этим как-то ничего не сказано.

[LenskyM]

Спасибо всем за ответы.

Постараюсь быть более конкретным. Автор первой работы (П.Бениофф) считается одним из основоположников квантовых вычислений. В его препринте на который я ссылался, он строит числа из квантовых состояний. Он пишет на с.4 'The goal here is for physical parameter states such as $|t\rangle$ to represent numbers'. А параграф 4 у него называется 'Efficient Implementability of the Basic Arithmetic Operations'. На с.2 я у него читаю 'One route to the exact meaning of the representation of numbers by states of physical systems begins with pure mathematics. A nonempty set is a set of numbers if and only if it satisfies (i.e. is a model of) the axioms of number theory or arithmetic'. А после этого он явно пишет про операции сложения и умножения: 'necessary conditions for a nonempty set to be a model include the existence of functions or operators with the properties of basic arithmetic operations, the successor $S$ (or +1), +, and $\times$, given by the axioms'. Но дальше я там не нашел даже зацепку про само представление ни чисел, ни операций. Я чего то недопонимаю или не вижу?

Его вторая работа действительно выглядит философской говорильней и больше мне не интересна. Что касается третьей работы (длинный талмуд, который трудно осилить) то научрук вкратце проконсультировался у наших физиков, а те сказали, что в этом препринте кажись все очень круто, смахивает на революцию, но это сомнительно и там надо разбираться. Нам конечно не до революций, да и скептичен я к ним. В квантовой механике, если я не ошибаюсь, было очень много попыток упростить основы, но многие нам говорят, что трудности с интерпретациями останутся там навсегда. Поэтому моя задача далека от всего этого и почти банальна: понять как числа зашиваются в кубиты и как они потом под действием унитарной эволюции умножаются или складываются. Или даже просто как преобразуются.

Например, пусть мы реализовали хотя бы одно из ворот над состоянием (чмслом?) и пусть это и есть наша задача, наш алгоритм. Я так просекаю, что вероятностный ответ будет по любому, но хочу понять как эта вероятность делает из первоначального числа конечное преобразованное число. В обычном процессоре, мы имеем переключения классических регистров (нули и единицы) с тактовой частотой процессора. В квантовых вычислениях у нас происходит параллельная во времени работа над всеми элементами суперпозиции. И здесь у меня тоже вопрос: а как в квантовом преобразовании числа переключаются? Или они возникают из состояний как числа только после унитарной эволюции когда мы наблюдаем кубит? Ведь как только мы его наблюдаем, он сразу становится НЕквантовым. У нас было число до наблюдения, потом мы применяем семейство ворот, тоже до наблюдения, а потом? Как преобразованное число возникает?

Как следует из первого препринта, обойти аксиомы арифметики здесь кажись не получится. И действительно, в том длинном талмуде на с.42 шеф мне тычет на аксиомы арифметики (70)-(72). Но тут же автор пишет 'we reveal an essential asymmetry in genesis of the standard binary structures + and $\times$, and thereby a greater primacy of QM-consideration even over the (seemingly natural) arithmetic'. Более того, он выносит в центр текста утверждение 'Multiplication is not featured in the superposition principle, nor does it arise directly as a binary structure', чего я никак не пойму. Арифметика - это сложение и умножение чисел, а он говорит, что эти операции не равноправны. И вообще еще добавляет, что в принципе суперпозиции 'Multiplication is not featured'. У него этот параграф называется 'Квантовая механика и арифметика' и правильно ли я понимаю, что он каким то хитрым способом пытается ВЫВЕСТИ аксиомы арифметики? Если это так, то я выпадаю в осадок, потому что аксиомы арифметики ведь всю жизнь были АКСИОМЫ. Их нельзя вывести, нас так учили (аксиомы
Пиано?). Питаю надежду, что здешним специалистам по математической аксиоматике не составит труда глянуть на это место и объяснить мне компьютерщику что там и как. Я подозреваю, что об этом все же где то написано в книжках. Это же арифметика, детский сад! Быть может нужно как то отделить чисто математические рассуждения там от квантовых физических, а мне это трудно. Ну и про 'число как оператор' (п.7.2 на с.40) тоже не ясно. Квантовый оператор эрмитовой наблюдаемой или что то другое? А потом на с.44 у него формула умножения комплексных чисел выделена даже в рамку! Это тоже что ли вывод? У комплексных чисел ведь есть наглядные интерпретации и математическое обоснование. Мне вполне достаточно того, что алгебраические операции замкнуты. А чего большего надо для физики?

[Pavia]

LenskyM в сообщении #1409254 писал(а):

Арифметика - это сложение и умножение чисел, а он говорит, что эти операции не равноправны. И вообще еще добавляет, что в принципе суперпозиции 'Multiplication is not featured'. У него этот параграф называется 'Квантовая механика и арифметика' и правильно ли я понимаю, что он каким то хитрым способом пытается ВЫВЕСТИ аксиомы арифметики? Если это так, то я выпадаю в осадок, потому что аксиомы арифметики ведь всю жизнь были АКСИОМЫ. Их нельзя вывести, нас так учили (аксиомы Пиано?).

У товарища Бениофф немного плохо с подбором объяснения. Он имеет в виду что в квантовых вычислениях умножение это
$\langle a | \times |b\rangle \neq \langle b | \times |a\rangle$
$\langle a | \times |b\rangle \neq |a\rangle \times \langle b | $
и оно совсем не как в арифметике
$ a \times b = b \times a$
$ a \times b = a \times b $

См. параграф 1.1 в книге
Киселев В. В. - Квантовая механика-Изд-во МЦНМО (2009)

Слово "аксиома" тут неудачно подобрано. Мне привычнее тут видеть "набор базовых функций". Не вижу смысла из $\times$ получить $*$ или $\cdot$. Хотя может и нужно, аналогично и выведение сумматора. О нужности вывода мы тут немного спорили с Munin.

Цитата:

что вероятностный ответ будет по любому, но хочу понять как эта вероятность делает из первоначального числа конечное преобразованное число.

Ели мы после ставим прибор для измерения, а мы его ставим то-бы получить результаты в удобном виде, то мы получим обычные числа без вероятностей. Измерение есть проецирование. При этом вероятности исчезают, вам уже давали подсказку на этот счёт "Кубиты коллапсируют в обычные биты."

См. параграф 1.4 в книге
Киселев В. В. - Квантовая механика-Изд-во МЦНМО (2009)

LenskyM в сообщении #1409254 писал(а):

Или они возникают из состояний как числа только после унитарной эволюции когда мы наблюдаем кубит?

По моему тут ошибка. Эволюция тут не причём, тут редукция.

LenskyM в сообщении #1409254 писал(а):

а как в квантовом преобразовании числа переключаются?

Никак не переключаются. См. алгоритм Шора. - вернее это будет описание механизма завода чисел вычисления и получения результата.

[george66]

В классической физике есть понятие "состояние". Это полная информация, зная которую, можно вычислить значения всех наблюдаемых. Например, состояние солнечной системы задаётся координатами и скоростями всех небесных тел в данный момент времени. Зная состояние, мы можем (в принципе) по законам Ньютона вычислить значения всех наблюдаемых (типа расстояние от Земли до Марса в данный момент времени, ускорение Юпитера и т.д.), а также состояния в последующие моменты времени. В квантовой механике и теория учит, и опыт подтверждает, что не все наблюдаемые определены одновременно. Соответственно, там нет состояний как полной информации. Измерив некоторые наблюдаемые (например, координаты) в данный момент времени, мы можем дать только вероятностный прогноз, что мы получим, если будем измерять другие наблюдаемые (например, скорости) или те же наблюдаемые в будущем. При измерении значений не определённых наблюдаемых их значения возникают неизвестно откуда, что вызывает внутренний протест (у Эйнштейна). Волновая функция скорее соответствует распределению вероятностей в классической статистической физике, но только она принимает комплексные значения. Квантовый компьютер в чём-то похож на вероятностный. На входе несколько бит, но мы не знаем, каких именно, а знаем распределение вероятностей (волновую функцию). Проделываем вычисления и получаем один из нескольких ответов, можно рассчитать их вероятности (волновая функция результата). Затем в классическом случае мы смотрим, что получилось и остаётся один ответ, а остальные (возможные) как бы пропадают без пользы. В квантовой механике мы можем проделать последнее измерение так, что результат зависит от всех возможных ответов, этим достигается сильное ускорение работы (за один раз мы параллельно обрабатываем много входов).

[Munin]

george66 в сообщении #1409637 писал(а):

В квантовой механике и теория учит, и опыт подтверждает, что не все наблюдаемые определены одновременно. Соответственно, там нет состояний как полной информации.

Это математикам так говорят? Это полное враньё.

Состояние в КМ есть. Просто оно не выражается через наблюдаемые (наблюдаемые одновременно). См. волновая функция, вектор состояния, матрица плотности.

george66 в сообщении #1409637 писал(а):

Волновая функция скорее соответствует распределению вероятностей в классической статистической физике, но только она принимает комплексные значения.

Нет, волновая функция - это состояние и есть. А "соответствует распределению вероятностей" она только в смысле "многие к одному".

К сожалению, если вы хотите консультировать по квантовым вопросам, вам необходимо опереться на правильные определения.

[george66]

То, что называют "состоянием" в квантовой механике - это не то, что называют так в классической физике. Зная волновой вектор, мы не можем вычислить значения всех наблюдаемых (а можем дать лишь вероятностный прогноз исходов наблюдений). Скорее, это соответствует состояниям в статистической физике (заданным через распределения вероятностей), но в квантовой механике их в принципе нельзя уточнить.

[Munin]

george66 в сообщении #1409756 писал(а):

То, что называют "состоянием" в квантовой механике - это не то, что называют так в классической физике.

Это, очевидно, так.

Но знаете, в каждой физической теории - своё состояние. Так что тут ничего нового.

george66 в сообщении #1409756 писал(а):

Зная волновой вектор, мы не можем вычислить значения всех наблюдаемых (а можем дать лишь вероятностный прогноз исходов наблюдений).

Ну я же просил, сначала поправьте свои знания, потом выступайте.

george66 в сообщении #1409756 писал(а):

Скорее, это соответствует состояниям в статистической физике (заданным через распределения вероятностей), но в квантовой механике их в принципе нельзя уточнить.

НЕТ! АБСОЛЮТНО НЕТ!

[Alex-Yu]

Я хотя и знаю квантовую физику очень хорошо, ни в коей мере не специалист по "квантовым вычислениям". Поэтому то, что скажу именно про вычисления, надо воспринимать "с оглядкой".

Несколько раз я пытался ознакомиться с этой темой. Безуспешно. Никаких ВЫЧИСЛЕНИЙ я во всем, что об этом пишут, не вижу вообще. И уж точно в этом всем нет никаких ПРОГРАММИРУЕМЫХ вычислений (к вопросу о "квантовом ассемблере", кстати). Один "квантовый компьютер" нельзя заставить выполнять разные программы. Хочешь другую программу -- делай другой "компьютер". Во всяком случае так выглядит.

Ну есть какая-то квантовая система. Пусть и из кубитов (кубит -- это просто: система с двумерным пространством квантовых состояний). Эта система как-то там эволюционирует. Быть может, это даже и можно практически использовать в каких-то очень узких целях, подобрав подходящую конфигурацию кубитов и взаимодействия между ними. НО ПРИ ЧЕМ ЗДЕСЬ ВЫЧИСЛЕНИЯ??? Эдак и простой грузик на веревке (маятник) --- тоже компьютер, он же тоже эволюционирует. Получается компьютер решающий уравнения движения маятника. Вот только на кой он нужен, такой, ну уж очень специализированный, "компьютер"...

Никак не могу отделаться от сильного подозрения, что все эти "квантовые вычисления" это всего лишь гигантский развод грантодателей на бабки. В духе наперсточников. Вот НИЧЕГО содержательного в писаниях на эту тему мне обнаружить не удалось. Хотя я и пытался найти. Банальная, ничуть не интересная КМ системы кубитов. Все! Все авторы очень долго и нудно жуют полнейшие самоочевидные банальности (для человека, знакомого с КМ) и при этом не говорят НИЧЕГО содержательного.

Буду рад, если кто-нибудь содержательно опровергнет приведенные выше, несколько провокационные тезисы.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1409783 писал(а):

Быть может, это даже и можно практически использовать в каких-то очень узких целях, подобрав подходящую конфигурацию кубитов и взаимодействия между ними. Но при чем здесь вычисления???

Я так понимаю, ровно при том, чтобы подбирать конфигурацию кубитов, и унитарное воздействие на них, каждый раз таким способом, чтобы решать различные задачи в несколько более широком диапазоне "узких целей".