Перенос импульса динамически деформированной средой

[meandr]

Задача такая:
Есть некоторая упругая среда, в которой малые возмущения (деформации) передаются со скоростью с.
Пусть эта среда испытывает гармонические возмущения (деформации), описываемые плоскими волнами смещения "элементарных объемов" среды вдоль оси Х

$$s(x,t)=R\sin(Wt-Kx)$$

и скорости смещения "элементарных объемов" среды

$$v(x,t)=V\cos(Wt-Kx)$$

где $W=2\pi T$, $V=WR$, $K=W/c$.
В момент $t=0$ во всем сечении среды $x=0$ возникло малое короткое возмущение - сигнал в виде импульса П, длительность которого намного меньше периода "несущих" возмущений $T$.

Вопрос:
как найти путь $S(t)$ и скорость $dS(t)/dt$ переноса импульса П вдоль оси Х ?
(дисперсией импульсного сигнала П в среде пренебрегаем).

Формально нужно решить либо интегральное уравнение

$$S(t)=\int_0^t{(c+v(S(t),t))dt}$$

либо дифференциальное уравнение

$$\frac{dS(t)}{dt}=c+V\cos(Wt-KS(t))$$

Оба уравнения трансцендентные, так как трансцендентной является функция $v(x,t)=V\cos(Wt-Kx)$
и "рекуррентные" в том смысле, что ищется функция, в выражении которой есть аргумент содержащий саму же искомую функцию - это главная проблема, с которой я столкнулся.
Как такие уравнения решать - в решебниках не нашел.
Интуитивные соображения подсказывают, что ответ должен содержать экспоненту, например

$$S(t)=ct+R(1-e^{-Wt})$$

$$\frac{dS(t)}{dt}=c+Ve^{-Wt}$$

Интересуюсь, правильно ли подсказывает интуиция и каким должно быть полное решение от начала до конца ?

[photon]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[photon]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: возвращено.

[meandr]

Кажется, к теме пока применим случай, описанный в разделе 3 Правил:

Цитата:

Вам просто не повезло, и в настоящее время на форуме нет специалиста, способного ответить на вопрос, или он занят другими делами. А возможно, что Вы не сумели заинтересовать участников форума своим вопросом или задали его в слишком общем виде.

В ожидании заинтересовавшегося специалиста, продолжу тему собственными изысканиями.
Попробовал проверить свою интуицию с помощью Maple12 , набрав там дифуравнение

$${\frac {d}{dt}}s \left( t \right) -100-\cos \left( t- 0.01\,s \left( t \right) \right) =0$$

что в моей задаче должно соответствовать значениям
$W=1$, $R=1$, $c=100$, $K=0.01$.
Решив это дифуравнение относительно функции $s(t)$ командой $dsolve$, получил в ответе

$$s \left( t \right) =100t\,-100\,\arctg \left( - \frac { \left( {{\rm e}^{0.01t}} \right) ^{2}{{\it \_C1}}^{2}-1 } {\left( {{\rm e}^{0.01t}} \right) ^{2}{{\it \_C1}}^{2}+1},2\, \frac {{{\rm e}^{0.01t}}{\it \_C1}} {\left( {{\rm e}^{0.01t}} \right) ^{2}{{\it \_C1}}^{2}+1} \right) $$

При этом $\_C1$ значится в числе переменных вместе со временем $t$ (хотя я поначалу подумал, что это интегральный косинус).
То есть интуиция меня слегка подвела и в выражении пути сигнала $s(t)$ к величине $ct$ прибавляется не ожидавшаяся мной экспонента $R\cdot e^{-Wt}$, а функция $\arctg$ от какого-то комплексного угла.
Попытки получить аналитическое выражение для скорости сигнала $ds(t)/dt$ пока ни к чему не привели.

Прошу знатоков подсказать, что с этим нужно делать дальше, чтобы получить удобоваримые реальные функции времени для пути и скорости сигнала.

[Ms-dos4]

meandr
Если вопрос лишь в решении ДУ - оно то решается относительно несложно

$$S(t) = \frac{W}{K}t + \frac{2}{K}\operatorname{arctg} [\sqrt {\frac{{W - K(c + V)}}{{K(c - V) + W}}} \tanh (\frac{{\tau - t}}{2}\sqrt {K(c - V) + W} \sqrt {W - K(c + V)} )]$$

(где $\tau $ - произвольная постоянная). При ваших значениях параметров - влияние будет оказывать практически только линейная часть (в пределах 1%, при $t > \tau $, конечно).

[meandr]

Спасибо.
Вы дали решение в более понятном мне виде, чем Maple.
Вопрос по постоянной $\tau$.
Судя по Вашему примечанию, она не совсем произвольная и ее нельзя просто приравнять к нулю и забыть.
Как все-таки ее определять ? - хотя бы для проверки указанного Вами критерия $t > \tau $.
Она связана с моментом возникновения импульса П и с тем какой была в этот момент в этом месте фаза "несущей" деформации среды ?

Интересуюсь, решение для пути импульса будет монотонно (?) приближаться к линейной части $ct$ с какой-то конечной добавкой, зависящей от $\tau$, а скорость импульса - к скорости $c$ в невозмущенной (недеформированной) среде без добавки при любых $\tau$ ?
Это так ?
Мне интересна как раз добавка к линейной части пути $ct$ при устремлении $t \to \infty$.

[Ms-dos4]

meandr
Математически $\tau $ определяется из начального условия $S(0) = {S_0}$. При $S(0) = 0$ получим $\tau = 0$ и

$$S(t) = \frac{W}{K}t + \frac{2}{K}\operatorname{arctg} [\sqrt {\frac{{W - K(c + V)}}{{K(c - V) - W}}} \tanh (\frac{t}{2}\sqrt {[K(c - V) - W][W - K(c + V)]} )]$$

(в выражении выше я в одном месте перепутал знак перед $W$)
По асимптотикам - в нуле это

$$S(t) = \frac{W}{K}t + \frac{1}{K}\left| {W - K(c + V)} \right|t$$

На бесконечности же гиперболический тангенс насыщается и получаем просто

$$S(t) = \frac{W}{K}t + \frac{2}{K}\operatorname{arctg} [\sqrt {\frac{{W - K(c + V)}}{{K(c - V) - W}}} ]$$

[meandr]

Спасибо.
С учетом того что $W/K=c$ выражения еще больше упрощаются и в общем случае (не уверен насчет знаков при $t-\tau$ с учетом нечетности функций arctg и tanh):

$$S(t) = ct + \frac{2}{K}\arctg \left [ \tanh \left (\frac{t-\tau}{2}KV \right ) \right ]$$

Далее по-Вашему должно быть:
При $S(0) = 0$ получим $\tau = 0$ и

$$S(t) = ct + \frac{2}{K}\arctg \left [ \tanh \left (\frac{t}{2}KV \right ) \right ]$$

(хотя здесь все еще не понятно, как по начальным условиям определяется $\tau$ ).
По асимптотикам - в окрестности нуля это

$$S(t) =(c+V)t $$

На бесконечности же гиперболический тангенс насыщается и получаем

$$S(t) = ct + \frac{\pi}{2K}$$

Далее с учетом того что

$$K=\frac{2\pi}{cT}=\frac{2\pi}{L}$$

где $T$ и $L$ - период и длина волны "несущей" деформации,
получаем для пути импульса П (сигнала) в дальней зоне

$$S(t) = ct + \frac{L}{4}$$

Это верно ?

[meandr]

meandr в сообщении #1405287 писал(а):

Это верно ?

Молчание знатоков наверное можно воспринять как согласие - пока все верно.

Я попробовал обобщить задачу, задавая возникновение импульса П (начало отсчета переноса импульса П) не в конкретном состоянии среды с нулевым смещением и максимальной скоростью смещения, как ранее, а с произвольной фазой $\psi$ :
смещение среды

$$s(x,t)=R\sin(W(t-x/c)+\psi)$$

скорость смещения среды

$$v(x,t)=V\cos(W(t-x/c)+\psi)$$

где по-прежнему
$W$ - циклическая частота основной (несущей) деформации среды;
$R$ - амплитуда смещения среды при деформации;
$K=W/c$ - волновое число деформации среды;
$V=WR$ - амплитуда скорости смещения среды.

Для пути импульса П, отсчитываемого от заданного таким образом начала отсчета, записал дифуравнение

$$\frac{dS(t)}{dt}=c+V\cos\left (W(t-S(t)/c)+\psi \right )$$

и решил его в Maple12 командой dsolve, получил

$$S(t)=ct+\frac{c}{W}\left (\psi+\arccos \left ( \frac {2\cdot e^{tWV/c}\cdot e^{C1\cdot WV/c}}{(e^{tWV/c})^2 + (e^{C1\cdot WV/c})^2}\right )\right )$$

Здесь почему-то вместо $\arctg(\tanh(...))$ появился $\arccos$.
Замена корней на экспоненты тоже озадачила, потому что показатель не отрицательный, как я ожидал вначале, а положительный, и в бесконечной перспективе экспоненты становятся бесконечными, а не нулевыми (впрочем, отношение производных в бесконечности мне дало ноль).
Далее надо как-то определить параметр $C1$ , проверить тождественность с предыдущим решением вообще и в асимптотах в частности.
Пока не знаю, как это сделать.

[Ms-dos4]

От введенной таким образом фазы легко избавится переопределением времени, $W(t + \frac{\psi }{W}) \to Wz$

[Geen]

meandr в сообщении #1405459 писал(а):

Молчание знатоков наверное можно воспринять как согласие - пока все верно.

Вот только с чего вдруг "импульс" (как сумма малых возмущений и без дисперсии) будет распространяться с отличной от $c$ скоростью?...

[meandr]

Geen в сообщении #1405567 писал(а):

Вот только с чего вдруг "импульс" (как сумма малых возмущений и без дисперсии) будет распространяться с отличной от $c$ скоростью?...

Потому что этот импульс создается и распространяется в динамически деформированной среде, которая сама движется с описанной выше скоростью $v(x,t)$.

[meandr]

Ms-dos4 в сообщении #1405520 писал(а):

От введенной таким образом фазы легко избавится переопределением времени, $W(t + \frac{\psi }{W}) \to Wz$

Мне фаза как раз не мешает и избавляться от нее не вижу надобности.
Наоборот, собираюсь подробнее изучить, как эта фаза, описывающая состояние среды при возникновении в ней импульса, влияет на процесс дальнейшего распространения импульса.

Более удобоваримым считаю то выражение для пути импульса $S(t)$, которое привел Ms-dos4.
У меня оно тоже получается, если дифур записывать с явным наличием констант $W,V,K,c$, не делая подстановку $W/c$ вместо $K$.

$$\frac{dS(t)}{dt}=c+V\cos(Wt-KS(t)+\psi)$$

Если затем в полученное командой dsolve решение сделать подстановку $W/c$ вместо $K$, получается

$$S(t) = c\left (t+\frac{\psi}{W} + \frac{2}{W}\arctg \left ( \tanh \left ((t-\tau)\frac{WV}{2c} \right ) \right ) \right )$$

(В исходнике Maple пишет не $\tau$ а С1).
Только теперь понял суть пояснения Ms-dos4

Ms-dos4 в сообщении #1405179 писал(а):

Математически $\tau $ определяется из начального условия $S(0) = {S_0}$.

Выделил правую часть (аналитическую запись функции $S(t)$), решил ее относительно $\tau $ и определил решение в точке $t=0$, получилось

$$\tau=-\frac{2c}{WV}\operatorname{arctanh} (\tg (\psi/2) )$$

Теперь на вполне определенных основаниях при $\psi=0$ получается $\tau=0$, - приходим к уже описанному выше частному решению, когда при возникновении импульса среда находится в состоянии с нулевым смещением и максимальной собственной скоростью.
С течением времени импульс, перемещаясь в пространстве, перемещается и по волне деформации среды, стремясь опередить на четверть периода то место в волне (состояние среды), которое было при возникновении импульса, и попасть в область с нулевой собственной скоростью среды (и с максимальным смещением среды - деформацией - на величину $R$), что соответствует текущему перемещению импульса в пространстве со скоростью близкой к скорости с (намного ближе чем стартовая скорость импульса $c+V$).

[Geen]

meandr в сообщении #1405623 писал(а):

Geen в сообщении #1405567 писал(а):

Вот только с чего вдруг "импульс" (как сумма малых возмущений и без дисперсии) будет распространяться с отличной от $c$ скоростью?...

Потому что этот импульс создается и распространяется в динамически деформированной среде, которая сама движется с описанной выше скоростью $v(x,t)$.

И в чём принципиальная разница между "импульсом" и "динамически деформированной средой"?

[meandr]

Разницу я бы назвал не принципиальной, а критериальной - во-первых в длительности и периодичности.
Среда деформирована длительным действием гармонического возмущения, а сигнальный импульс единоразовый и его длительность намного меньше не только времени действия основного (несущего) возмущения, но и намного меньше одного периода основного возмущения.
В терминах спектрального анализа наоборот, весь спектр основного возмущения представлен единственной частотой $W$, а спектр сигнального импульса растянутый (тем шире чем короче импульс).