2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3, 4  След.
 
 Перенос импульса динамически деформированной средой
Сообщение03.07.2019, 12:27 
Задача такая:
Есть некоторая упругая среда, в которой малые возмущения (деформации) передаются со скоростью с.
Пусть эта среда испытывает гармонические возмущения (деформации), описываемые плоскими волнами смещения "элементарных объемов" среды вдоль оси Х
$$s(x,t)=R\sin(Wt-Kx)$$
и скорости смещения "элементарных объемов" среды
$$v(x,t)=V\cos(Wt-Kx)$$
где $W=2\pi T$, $V=WR$, $K=W/c$.
В момент $t=0$ во всем сечении среды $x=0$ возникло малое короткое возмущение - сигнал в виде импульса П, длительность которого намного меньше периода "несущих" возмущений $T$.

Вопрос:
как найти путь $S(t)$ и скорость $dS(t)/dt$ переноса импульса П вдоль оси Х ?
(дисперсией импульсного сигнала П в среде пренебрегаем).

Формально нужно решить либо интегральное уравнение
$$S(t)=\int_0^t{(c+v(S(t),t))dt}$$
либо дифференциальное уравнение
$$\frac{dS(t)}{dt}=c+V\cos(Wt-KS(t))$$
Оба уравнения трансцендентные, так как трансцендентной является функция $v(x,t)=V\cos(Wt-Kx)$
и "рекуррентные" в том смысле, что ищется функция, в выражении которой есть аргумент содержащий саму же искомую функцию - это главная проблема, с которой я столкнулся.
Как такие уравнения решать - в решебниках не нашел.
Интуитивные соображения подсказывают, что ответ должен содержать экспоненту, например
$$S(t)=ct+R(1-e^{-Wt})$$
$$\frac{dS(t)}{dt}=c+Ve^{-Wt}$$
Интересуюсь, правильно ли подсказывает интуиция и каким должно быть полное решение от начала до конца ?

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение03.07.2019, 13:47 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неинформативный заголовок;
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 
 
 
 Posted automatically
Сообщение08.07.2019, 22:48 
Аватара пользователя
 i  Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»
Причина переноса: возвращено.

 
 
 
 Re: Перенос импульса динамически деформированной средой
Сообщение15.07.2019, 11:23 
Кажется, к теме пока применим случай, описанный в разделе 3 Правил:
Цитата:
Вам просто не повезло, и в настоящее время на форуме нет специалиста, способного ответить на вопрос, или он занят другими делами. А возможно, что Вы не сумели заинтересовать участников форума своим вопросом или задали его в слишком общем виде.

В ожидании заинтересовавшегося специалиста, продолжу тему собственными изысканиями.
Попробовал проверить свою интуицию с помощью Maple12 , набрав там дифуравнение
$${\frac {d}{dt}}s \left( t \right) -100-\cos \left( t- 0.01\,s \left( t
 \right)  \right) =0$$
что в моей задаче должно соответствовать значениям
$W=1$, $R=1$, $c=100$, $K=0.01$.
Решив это дифуравнение относительно функции $s(t)$ командой $dsolve$, получил в ответе
$$s \left( t \right) =100t\,-100\,\arctg \left( - \frac {  \left( {{\rm e}^{0.01t}} \right) ^{2}{{\it \_C1}}^{2}-1 }  {\left( {{\rm e}^{0.01t}} \right) ^{2}{{\it \_C1}}^{2}+1},2\, \frac {{{\rm e}^{0.01t}}{\it \_C1}} {\left( {{\rm e}^{0.01t}} \right) ^{2}{{\it \_C1}}^{2}+1} \right) $$
При этом $\_C1$ значится в числе переменных вместе со временем $t$ (хотя я поначалу подумал, что это интегральный косинус).
То есть интуиция меня слегка подвела и в выражении пути сигнала $s(t)$ к величине $ct$ прибавляется не ожидавшаяся мной экспонента $R\cdot e^{-Wt}$, а функция $\arctg$ от какого-то комплексного угла.
Попытки получить аналитическое выражение для скорости сигнала $ds(t)/dt$ пока ни к чему не привели.

Прошу знатоков подсказать, что с этим нужно делать дальше, чтобы получить удобоваримые реальные функции времени для пути и скорости сигнала.

 
 
 
 Re: Перенос импульса динамически деформированной средой
Сообщение15.07.2019, 11:48 
meandr
Если вопрос лишь в решении ДУ - оно то решается относительно несложно
$$S(t) = \frac{W}{K}t + \frac{2}{K}\operatorname{arctg} [\sqrt {\frac{{W - K(c + V)}}{{K(c - V) + W}}} \tanh (\frac{{\tau  - t}}{2}\sqrt {K(c - V) + W} \sqrt {W - K(c + V)} )]$$
(где $\tau $ - произвольная постоянная). При ваших значениях параметров - влияние будет оказывать практически только линейная часть (в пределах 1%, при $t > \tau $, конечно).

 
 
 
 Re: Перенос импульса динамически деформированной средой
Сообщение15.07.2019, 12:58 
Спасибо.
Вы дали решение в более понятном мне виде, чем Maple.
Вопрос по постоянной $\tau$.
Судя по Вашему примечанию, она не совсем произвольная и ее нельзя просто приравнять к нулю и забыть.
Как все-таки ее определять ? - хотя бы для проверки указанного Вами критерия $t > \tau $.
Она связана с моментом возникновения импульса П и с тем какой была в этот момент в этом месте фаза "несущей" деформации среды ?

Интересуюсь, решение для пути импульса будет монотонно (?) приближаться к линейной части $ct$ с какой-то конечной добавкой, зависящей от $\tau$, а скорость импульса - к скорости $c$ в невозмущенной (недеформированной) среде без добавки при любых $\tau$ ?
Это так ?
Мне интересна как раз добавка к линейной части пути $ct$ при устремлении $t \to \infty$.

 
 
 
 Re: Перенос импульса динамически деформированной средой
Сообщение15.07.2019, 16:01 
meandr
Математически $\tau $ определяется из начального условия $S(0) = {S_0}$. При $S(0) = 0$ получим $\tau  = 0$ и
$$S(t) = \frac{W}{K}t + \frac{2}{K}\operatorname{arctg} [\sqrt {\frac{{W - K(c + V)}}{{K(c - V) - W}}} \tanh (\frac{t}{2}\sqrt {[K(c - V) - W][W - K(c + V)]} )]$$
(в выражении выше я в одном месте перепутал знак перед $W$)
По асимптотикам - в нуле это $$S(t) = \frac{W}{K}t + \frac{1}{K}\left| {W - K(c + V)} \right|t$$
На бесконечности же гиперболический тангенс насыщается и получаем просто
$$S(t) = \frac{W}{K}t + \frac{2}{K}\operatorname{arctg} [\sqrt {\frac{{W - K(c + V)}}{{K(c - V) - W}}} ]$$

 
 
 
 Re: Перенос импульса динамически деформированной средой
Сообщение16.07.2019, 08:22 
Спасибо.
С учетом того что $W/K=c$ выражения еще больше упрощаются и в общем случае (не уверен насчет знаков при $t-\tau$ с учетом нечетности функций arctg и tanh):
$$S(t) = ct + \frac{2}{K}\arctg \left [ \tanh \left (\frac{t-\tau}{2}KV \right ) \right ]$$
Далее по-Вашему должно быть:
При $S(0) = 0$ получим $\tau  = 0$ и
$$S(t) = ct + \frac{2}{K}\arctg \left [ \tanh \left (\frac{t}{2}KV \right ) \right ]$$
(хотя здесь все еще не понятно, как по начальным условиям определяется $\tau$ ).
По асимптотикам - в окрестности нуля это
$$S(t) =(c+V)t $$
На бесконечности же гиперболический тангенс насыщается и получаем
$$S(t) = ct + \frac{\pi}{2K}$$
Далее с учетом того что
$$K=\frac{2\pi}{cT}=\frac{2\pi}{L}$$
где $T$ и $L$ - период и длина волны "несущей" деформации,
получаем для пути импульса П (сигнала) в дальней зоне
$$S(t) = ct + \frac{L}{4}$$

Это верно ?

 
 
 
 Re: Перенос импульса динамически деформированной средой
Сообщение17.07.2019, 15:02 
meandr в сообщении #1405287 писал(а):
Это верно ?

Молчание знатоков наверное можно воспринять как согласие - пока все верно.

Я попробовал обобщить задачу, задавая возникновение импульса П (начало отсчета переноса импульса П) не в конкретном состоянии среды с нулевым смещением и максимальной скоростью смещения, как ранее, а с произвольной фазой $\psi$ :
смещение среды
$$s(x,t)=R\sin(W(t-x/c)+\psi)$$
скорость смещения среды
$$v(x,t)=V\cos(W(t-x/c)+\psi)$$
где по-прежнему
$W$ - циклическая частота основной (несущей) деформации среды;
$R$ - амплитуда смещения среды при деформации;
$K=W/c$ - волновое число деформации среды;
$V=WR$ - амплитуда скорости смещения среды.

Для пути импульса П, отсчитываемого от заданного таким образом начала отсчета, записал дифуравнение
$$\frac{dS(t)}{dt}=c+V\cos\left (W(t-S(t)/c)+\psi \right )$$
и решил его в Maple12 командой dsolve, получил
$$S(t)=ct+\frac{c}{W}\left (\psi+\arccos \left ( \frac {2\cdot e^{tWV/c}\cdot e^{C1\cdot WV/c}}{(e^{tWV/c})^2 + (e^{C1\cdot WV/c})^2}\right )\right )$$

Здесь почему-то вместо $\arctg(\tanh(...))$ появился $\arccos$.
Замена корней на экспоненты тоже озадачила, потому что показатель не отрицательный, как я ожидал вначале, а положительный, и в бесконечной перспективе экспоненты становятся бесконечными, а не нулевыми (впрочем, отношение производных в бесконечности мне дало ноль).
Далее надо как-то определить параметр $C1$ , проверить тождественность с предыдущим решением вообще и в асимптотах в частности.
Пока не знаю, как это сделать.

 
 
 
 Re: Перенос импульса динамически деформированной средой
Сообщение17.07.2019, 19:42 
От введенной таким образом фазы легко избавится переопределением времени, $W(t + \frac{\psi }{W}) \to Wz$

 
 
 
 Re: Перенос импульса динамически деформированной средой
Сообщение18.07.2019, 00:07 
Аватара пользователя
meandr в сообщении #1405459 писал(а):
Молчание знатоков наверное можно воспринять как согласие - пока все верно.

Вот только с чего вдруг "импульс" (как сумма малых возмущений и без дисперсии) будет распространяться с отличной от $c$ скоростью?...

 
 
 
 Re: Перенос импульса динамически деформированной средой
Сообщение18.07.2019, 10:15 
Geen в сообщении #1405567 писал(а):
Вот только с чего вдруг "импульс" (как сумма малых возмущений и без дисперсии) будет распространяться с отличной от $c$ скоростью?...

Потому что этот импульс создается и распространяется в динамически деформированной среде, которая сама движется с описанной выше скоростью $v(x,t)$.

 
 
 
 Re: Перенос импульса динамически деформированной средой
Сообщение18.07.2019, 11:36 
Ms-dos4 в сообщении #1405520 писал(а):
От введенной таким образом фазы легко избавится переопределением времени, $W(t + \frac{\psi }{W}) \to Wz$

Мне фаза как раз не мешает и избавляться от нее не вижу надобности.
Наоборот, собираюсь подробнее изучить, как эта фаза, описывающая состояние среды при возникновении в ней импульса, влияет на процесс дальнейшего распространения импульса.

Более удобоваримым считаю то выражение для пути импульса $S(t)$, которое привел Ms-dos4.
У меня оно тоже получается, если дифур записывать с явным наличием констант $W,V,K,c$, не делая подстановку $W/c$ вместо $K$.
$$\frac{dS(t)}{dt}=c+V\cos(Wt-KS(t)+\psi)$$
Если затем в полученное командой dsolve решение сделать подстановку $W/c$ вместо $K$, получается
$$S(t) = c\left (t+\frac{\psi}{W} + \frac{2}{W}\arctg \left ( \tanh \left ((t-\tau)\frac{WV}{2c} \right ) \right ) \right )$$
(В исходнике Maple пишет не $\tau$ а С1).
Только теперь понял суть пояснения Ms-dos4
Ms-dos4 в сообщении #1405179 писал(а):
Математически $\tau $ определяется из начального условия $S(0) = {S_0}$.

Выделил правую часть (аналитическую запись функции $S(t)$), решил ее относительно $\tau $ и определил решение в точке $t=0$, получилось
$$\tau=-\frac{2c}{WV}\operatorname{arctanh} (\tg (\psi/2) )$$
Теперь на вполне определенных основаниях при $\psi=0$ получается $\tau=0$, - приходим к уже описанному выше частному решению, когда при возникновении импульса среда находится в состоянии с нулевым смещением и максимальной собственной скоростью.
С течением времени импульс, перемещаясь в пространстве, перемещается и по волне деформации среды, стремясь опередить на четверть периода то место в волне (состояние среды), которое было при возникновении импульса, и попасть в область с нулевой собственной скоростью среды (и с максимальным смещением среды - деформацией - на величину $R$), что соответствует текущему перемещению импульса в пространстве со скоростью близкой к скорости с (намного ближе чем стартовая скорость импульса $c+V$).

 
 
 
 Re: Перенос импульса динамически деформированной средой
Сообщение18.07.2019, 11:52 
Аватара пользователя
meandr в сообщении #1405623 писал(а):
Geen в сообщении #1405567 писал(а):
Вот только с чего вдруг "импульс" (как сумма малых возмущений и без дисперсии) будет распространяться с отличной от $c$ скоростью?...

Потому что этот импульс создается и распространяется в динамически деформированной среде, которая сама движется с описанной выше скоростью $v(x,t)$.

И в чём принципиальная разница между "импульсом" и "динамически деформированной средой"?

 
 
 
 Re: Перенос импульса динамически деформированной средой
Сообщение18.07.2019, 12:10 
Разницу я бы назвал не принципиальной, а критериальной - во-первых в длительности и периодичности.
Среда деформирована длительным действием гармонического возмущения, а сигнальный импульс единоразовый и его длительность намного меньше не только времени действия основного (несущего) возмущения, но и намного меньше одного периода основного возмущения.
В терминах спектрального анализа наоборот, весь спектр основного возмущения представлен единственной частотой $W$, а спектр сигнального импульса растянутый (тем шире чем короче импульс).

 
 
 [ Сообщений: 48 ]  На страницу 1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group