ПРО МАТЕМАТИКУ
В середине 1980-х мне попался в руки учебник анализа для студентов ПТУ - небольшая книжка в коричневой мягкой обложке (*). Что интересно, он содержал себе, в доступной студентам ПТУ элементарной и вместе с тем математически строгой форме, все содержание курса математического анализа, нужного большинству математиков.
*) Видимо (по последующим ссылкам на литературу), речь о книге
С. И. Шварцбурд, О. С. Ивашев-Мусатов. Алгебра и начала анализа. Учебное пособие для ПТУ.
Лопиталю, вице-президенту французской Академии, желавшему усвоить примерно тот же материал, потребовался десяток лет и личный учитель в лице Иоганна Бернулли, которому Лопиталь платил 300 фунтов в год за уроки (где-то $30,000 на современные деньги), а ординарному человеку этот материал был совершенно недоступен.
Сейчас тому же самому можно (и нужно) обучать студентов ПТУ и школьников.
Объяснить этот поразительный прогресс можно по-разному, начиная с биологических изменений в организме человека под действием горизонтальной эволюции и заканчивая эффектом Флинна, который установил, что IQ жителей большинства стран растет на 2-3 процента каждое десятилетие. Но самое разумное объяснение, оно же самое простое, состоит в изменении математического языка.
Математика сама по себе - язык, но грамматика и синтаксис этого языка меняется до неузнаваемости каждые 20-50 лет. Мне однажды попалась первая статья Морса, из которой я пытался выяснить доказательство леммы Морса в гиперболической геометрии. Мне это не удалось, и даже не удалось найти в тексте ее формулировку. С таким же успехом статья могла быть написана на китайском. В результате я придумал собственное доказательство, это оказалось сильно проще, чем разбираться в морсовском.
В математике идут одновременно два процесса: органический рост этого потрясающего строения, которое называется core mathematics, и одновременно - не менее отрясающая перестройка оснований математического языка, постепенно уравнивающая гениев 300-летней давности с современными ПТУшниками.
Эти два процесса постепенно компенсируют друг друга, иначе здание core mathematics стало бы излишне огромным, негостеприимным, и со временем - необитаемым.
Это значит, что каждое открытие, каждый сантиметр прогресса в математике переднего края приводит к перестройке математического языка. Прогресс математики -- это не только открытия на переднем крае, это еще и радикальное упрощение доселе нетривиальных концепций core mathematics.
Преподавать современную математику можно только в постоянной переоценке ценностей, день ото дня отбрасывая все ненужное и устаревшее, и замещая песок и папье-маше в фундаменте здания стеклокерамикой и бакелитом. Иначе мы застрянем в той же точке, что и мехмат.
Если вдуматься, все содержание математического образования XIX века (и современной России) можно почерпнуть за год из хорошо составленного учебника по матанализу для ПТУ.
Подозреваю, что через 100 лет то же самое будут говорить и про содержательную часть всех курсов матфака.